2022高考数学创新设计二轮复习 拓展优化　构造法求数列的通项公式

上篇

专题二数列拓展优化构造法求数列的通项公式已知数列的递推关系求解通项公式是命题的热点，可以很好地考查学生逻辑推理与数学运算核心素养.一般地，对于递推式形如an－an－1＝manan－1(n≥2，m为常数，m≠0)，an＝Aan－1＋B(n≥2，A，B是常数，B≠0，A≠1且A≠0)和bn＋2＝mbn＋1－(m－1)bn(m为常数，m≠1且m≠0)的数列，可以通过将递推式进行适当的变形，构造出等差数列或等比数列，从而求得原数列的通项公式.【典例1】

(2021·南京质检)在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋ln3(n≥2)，则数列{an}的通项an＝____________________________.(1＋ln3)·2n－1－ln3(n∈N*)因此由an＝2an－1＋ln3得到an＋ln3＝2(an－1＋ln3).则{an＋ln3}是以a1＋ln3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋ln3＝(1＋ln3)·2n－1，因此an＝(1＋ln3)·2n－1－ln3(n∈N*).点津突破【典例2】

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*. (1)求{an}的通项公式；思路点拨利用递推式Sn＋1－2Sn＝1构造等比数列求得Sn，进而得an；解因为Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1.因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式.故an＝2n－1，n∈N*.思路点拨运用错位相减法求得Tn，构造函数f(x)＝2x－x－26(x≥1)，借助导数工具及f(5)·f(4)<0可判断出n不存在.所以f(x)＝2x－x－26在[1，＋∞)上为增函数.而f(5)·f(4)<0，故不存在正整数n使得Tn·2n－1＝n＋50成立.1.本题中的Sn＋1－2Sn＝1属于线性递推式an＝Aan－1＋B(n≥2，A，B是常数，B≠0，A≠0且A≠1)的形式，可以转化、构造出一个等比数列{Sn＋1}，求Sn，进而求出{an}的通项公式.2.题目将数列、函数导数交汇在一起，考查学生综合解决问题的能力.点津突破经验证a1＝1不符合上式，点津突破[跟踪演练]1.数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝3an＋2(n∈N*)，令bn＝log3(an＋1)，则bn＝________.n解析由an＋1＝3an＋2(n∈N*)可知an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝2，知an＋1≠0，所以数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，因此an＋1＝3·3n－1＝3n，故bn＝log3(an＋1)＝n.2.已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1＋2an.某同学已经证明了数列{an＋1－2an}和数列{an＋1＋an}都是等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝__________________________.解析因为an＋2＝an＋1＋2an，所以当n＝1时，

a3＝a2＋2a1＝5.令bn＝an＋1－2an，则{bn}为等比数列.又b1＝a2－2a1＝1，b2＝a3－2a2＝－1，所以bn＝(－1)n－1，即an＋1－2an＝(－