半角的正弦余弦和正切

半角的正弦、余弦和正切（课堂教学实录）广西防城港市上思县上思中学［教者］王春雷［点评］凌旭球（中学特级教师）一、教学目标1、掌握半角公式及推导方法。2、理解公式的结构特点和内在联系，能根据已知条件确定公式中的符号。3、能熟练、合理地运用公式。二、重点、难点分析1、重点：SjC屋乙公式的推导、识记及熟练运用。2 2 22、难点：S屋％公式中双重符号的选择、以三个公式的灵活运用。2 2 2三、教学用具、准备电脑和投影设备，自制电脑课件。四、教学过程设计（一）复习引入师：前面我们已经学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，现在让我们一起回忆一下：tan2a=2tana（师生合作回答，然后用投影显示）1一tan2a评：从复习与新知相关的旧知入手，为探讨新课题作铺垫。4 .兀下面，我们一起来看一道习题：cos2a=—,ae（0,—），求cos4a和cos2a5 4的值。（投影显示）我们能利用已学的公式来解这道题吗？生：能，用二倍角公式。师：那好，下面我们就一起来完成这道题：3ncosa=10"I。（生集体回答，师板书）评：这道习题的设计，既起到了巩固旧知，又蕴含着准备将新知转化为旧知去研究的作用。师：从上面的解题过程，我们可以知道，从单角函数求倍角函数，直接代入公式即可，不需要考虑值的符号；但是从倍角函数求单角函数，得到的是涉及开方运算的式子，这时就需要考虑函数值的符号了。现在，我们再来看另一道习题，已知：cosa=4,ae（0,-），求cos-5 2 2的值。（投影显示）我们还能利用已学的公式来直接求解呢？评：用这道习题作引子，并用设疑式为新课引入作准备，可使学生明确探索目标，带着任务学。生：不能。师：但如果我们把看成上题的2a角，那-角就变成了上题的什么角？2生：a角。师：所以，cos-的值是……（稍作停顿）2生：」.近0。10师：不错，这就启发我们：如果把二倍角公式中的2a角换成a角，把公式中的a角换成a角，就得到用单角来表示半角的公式，即“半角公式”。（师2板书课题）评：新课题以旧知识不能解决的问题来引入是一种好方法，它可激发学生探求新知的欲望与热情。（二）新课讲授1、公式推导师：下面，我们一起来探讨如何从“二倍角公式”导出“半角公式”。先探讨a.如何将公式变形得出sina与a角的三角函数关系。2生：由sina=2sinacosa=2sina[±；1—sin22a]，从中解出sina。2 2 2\ 2 2师：不错,但这个等式太麻烦了,不便于解出，1“合，能否用更简洁的方法来求解呢?生：可以利用cosa=1-2sin2a得出sin2a=匕巴-，从而师：生：师：生：.a ；1师：生：师：生：.a ；1-cosasin—二±■, 2 2（板书）对，但公式中“土”号的确定是关键，是不是两个都要呢？（稍作讨论后回答）不是，应根据a角所在的范围中正弦的符号来选取。2具体的说，就是a角在第一、二象限时取……（稍作停顿）2师：当-角在第三、四象限时取……（稍作停顿）2生：“-”号。师：如果没有指明-角的范围呢？2生：“土”号都要。评：师生合作导出〃半角正弦〃公式，在教师的〃主导〃下，让学生积极主动地探索，依靠学生自己的思维去获取知识，也顺利地解决了"土〃号的确定这一关键性问题。师：生：师：很好。下面我们接着来研究.角的余弦。— —利用师：生：师：很好。下面我们接着来研究.角的余弦。— —利用cosa=2cos2一一1得出C0S2一=2 21+cosa ，a .1+cosa从而cos—=±「 2 2（板书）这里又出现了“土”号，请大家参照刚才的方法总结一下。生：当-角在第一、四象限时取“+”，在第二、三象限时取“-”；如果没有2指明-角的范围时，“土”号两个都要。2评：有了〃半角正弦〃的推导作样板，〃半角余弦〃的导出自然水到渠成。师：不错。我们现在已导出了半角的正弦、余弦公式，如果利用同角三角函数关系式，你能马上得出半角的正切公式吗？a .1一cosasin— ±, 生：能。由商数关系得：tana= 2=[2 =±'匕22 a 」1+cosaV1+cosacos—— +। 2±\2评：点拔恰当，在此使学生感受到〃联想〃的作用。师：（板书）由于分子、分母都有“土”号，能否把“土”号约掉？生：不能。师：那么又如何理解结果中的“土”号呢？生：是分子、分母的“土”号搭配的结果一一当分子、分母同号时取'+"，分子、分母异号时取“-”。师：由这一搭配的结果，你能根据2角所在的范围说出如何选取正切符号吗？2生：能。当a角在第一、三象限时取“+”，在第二、四象限时取“-”；当没2有指明l角的取值范围时，应该同时取“土”号。2师：此外，还有没有其它方法来处理这双重符号呢？（生困惑，议论）

