高中数学解题方法系列：函数问题中抽象函数的4种策略 （无答案）

第页高中数学解题方法系列：函数问题中抽象函数的4种策略抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。对考查学生的创新精神、实践能力和运用数学的能力，有着十分重要的作用。化抽象为具体,联想类比思维都有助于问题的思考和解决。一、数形结合使抽象函数具体一般地讲，抽象函数的图象为示意图居多，有的示意图可能只能根据题意作出n个孤立的点，但通过示意图却使抽象变形象化，有利于观察、对比、减少推理、减小计算量等好处。例1、设奇函数f(x)的定义域为[5,5]，若当x0,5时，f(x)是增函数且f(2)=o求不等式xf(x)0的解。例2、已知函数f（x）对一切实数x都有f（2+x）=f（2-x），如果方程f（x）=0恰好有4个不同的实根，求这些实根之和。评注①一般地，若函数f（x）满足f（a+x）=f（a-x），则直线x=a是函数图象的对称轴，利用对称性，数形结合，可使抽象函数问题迎刃而解。②、对称性的定义③轴对称定义：如果函数yfx满足faxfbx，则函数yfx的图象关于直线对称。④点对称定义：如果函数yfx满足faxfax2b，则函数yfx的图象关于点a,b对称。⑤抽象函数技巧规律总结：（1）当x前面的符号相同时考虑周期性。（2）当x前面的符号不同考虑对称性，f前面的同号为轴对称，f前面的异号为点对称。（3）奇偶性周期性对称性；奇偶性对称性周期性。奇偶性有制造负号的能力练习1、（2014年新课标）设函数f(x),g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是（）A.f(x)g(x)是偶函数B.f(x)g(x)是奇函数C.f(x)g(x)是奇函数D.f(x)g(x)是奇函数2、（2014年湖南）已知分别f(x),g(x)是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则f(1)g(1)二、利用单调性定义使问题具体加上函数符号f即为“穿”，去掉函数符号f即为“脱”。对于有些抽象函数，可根据函数的单调性，实现对函数符号的“穿脱”，以达到简化的目的。例3已知f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且，若f(6)=1，解不等式三、类比模型使解题思路具体模型，就是根据题目给定的关系大胆猜想抽象函数的生成原始模型，作出目标猜想，利用模型函数的有关性质去探索解题方法尤其对选择题或填空题中抽象函数也可赋于具体的背景函数以帮助作答。对于解答题则可以起到启迪思路并起验证作用。例4、已知函数f（x）(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y),f(6)=1（1）求证：f(1)=f(-1)=0；（2）求证：f(x)为偶函数；（3）若f(x)在(0,+∞)上是增函数，解不等式f(x)+f(x+5)≤2。例4、已知函数f（x）对一切实数x、y满足f(0)≠0，f(x+y)=f(x)(y)，且当x＜0时，f（x）＞1。求证：（1）当x＞0时，0＜f（x）＜1；（2）f(x)在x∈R上是减函数。四、赋值策略使问题具体抽象函数常常以函数方程的形式出现，解决这类问题的时候让变量取一些特殊值或特殊式，从而使问题解决，并具有一定的规律性。例5．如果f(ab)f(a)f(b)且f(1)2，则例6设f(x)是区间(0,1)上的函数，且同时满足：①对任意x(0,1)，恒有f(x)>0；②对于任意，恒有。试证明：（I）对任意x(0,1)都有f(x)f(1x)（II）对任意抽象函数单调性的证明与应用1、已知函数在上有定义，当且仅当时，且对任意都有.（1）证明：；（2）证明：在上单调递减.2、已知定义在上函数对任意正数都有，当时，，且（1）求的值；（2）解关于的不等式：.3、已知函数的定义域为，当时，，且对于任意的实数，有.（1）求；（2）证明：恒成立；（3）判断并证明函数在上的单调性.4、已知函数对一切正实数都有，且时，，.求证：；求证：；求证：在为减函数；若，试求的值.5、已知函数是定义