考点26事件的概率

考点26事件的概率（概率）课标对考点的要求对事件的概率（概率）问题，中考命题需要满足下列要求：1.能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率。2.知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率。重要考点知识解读知识框架一、确定事件和随机事件1.确定事件：确定事件是一定会发生或一定不会发生的事件，包括：（1）必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件．（2）不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件．2.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．3.随机事件发生的可能性：一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小．要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样．所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题．二、概率1.概率的概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．2.频率与概率的关系：当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值．3.确定事件和随机事件的概率之间的关系：（1）确定事件概率：①当A是必然发生的事件时，P(A)=1②当A是不可能发生的事件时，P(A)=0（2）确定事件和随机事件的概率之间的关系：4.古典概型的定义：某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等．我们把具有这两个特点的试验称为古典概型．5.概率的计算：（1）公式法：P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．（2）列举法1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．6.利用频率估计概率（1）定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．（2）适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．（3）方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．重要方法总结1．一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的，它的大小要由它在整个问题中所占比例的大小来确定，它占整体的比例大，它的可能性就大，它占整体的比例小，它的可能性就小，不确定事件发生的概率在0到1之间，不包括0和1．2．必然事件发生的机率是100%，即概率为1，不可能事件发生的机率为0，即概率为0．3.在用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象．4.在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同．5.游戏是否公平在于可能性是否相等，即可能性相等，游戏公平；可能性不相等，则游戏不公平．6.几何概型：一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝，解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算．中考典例解析【例题1】(2021贵州贵阳)贵阳市2021年中考物理实验操作技能测试中，要求学生两人一组合作进行，并随机抽签决定分组．有甲、乙、丙、丁四位同学参加测试，则甲、乙两位同学分到同一组的概率是．【答案】．【解析】画树状图，共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有4种，再由概率公式求解即可．画树状图如图：共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有4种，∴甲、乙两位同学分到同一组的概率为＝．【例题2】（2021甘肃威武定西平凉）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右．（1）请你估计箱子里白色小球的个数；（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．【答案】见解析。 【解析】（1）设白球有x个，根据多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右可估计摸到红球的概率为，据此利用概率公式列出关于x的方程，解之即可；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，∴估计摸到红球的概率为，设白球有x个，根据题意，得：＝，解得x＝1，经检验x＝1是分式方程的解，∴估计箱子里白色小球的个数为1；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为＝．【例题3】（2021广西玉林）2021年是中国共产党建党100周年华诞．“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）；（2）该校八年级有学生650人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？（3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率．【答案】见解析。【解析】（1）由“不及格”的学生人数除以所占百分比去抽取的人数，即可解决问题；（2）由该校八年级学生人数乘以成绩未达到“良好”及以上的学生所占的百分比即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，抽到甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可．解：（1）抽取的学生人数为：2÷5%＝40（人），则达到“良好”的学生人数为：40×40%＝16（人），达到“合格”的学生所占的百分比为：10÷40×100%＝25%，达到“优秀”的学生所占的百分比为：12÷40×100%＝30%，将两个统计图补充完整如下：（2）650×（5%+25%）＝195（人），答：估计成绩未达到“良好”及以上的有195人；（3）画树状图如图：共有12种等可能的结果，抽到甲、乙两人的结果有2种，∴抽到甲、乙两人的概率为＝．考点问题综合训练一、选择题1．(2021贵州贵阳)“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，x这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则x的值可能是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】根据必然事件的意义，进行解答即可．根据题意可得，x的值可能为4．如果是5、7、6，那么与摸出球上的号码小于5”是必然事件相违背．2．（2021广西玉林）一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个白球 B．至少有2个白球 C．至少有1个黑球 D．至少有2个黑球【答案】A【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念分别进解答即可得出答案．至少有1个球是白球是必然事件，故本选项符合题意；至少有2个球是白球是随机事件，故本选项不符合题意；至少有1个球是黑球是随机事件，故本选项不符合题意；至少有2个球是黑球是随机事件，故本选项不符合题意．3.（2021齐齐哈尔）五张不透明的卡片，正面分别写有实数，，，，5.06006000600006……（相邻两个6之间0的个数依次加1）．这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】通过有理数和无理数概念判断，然后利用概率计算公式计算即可．【详解】有理数有：，，；无理数有：，5.06006000600006……；则取到的卡片正面的数是无理数的概率是．【点睛】本题主要考查了有理数、无理数的概念和简单概率计算，先判断后计算概率即可．4．（2021湖北宜昌）在六张卡片上分别写有6，﹣，，π，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先找出无理数，再利用概率公式求解即可求得答案．∵六张卡片上分别写有6，﹣，，π，0，六个数，无理数的是π，，∴从中任意抽取一张卡片上的数为无理数的概率是：＝．5．（2021湖南永州）小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】画树状图，共有12种等可能的结果，小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的结果有2种，再由概率公式求解即可．把“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化分别记为：A、B、C、D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的结果有2种，∴小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为＝．二、填空题1．