2022高考数学创新设计二轮复习 每日1题（第三周）

每日1题

第三周已知{bn－an}为等差数列，{bn}的前n项和为Sn，且a1＝2，b1＝2，b3＝14，________，是否存在正整数k，使得Sk>2021？若存在，求k的最小值；若不存在，请说明理由．(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．)解

方案一：选条件①.由log2an＋1＝log2an＋1得log2an＋1－log2an＝1，所以{log2an}是首项为log2a1＝1，公差为1的等差数列，星期一(数列)

2022年____月____日所以log2an＝1＋(n－1)×1＝n，故an＝2n.又b1＝2，b3＝14，a1＝2，a3＝8，所以b1－a1＝0，b3－a3＝6，所以等差数列{bn－an}的公差所以bn－an＝b1－a1＋(n－1)d＝3(n－1)，所以bn＝2n＋3(n－1)，由Sn>2021得n≥10，n∈N*，即存在正整数k，使得Sk>2021，且k的最小值为10.方案二：选条件②.由an＋1＝an＋2n得a2－a1＝21，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1(n≥2)，显然a1＝2也满足an＝2n(n≥2)，故an＝2n(n∈N*)．以下解法同选条件①的．方案三：选条件③.整理得(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n.以下解法同选条件①的．(1)求边AB的长；星期二(三角)

2022年____月____日联立①②，解得AB＝1.解由题知△ABC的面积为【题目3】

有编号为1，2，3的三个小球和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机地放入四个盒子中，每个小球的放置相互独立． (1)求三个小球恰在同一个盒子中的概率；星期三(概率与统计)

2022年____月____日(2)求三个小球在三个不同盒子且每个小球编号与所在盒子编号不同的概率；解记“三个小球在三个不同盒子且每个小球编号与所在盒子编号不同”为事件B，其中，装有小球的三个盒子中不含4号盒子为事件B1，含4号盒子为事件B2，∵事件B1，B2互斥，(3)记录所有至少有一个小球的盒子，以X表示这些盒子编号的最小值，求E(X)．解X的所有可能取值为1，2，3，4，则∴随机变量X的分布列为【题目4】

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，E为棱AA1的中点．星期四(立体几何)

2022年____月____日(1)求证：BE⊥平面EB1C1；证明在长方形ABB1A1中，E是AA1的中点，AB＝1，AA1＝2，所以BE⊥B1E.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，易知C1B1⊥平面ABB1A1，因为BE⊂平面ABB1A1，所以BE⊥C1B1，又B1E∩C1B1＝B1，B1E，C1B1⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)求二面角B-E-CC1的大小．解如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B(1，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，2)，E(1，0，1)．设n1＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，令y＝1，得z＝1，x＝0，即n1＝(0，1，1)．同理可得平面CEC1的一个法向量n2＝(1，1，0)，又二面角B-EC-C1的平面角为钝角，所以二面角B-EC-C1的大小为120°.(1)求抛物线C的方程；星期五(解析几何)

2022年____月____日∵点B在抛物线C上，∴42＝2p×4，∴p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意得，直线l的斜率存在且不为零．设l：x＝my＋1，代入y2＝4x得，y2－4my－4＝0.∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.(1)若函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线与直线x－y＋1＝0平行，求m；星期六(函数与导数)

2022年____月____日解f(x)的定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝lnx＋1－mx，f′(1)＝1－m.因为f(x)的图象在(1，f(1))处的切线与直线x－y＋1＝0平行，所以1－m＝1，即m＝0.(2)证明：在(1)的条件下，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，f(x1)>g(x2)恒成立．证明在(1)的条件下，f(x)＝xlnx，可得f′(x)＝lnx＋1，所以当x∈(0，1)时，h′(