评：问题提得好，将学生自然引导到对〃半角正切〃公式的深层探讨上。asin—师:acos—2呢?生:能，是同号。师:生：那么tan-与sina呢？2也是同号。师:根据这种思路，下面我们进一步来研究tana的公式，使它变得更简单，2sin—更便于使用。由于tana= 22 a师:acos—2呢?生:能，是同号。师:生：那么tan-与sina呢？2也是同号。师:根据这种思路，下面我们进一步来研究tana的公式，使它变得更简单，2sin—更便于使用。由于tana= 22 acos—2asin—将—2的分子、分母同时乘以2sinaa2cos—2生:或2cos—，

2使sina变成sina，那么会得到什么结果呢?2aasin—tan一= 22acos—2sin—•2cos—2 2acos—2sinaa1+cosa•2cos—asin—或tan—= —2acos—2asin—22a•2sin— 12 1一cosaaacos—•2sin一2 2sina（师板书）2、公式识记师：至此，我们已经把本节课要学习的“半角公式”全部推导出来了。下面，我们一起来探讨对这组公式的初步理解与记忆。（投影显示公式）,'1-cosa:'1+c0sa。⑵（C）tan-二±13a⑶

2 1+cosasina/八 ⑷1+cosa=1-c°sa^(T),

sinaa2师：首先明确公式成立的条件，即a角的取值范围，先看⑴、⑵。生：公式⑴、⑵的条件是aeR。师：再看公式⑶、⑷。生：对于公式⑶、⑷，需满足左、右两式均有意义，即：-^-+k兀，且2 21+cosa中0，所以a中(2k+1)兀,keZ。师：那么公式⑸的条件呢？ra兀生：一w—+k兀，且sina中0，即：a中(2k+1)兀,keZ，且a半k兀，所以a半k兀，22keZ。sina师：公式⑷、⑸都是从式子tan-= 2推出的，为什么成立的条件不相同呢?2acos—2生：(稍作议论后回答)因为同乘以2sin-时，不能保证它一定不为零，为了2保证变形的等价性，需添上条件-wk兀，即aw2k兀，所以增加了公式的2使用条件。师：现在我们将公式成立的条件总结如图所示，希望大家在使用时加以注意。(投影显示图表)公式左端a取值范围右端a取值范围从左到右a取值变化未变未变未变变小,缩小范围为2k九师：下面我们一起探讨对公式如何记忆。请大家先仔细观察半角的正切公式，然后对下列这四个式子，匕包-，^^吧，‘osJ，」°sJ(投影cosacosa1+sina1-sina显示)进行判断，是否是tana公式的表达式？2生：都不是。

