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2020高三数学专题复习关于二面角是锐角还是钝角的解决方案

求解二面角的大小，是立体几何中的重要问题。利用法向量求解是一种基本方法。这种解法中，有个问题一直在困扰着大家。即所求的二面角到底是锐角还是钝角？

下面，我们通过一个例题，来阐述解决这一问题的三个方案。解答：

我们对上面的解答是存疑的。为什么此时二面角的大小就是法向量的夹角？理由是什么？观察一下图像，给我们的感觉是所求的二面角是钝角，因此余弦值是负的。实际上，上面的答案是错的，原因是，你的眼睛欺骗了你！尽管看起来像是钝角，实际上却是锐角。解决此类问题，仅仅靠观察目测，来判断二面角的锐钝，是靠不住的，很容易造成误判。

目测二面角的大小，尽管存在一些问题，但我们都用过，是没有办法的办法。尽管方法不够完美，但如果图形位置摆放的合理，一眼便知锐钝，目测观察也有合理的一面。

目测观察二面角的大小，是我们解决此类问题的第一种方法。除此之外，还有其它方法。

方法二，利用法向量的方向来判断。

当两个法向量同出或同进时，

当两个法向量一出一进时，

这个道理我们都懂，但问题是我们怎么样判断法向量是进还是出？

上面例子中，我们求出了两个半平面的法向量

这两个法向量是盲求的，是随意求出的。事先我们没有加以控制，无法确定方向。

既然无法确定方向，那么我们怎么样判断这个法向量是进还是出呢？在空间坐标系中，三个坐标平面将空间分成了八个部分，法向量指向的卦限由终点的三个分量坐标的正负决定。第一卦限：第二卦限：其它卦限符号类似

上面例子

，由原点指向第四卦限，由原点指向第二卦限上面方法是：先盲求法向量，再由法向量指向的卦限，相对于某半平面，判断是进还是出。这种判断优于目测！下面我们再给出一个不用目测，不用判断的方法。这一方法的特点是，事先控制法向量的方向，使得法向量的夹角就是二面角的平面角。这个方法和向量的叉积有关建立右手系空间坐标系就是平面的法向量，这个法向量的方向是可以控制的做叉积：这个叉积就是法向量，方向由右手法则确定！在上图中，相对于平面，是进入，相对于平面，是出去。此时，这两个法向量的夹角就是二面角的平面角。这里还有一个问题，就是如何求得叉积。对于基础较好的同学，介绍一下向量的叉积，并不困难，就是一个公式而已。具体操作如下：在棱上形成向量

这种方法中，求法向量，不能盲求。必须是求叉积，并且棱上向量要放在前面。这样求得的叉积（法向量），方向服从右手系，适当选取面内向量，就可以保证法向量的夹角就是二面角的平面角。

综上：关于二面角的锐钝问题，我们有上述三个方案，方案一：盲求法向量，观察目测二面角的锐钝方案二：盲求法向量，由卦限判断法向量的进出方案三：求特定的叉积，保证向量夹角就是二面角的平面角

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