（2021浙江金华）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是．【答案】．【解析】直接根据概率公式即可得出结论．∵共有150张奖券，一等奖5个，∴1张奖券中一等奖的概率＝＝．2．（2021辽宁本溪）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着﹣，﹣1，0，，2．从中随机抽取一张，则抽出卡片上写的数是的概率为．【答案】．【解析】根据概率公式即可求解．∵有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着﹣，﹣1，0，，2，∴从中随机抽取一张，抽出卡片上写的数是的概率为1÷5＝．3．（2021黑龙江鹤岗）一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1个小球，然后把小球重新放回口袋摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率是．【答案】． 【解析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两球上的数字之和是偶数的概率即可．解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有9种等可能出现的结果情况，其中两球上的数字之和为偶数的有5种，所以从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为．4．（2021湖北宜昌）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是．（填“黑球”或“白球”）【答案】白球．【解析】根据频率估计概率得出摸到黑球的近似概率，再得出摸到白球的概率，即可推断出是白球多还是黑球多．由图可知，摸出黑球的概率约为，∴摸出白球的概率约为，∴白球的个数比较多，故答案为白球．三、解答题1．（2021吉林长春）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同．小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．【答案】见解析。【解析】画树状图，共有9种等可能的结果，小明获胜的结果有3种，再由概率公式求解即可．画树状图如图：共有9种等可能的结果，小明获胜的结果有3种，∴小明获胜的概率为＝．2．（2021河北省）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示．嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．【答案】见解析。【解析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）补全树状图，共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，由概率公式求解即可．解：（1）嘉淇走到十字道口A向北走的概率为；（2）补全树状图如下：共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，∴向西参观的概率为＝，向南参观的概率＝向北参观的概率＝向东参观的概率＝，∴向西参观的概率大．3．（2021湖北鄂州）为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“献礼建党百年”党史知识竞赛活动．胡老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分100分，且得分x均为不小于60的整数），并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格（60≤x＜70）、合格（70≤x＜80）、良好（80≤x＜90）、优秀（90≤x≤100），制作了如下统计图（部分信息未给出）：根据图中提供的信息解决下列问题：（1）胡老师共抽取了名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为，请补全条形统计图．（2）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形图的方法求甲学生被选到的概率．【答案】见解析。【解析】（1）由“良好”的学生人数除以所占百分比求出胡老师共抽取的学生人数，即可解决问题；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，甲学生被选到的结果有6种，再由概率公式求解即可．解：（1）胡老师共抽取的学生人数为：20÷50%＝40（名），则扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为：360°×＝36°，“合格”的学生人数为：40﹣4﹣20﹣4＝12（名），故答案为：40，36°，补全条形统计图如下：（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果，甲学生被选到的结果有6种，∴甲学生被选到的概率为＝．4．（2021广西贵港）某校为了了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，调查发现学生每天课后进行体育锻炼的时间都不超过100分钟，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：组别锻炼时间（分）频数（人）百分比A0≤x≤201220%B20＜x≤40a35%C40＜x≤6018bD60＜x≤80610%E80＜x≤10035%（1）本次调查的样本容量是；表中a＝，b＝；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）已知E组有2名男生和1名女生，从中随机抽取两名学生，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是；（4）若该校学生共有2200人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有多少人？【答案】见解析。【解析】（1）由A的人数除以所占百分比求出样本容量，即可解决问题；（2）将频数分布直方图补充完整即可；（3）画树状图，共有6种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可；（4）由该校学生总人数乘以每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生所占的百分比即可．解：（1）本次调查的样本容量是：12÷20%＝60，则a＝60﹣12﹣18﹣6﹣3＝21，b＝18÷60×100%＝30%，故答案为：60，21，30%；（2）将频数分布直方图补充完整如下：（3）画树状图如图：共有6种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有4种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝，故答案为：；（4）2200×（10%+5%）＝330（人），即该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有330人．5．（2021贵州毕节）学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长t（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：t＜8，B：8≤t＜9，C：9≤t＜10，D：t≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）小明一共抽样调查了名同学；在扇形统计图中，表示D组的扇形圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整；（3）小明所在学校共有1400名学生，估计该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不足8小时？（4）A组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率．【答案】（1）40、18°；（2）见解答；（3）140人；（4）．【解析】（1）由B组人数及其所占百分比求出总人数，用360°乘以D组人数所占比例即可；（2）根据四组总人数为40人求出C组人数，从而补全图形；（3）用总人数乘以样本中A组人数所占比例；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）本次调查的学生人数为22÷55%＝40（名），表示D组的扇形圆心角的度数为360°×＝18°，故答案为：40、18°；（2）C组人数为40﹣（4+22+2）＝12（名），补全图形如下：（3）估计该校最近一周睡眠时长不足8小时的人数约为1400×＝140（名）；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，所以恰好选中1男1女的概率为＝．6.（2021福建）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，，【解析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率；（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率．【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．此时，比赛的所有可能对阵为：，，，，共四种．其中田忌获胜的对阵有，，共两种，故此时田忌获胜的概率