a师：对，在tan的表达式中，只含有二种不同的式子：1+cosa，1-cosa和2sina，而1+cosa若出现一定会在分母上，如⑶、⑷；若1-cosa出现则一定出现出分子上，如⑶、⑸；而⑷、⑸两个公式，一旦分子或分母确定sin-下来，另一个位置肯定就是sina。同时，根据tana= 2的性质，我们2 acos—2就可以很容易地建立起1-cosa与sina1+cosa与cosa的联系。当然，2， 2最好的记忆方法还应该是在公式的应用中熟悉、并掌握下来。评：揭示公式成立的条件及内在联系，理清其结构形式，不仅使学生改变死记硬背公式的习惯，而且掌握了公式的本质达到识记作用。这样做可拓展学生的思维领域，提高学生分析问题和解决问题的能力。3、巩固练习a/上a/上tan—的值。2例：已知sina士，根据下列条件求sin- 例：已知sina5 2， 2，3兀⑴ae（3-,2兀）;⑵a为第四象限的角。2师：我们应该用什么方法来解这道题呢？生：用半角公式。师：还需要什么条件吗？生:师:生:师:还需要知道cos生:师:生:师:还需要知道cosa和a角的范围。2那好，我们现在请一位同学上来具体计算一下⑴。,一，、、 ，一 3兀（板书）⑴解:0ae（一,2兀）2,a一，3兀_、 - 3・・—e（—,兀），cosa——2 4 5做得很好。特别值得肯定的是对a角范围的指出，2因为公式中“土”号的选择要看-角的范围。2评：恰当的课内练习，起着巩固新知的作用，而对学生练习作实事求是的评价，非常重要，可使学生感受成功的乐趣。师：下面，我们来做⑵。由于时间关系，我们只要求指出各值的符号即可。生：®a为第四象限，，2k兀一三<a<2kR，即kn--<—<k兀,（keZ）。TOC\o"1-5"\h\z2 4 2当k为偶数时，—为第四象限的角；当k为奇数时，―为第二象限的角。2 2当—为第二象限时，cos—为正，sin―为正，cos—为负，tan—为负。2 2 2 2当—为第四象限时，cos—为正，sin―为负，cos―为正，tan—为负。2 2 2 2师：不错，下面大家比较一下这两道小题的计算，你们有何发现，或有什么疑问吗？3兀生：⑴中的—e（生,2兀）是第四象限的角，⑵中的—角也是第四象限的角，为什2么⑴只有一组解，而⑵却有两组解呢？师：问题提得好。这是因为⑴中的—角是区间角，只是第四象限角中的一部分，-角只有一种可能；而⑵中的—是象限角，-角有两种可能。所以我们要22在解题时一定要注意区分区间角和象限角这两个不同的概念。（三）归纳小结这节课我们一起导出了“半角公式”，并做了初步的理解与应用。在这里我们要注意以下几点：⑴半角与倍角是相对的，也是紧密联系的，是同一种关系的不同表现形式。⑵对公式的记忆要采取合成记忆的方法，即对比记忆（求同）结合特例记忆（求异）来进行。⑶要处理好公式中双重符号的选择。（投影显示以上三点）至于对半角公式的进一步综合应用将在下节课继续研究。评：必要的归纳、总结，起到将知识升华及迁移运用，使之转化为能力的作用。则对公式的灵活运用，有待后续课程的强化。（四）布置作业：课本题P1、2、3题五、课堂设计说揄本节课没有直接给出公式，而是采用启发式教学，注重学生的参与度，通过提问、板演、投影、讨论等多种形式引导学生对公式的内容、推导进行独立思考、探索，培养学生联系转化的辩证思想。六、板书设计§3.3半角的正弦、余弦、正切1、二倍角公式（略）2、半角公式（略）作业：P22/、2、3倍角公式复习题半角公式推导例题（略）总评：本课教者从与新知相关的旧知〃二倍角公式〃复习入手，设计了两道习题作为探求新知的引子，将所学新知识转化为用旧知识去研究解决，即符合认识规律，又为探求新知起到前期测诊及扫清障碍的作用。在讲授中，采用师生对话、合作讨论的启发式教学方法，全程围绕教学目标开展，从旧知自然引申到新知，有层次地引导学生向深层