平面向量基本定理同步检测-一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

.3.1平面向量基本定理（同步检测）一、选择题1.在△ABC中，点D在BC边上，且eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up7(→))可用基底a，b表示为()A.eq\f(1,2)(a＋b)B.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bD.eq\f(1,3)(a＋b)2.在△ABC中，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up7(→))，EF∥BC，EF交AC于F，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，则eq\o(BF,\s\up7(→))等于()A.－a＋eq\f(1,5)bB.a－eq\f(1,5)bC.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)bD.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b3.平行四边形ABCD，P是对角线AC所在直线上一点，且eq\o(BP,\s\up7(→))＝teq\o(BA,\s\up7(→))＋(t－1)eq\o(BC,\s\up7(→))，则t＝()A.0B.1C.－1D.任意实数4.设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()A.{e1，e2}B.{e1＋e2,3e1＋3e2}C.{e1,5e2}D.{e1，e1＋e2}5.已知非零向量eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))不共线，且2eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))，若eq\o(PA,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))(λ∈R)，则x，y满足的关系是()A.x＋y－2＝0B.2x＋y－1＝0C.x＋2y－2＝0D.2x＋y－2＝06.设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则()A.eq\o(BO,\s\up7(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))B.eq\o(BO,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))C.eq\o(BO,\s\up7(→))＝eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up7(→))D.eq\o(BO,\s\up7(→))＝－eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up7(→))7.(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，则下列向量组可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A.eq\o(AD,\s\up16(→))与eq\o(AB,\s\up16(→))B.eq\o(DA,\s\up16(→))与eq\o(BC,\s\up16(→))C.eq\o(CA,\s\up16(→))与eq\o(DC,\s\up16(→))D.eq\o(OD,\s\up16(→))与eq\o(OB,\s\up16(→))8.(多选)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且eq\o(BC,\s\up16(→))＝a，eq\o(CA,\s\up16(→))＝b，则下列结论正确的是()A.eq\o(AD,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)a－bB.eq\o(BE,\s\up16(→))＝a＋eq\f(1,2)bC.eq\o(CF,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)bD.eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)a9.(多选)在直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足eq\o(BP,\s\up7(→))＝2eq\o(PC,\s\up7(→))，点M，N在过点P的直线上，若eq\o(AM,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝neq\o(AC,\s\up7(→))(m＞0，n＞0)，则下列结论正确的是()A.eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)为常数B.m＋2n的最小值为3C.m＋n的最小值为eq\f(16,9)D.m，n的值可以为m＝eq\f(1,2)，n＝2二、填空题10.若a，b不共线，且la＋mb＝0(l，m∈R)，则l＝______，m＝_______．11.若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))，则△ABM与△ABC的面积之比为________12.已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，eq\o(AP,\s\up6(→))＝yeq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，且均不为0.若eq\o(PQ,\s\up6(→))∥eq\o(BE,\s\up6(→))，则eq\f(x,y)＝________13.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足eq\o(DO,\s\up7(→))＝3eq\o(DM,\s\up7(→))，线段CO上有点N满足eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(ON,\s\up7(→))(λ＞0)，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，已知eq\o(MN,\s\up7(→))＝μa－eq\f(1,6)b，则λ＝________，μ＝________．三、解答题14.M，N，P是△ABC三边上的点，且eq\o(BM,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(CN,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up16(→))，eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，试用a，b将eq\o(MN,\s\up16(→))，eq\o(NP,\s\up16(→))，eq\o(PM,\s\up16(→))表示出来．15.如图所示，在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，BM＝eq\f(2,3)BC，AN＝eq\f(1,4)AB．(1)试用向量a，b来表示eq\o(DN,\s\up7(→))，eq\o(AM,\s\up7(→))；(2)AM交DN于O点，求AO∶OM的值．参考答案及解析：一、选择题1.C解析：因为eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，所以eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b．2.A解析：∵eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\o(BE,\s\up7(→))＝－eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up7(→))．又∵EF∥BC，∴eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(1,5)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,5)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))，∴eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝－eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,5)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝－a＋eq\f(1,5)b．3.B解析：因为eq\o(BP,\s\up7(→))，eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))共始点，且P，A，C三点共线，所以t＋t－1＝1，故t＝1，故选B.4.B5.A解析：由eq\o(PA,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))，得eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OP,\s\up16(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))，即eq\o(OP,\s\up16(→))＝(1＋λ)eq\o(OA,\s\up16(→))－λeq\o(OB,\s\up16(→))．又2eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2λ，,y＝－2λ，))消去λ得x＋y＝2．6.D7.AC解析：选项A，eq\o(AD,\s\up16(→))与eq\o(AB,\s\up16(→))不共线；选项B，eq\o(DA,\s\up16(→))＝－eq\o(BC,\s\up16(→))，则eq\o(DA,\s\up16(→))与eq\o(BC,\s\up16(→))共线；选项C，eq\o(CA,\s\up16(→))与eq\o(DC,\s\up16(→))不共线；选项D，eq\o(OD,\s\up16(→))＝－eq\o(OB,\s\up16(→))，则eq\o(OD,\s\up16(→))与eq\o(OB,\s\up16(→))共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故选项A、C满足题意．8.ABC9.ABD二、填空题10.答案：0，011.答案：1∶4解析：如图，由eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))可知M，B，C三点共线，令eq\o(BM,\s\up7(→))＝λeq\o(BC,\s\up7(→))，则eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋λeq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up7(→))＋λeq\o(AC,\s\up7(→))⇒λ＝eq\f(1,4)，所以eq\f(S△ABM,S△ABC)＝eq\f(1,4)，即△ABM与△ABC面积之比为1∶4．12.答案：eq\f(1,2)解析：因为eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))－yeq\o(AD,\s\up6(→))，由eq\o(PQ,\s\up6(→))∥eq\o(BE,\s\up6(→))，可设eq\o(PQ,\s\up6(→))＝λeq\o(BE,\s\up6(→))，即xeq\o(AB,\s\up6(→))－yeq\o(AD,\s\up6(→))＝λ(eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝－eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)λ，,y＝－λ，))则eq\f(x,y)＝eq\f(1,2).13.答案：3，eq\f(1,2)解析：依题意得eq\o(BD,\s\up7(→))＝b－a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋b，且eq\o(DM,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)(a－b)＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2λ)))eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2λ)))(a＋b)，所以eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DM,\s\up7(→))＝b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)a－\f(1,6)b))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\o(AM,\s\up7(→))＋eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μa－\f(1,6)b))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)＋μ))a＋eq\f(2,3)b，即eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2λ)))(a＋b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)＋μ))a＋eq\f(2,3)b，由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2λ)＝\f(2,3)，,\f(1,2)＋\f(1,2λ)＝\f(1,6)＋μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,μ＝\f(1,2).))三、解答题14.解：eq\o(NP,\s\up16(→))＝eq\o(AP,\s\up16(→))－eq\o(AN,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(CN,\s\up16(→))－eq\o(CM,\s\up16(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up16(→))＝－eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)(a－b)＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(PM,\s\up16(→))＝－eq\o(MP,\s\up16(→))＝－(eq\o(MN,\s\up16(→))＋eq\o(NP,\s\up16(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b)．15.解：(1)因为AN＝eq\f(1,4)AB，所以eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)a，所以eq\o(DN,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)a－b．因为BM＝eq\f(2,3)BC，所以eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→