八年级数学《等腰三角形中的分类讨论》段春燕

《与等腰三角形有关的分类讨论问题》教学设计长沙高新区明德麓谷学校段春燕课题等腰三角形有关的分类讨论问题课型复习课教学媒体多媒体教学目标知识技能1.学生能从具体的问题情境中理解分类讨论的教学思想方法、能够运用此方法解决等腰三角形的有关问题；过程方法让学生积极主动地参与课堂、自主探究、合作交流、运用、体验分类讨论的思想方法；情感态度使学生感受数学解题的严谨性、条理性、使学生形成独立思考、合作学习的习惯，让其克服困难，从而获得成就感，并树立信心。教学重点利用分类讨论思想方法解决等腰三角形相关问题教学难点根据题意正确画出图形，正确求解教学过程设计一、导入同学们大家好，清代教育家颜元说过:“讲之功有限，习之功无已.”在数学学习过程中，我们不仅要重视新知识的学习，更要重视“习行之功”.分类思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况。本节课主要研究等腰三角形中的分类讨论问题，等腰三角形是一种特殊的三角形，其性质丰富，相关问题也灵活多变.一些与等腰三角形的边、角有关的问题，由于条件没有明确给出，会出现多种情况，需要通过分类讨论才能解决.学生遇到等腰三角形中有关分类问题，往往会因为分类不当，或考虑不全面导致错解或漏解，因此要特别引起重视.本课就分类讨论思想在等腰三角形问题中的应用进行举例说明。几何中的分类讨论主要有两种情况：由几何图形属性不确定而引起的分类讨论问题；由几何图形之间的位置关系不确定而引起的分类讨论问题。二、教学过程（一）先看角的方面，由于题目条件的不确定性引发结论不唯一，当顶角或者底角不能确定时，必须进行分类讨论例1：等腰三角形的一个角为80°，则它的另外两个角是多少度？解析：题中未指明80°是顶角还是底角，因此应该分两种情况考虑:①当80°是顶角，则底角度数为（180°-80°）÷2=50°②当80°是底角，则顶角度数为180°-80°×2=20°点评：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.变式练习1：等腰三角形的一个角为110°，则它的另外两个角是多少度？解析：此题的解题步骤和例题1类似，但是考虑到三角形内角和是180°，故本题只有一种情况符合题意。变式练习2：等腰三角形的一个外角为110°，则它的另外两个角是多少度？解析：已知等腰三角形的一个外角等于110°，有两种情况：与一个底角相邻的外角等于110°；与顶角相邻的外角等于110°；因此需要分类讨论。（二）再看边方面，由于题目条件的不确定性引发结论不唯一，当底边与腰长不能确定时，必须进行分类讨论例2：已知等腰三角形的一边长为4,，另一边长为8，求周长？解析：已知条件中未指明4,或8是腰长还是底边长，因此需要通过分类讨论来解答.①当腰长为4时，三角形三边分别为4,4,8;②当腰长为8时，三角形三边分别为4,8,8;由于三角形三边关系必须符合“三角形的两边之和大于第三边”所以排除①，三角形的周长为4+8+8=20.点评：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论，可以做到不缺不漏.（三）与垂直平分线相关的问题例3：已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得锐角为40°，则等腰△ABC的底角∠B的大小为多少?解析:由条件“AB的垂直平分线与边AC所在直线相交”可知，其交点可能在腰AC上，也可能在AC的延长线或反向延长线上，这是由三角形的不确定而引起的分类讨论，因此，应当考虑锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情况图1图2图3①当△ABC是锐角三角形时，如图1，DE与线段AC相交，因为DE是AB的垂直平分线，∠AED=40°,所以∠A=90°-∠AED=90°-40°=50°，又因为AB=AC,所以∠ABC=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°;②当△ABC是钝角三角形时，如图3，DE与CA的延长线相交时，如图，因为DE是AB的垂直平分线，∠AED=40°,所以∠EAD=90°-∠AED=50°所以∠BAC=180°-∠EAD=180°-50=130°，因为AB=AC,所以∠ABC=(1800-∠BAC)÷2=(180°-130°)=25°.③当△ABC是直角三角形时，如图2，因为DE平行AC,故DE与AC没有交点。点评：由于受定式思维的影响，学生大部分遗漏第二种情况.建议解题时按照三角形的分类给出所有可能。