第35讲 非线性回归问题

第35讲非线性回归问题【典例1】二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：使用年数x234567售价y201286.44.43z＝lny3.002.482.081.861.481.10下面是z关于x的折线图：(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明；(2)求y关于x的回归方程，并预测当某辆A型号二手车使用年数为9年时售价约为多少；(eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))小数点后保留两位有效数字)(3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年．【解析】解(1)由题意，知eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，eq\x\to(z)＝eq\f(1,6)×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，又izi＝47.64，＝4.18，＝1.53，∴r＝eq\f(47.64－6×4.5×2,4.18×1.53)＝－eq\f(6.36,6.3954)≈－0.99，∴z与x的相关系数大约为－0.99，说明z与x的线性相关程度很高．(2)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(47.64－6×4.5×2,139－6×4.52)＝－eq\f(6.36,17.5)≈－0.36，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(z)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝2＋0.36×4.5＝3.62，∴z与x的线性回归方程是eq\o(z,\s\up6(^))＝－0.36x＋3.62，又z＝lny，∴y关于x的回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝e－0.36x＋3.62.令x＝9，得eq\o(y,\s\up6(^))＝e－0.36×9＋3.62＝e0.38，∵ln1.46≈0.38，∴eq\o(y,\s\up6(^))≈1.46.即预测当某辆A型号二手车使用年数为9年时售价约为1.46万元．(3)当eq\o(y,\s\up6(^))≥0.7118，即e－0.36x＋3.62≥0.7118＝eln0.7118≈e－0.34时，则有－0.36x＋3.62≥－0.34，解得x≤11，因此，预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年．【方法总结】非线性回归方程的求法(1)根据原始数据作出散点图．(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．(3)作恰当变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程．(4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程．【典例2】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，于是对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)的数据进行了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)(xi－eq\x\to(x))2(wi－eq\x\to(w))2(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))(wi－eq\x\to(w))·(yi－eq\x\to(y))46.65636.8289.81.61469108.8注：表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)i.(1)根据散点图判断，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x与eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))＋eq\o(d,\s\up6(^))eq\r(x)哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程模型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y之间的关系为eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2y－x，根据(2)的结果回答下列问题．①当年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？【解析】解(1)由散点图可以判断，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))＋eq\o(d,\s\up6(^))eq\r(x)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程模型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y关于w的线性回归方程．由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值为eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6，年利润z的预报值为eq\o(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z的预报值eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2×(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12，所以当eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24时，eq\o(z,\s\up6(^))取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．【典例3】取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：第年12345678910旅游人数（万人）300283321345372435486527622800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．精确到个位，精确到．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①②3040714607参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．②刻画回归效果的相关指数．③参考数据：，．5.54496.058341959.00表中．【解析】解：（1）对取对数，得，设，，先建立关于的线性回归方程．，，．模型②的回归方程为；（2）由表格中的数据，有，即，即，，模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好．2021年时，，预测旅游人数为（万人）．【典例4】近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至2018年底，中国铁路运营里程达13.2万千米，这个数字比1949年增长了5倍；高铁运营里程突破2.9万千米，占世界高铁运营里程的以上，居世界第一位．如表截取了年中国高铁密度的发展情况（单位：千米万平方千米）．年份20122013201420152016年份代码12345高铁密度9.7511.4917.1420.6622.92已知高铁密度与年份代码之间满足关系式，为大于0的常数）．若对两边取自然对数，得到，可以发现与线性相关．（1）根据所给数据，求关于的回归方程，保留到小数点后一位）；（2）利用（1）的结论，预测到哪一年，高铁密度会超过30千米万平方千米．参考公式：设具有线性相关系的两个变量，的一组数据为，，2，，则回归方程的系数：，．参考数据：，，，，，．【解析】解：（1）对两边取自然对数，得；令，，，2，3，，；得与具有线性相关关系，计算，，，，，故关于的回归方程为，即；（2）在（1）的回归方程中，，高铁密度超过30千米万平方千米；即，，．，即时，高铁密度超过30千米万平方千米；所以预测2019年，高铁密度超过30千米万平方千米．【典例5】近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了天.得到的统计数据如下表，为收费标准（单位：元/日），为入住天数（单位：），以频率作为各自的“入住率”，收费标准与“入住率”的散点图如图x50100150200300400t906545302020（1）若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过的农家乐的个数，求的概率分布列；（2）令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程.（结果保留一位小数）（3）若一年按天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额最大？（年销售额入住率收费标准）参考数据：【解析】（1）的所有可能取值为.则，的分布列（2）由散点图可知更适合于此模型.其中，所求的回归方程为（3）令若一年按天计算，当收费标准约为元/日时，年销售额最大，最大值约为元.【典例6】噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度（单位：分贝）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量（=1，2…，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值.45.70.515.1表中，。（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据表中数据，求声音强度关于声音能量的回归方程；（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且.己知点的声音能量等于声音能量与之和。请根据（1）中的回归方程，判断点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由。附：对于一组数据.其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.【解析】（1）更适合.（2）令，先建立关于的线性回归方程.由于，∴∴关于的线性回归方程是，即关于的回归方程是.（3）点的声音能量,∵，∴,根据（1）中的回归方程，点的声音强度的预报值，∴点会受到巢声污染的干扰.【典例7】近年来随着互联网的高速发展，旧货交易市场也得以快速发展.某网络旧货交易平台对2018年某种机械设备的线上交易进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，和如图所示的散点图.现把直方图中各组的频率视为概率，用（单位：年）表示该设备的使用时间，（单位：万元）表示其相应的平均交易价格.（1）已知2018年在此网络旧货交易平台成交的该种机械设备为100台，现从这100台设备中，按分层抽样抽取使用时间的4台设备，再从这4台设备中随机抽取2台，求这2台设备的使用时间都在的概率.（2）由散点图分析后，可用作为此网络旧货交易平台上该种机械设备的平均交易价格关于其使用时间的回归方程.表中，（i）根据上述相关数据，求关于的回归方程；（ii）根据上述回归方程，求当使用时间时，该种机械设备的平均交易价格的预报值（精确到0.01）.附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距