（四）与高相关的问题例4：若等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角为多少度？解析：根据已经学过的知识，因为图形的不同，三角形的高有可能在三角形的内部、也有可能在三角形上，也有可能在三角形外部，因为本题也是由三角形的不确定而引起分类讨论，再根据三角形的内角和为180°，等腰三角形的两个底角相等，即可求得结果.图5图6①如图4:因为AB=AC,∠ABD=50°,BD⊥AC,所以∠A=40°,所以∠ABC=∠C=(180°一40°)÷2=70°②如图5:等腰直角三角形的两条腰即为彼此的高，所以不符合题意；③如图6，因为AB=AC，∠DCA=50°,BD⊥CD,所以∠BAC=140°,所以∠ABC=∠ACB=(180°一140°)÷2=20°综上，该三角形的底角可能为70°或20°。点评：三角形的高是由三角形的形状决定的，锐角三角形的三条高都在三角形内部；钝角三角形的三条高，有两条在三角形外，一条在三角形内；直角三角形的三条高，有两条是直角边，一条在三角形内部。（五）与中线相关的问题例5：已知一个等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线分成的两个三角形周长差为3cm，则腰长为多少？解析：一腰上的中线把等腰三角形分成两部分，已知条件没有指明哪部分长，故有两种可能.因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD①如图7，若C△ACD--C△ABD=AC-AB，又AB=5cm，所以AC--5=3，AC=8；②如图8，若C△ACD--C△ABD=AB-AC，又AB=5cm,所以5--AC=3,解得AC=2，若AC=8，则三角形的三边分别为8cm,8cm,5cm，能组成三角形;若AC=2，则三角形的三边分别为2cm,2cm,5cm，因为2+2=4<5,所以不能组成三角形，综上所述，三角形的腰长为8cm点评:涉及等腰三角形边的计算时，要明确它是否能构成三角形.（六）动点问题例6：在平面直角坐标系中，已知A(3,-3)，在x轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点有几个，请画出来。解析：该题中有两个定点O与A，已知中没有明确那个点是顶点，所以有三种情况。①若点O是顶点，则OP=OA,则以点O为圆心，以OA长为半径画圆，圆与X轴的交点即为满足条件的点p，该种情况下符合条件的点有P1,P2两个点。②若点A为顶点，则AP=AO，以A为顶点，以AO为半径画圆，圆与X轴交于点P，则点p符合题意；③若点P为顶点，则PO=PA，则点p在线段OA的垂直平分线上，作线段OA的垂直平分线与X轴交于点P，则点P符合题意；综上，以上4个交点没有重合.故符合条件的点有4个.点评：在作以某一线段为边的等腰三角形时，即“两定点一动点”，可以根据顶点来分类，作出“两圆一线”，即可解决问题。变式练习：如图，在△ABC中，∠B=60°,AB=12cm.BC=4cm，现有一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿射线AB运动、则运动几秒时△PBC为等腰三角形?解析：点在射线上运动，故有两种可能，P在线段AB上，P在线段AB外.点评:在等腰三角形动点问题中，要明确运动范围，将所有情况罗列出来再进行讨论.变式练习：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A,C的坐标分别为（10,0），（0,4），点D是OA的中点,点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，请画出点p的位置。小结：等腰三角形是一种特殊而且十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往会出现考虑不周全的情况，因此，在求解有关等腰三角形的问题时，很多问题涉及分类思想.学生要依据题目给出的关键词思考为什么要进行分类，如何进行分类，怎样确定分类.要做到真正掌握学习方法、学习思想，达到懂一题、晓一类、通一片.愿所有的学生在学习和生活中都能够像分类讨论一样多方面考虑问题、认识问题、并解决问题!设计意图：让学生明确分类讨论思想在等腰三角形应用的重要性。设计意图：在等腰三角形的分类问题中角度问题相对简单，学生也较为熟悉，因此放在靠前环节，体验分类讨论的思想的同时，也让学生体验分类成功的喜悦。在讨论了角度的问题后，积累了一定的探究经验，三角形的边与角的讨论也是分类的特征，这也是本课的第二级台阶，更进一步让学生感受分类的数学思想，并开始从总结中提炼分类的方法与实质，初步形成本节的知识框架。设计意图：本内容