解直角三角形的应用2

第三课时解直角三角形的应用教学目标：1.理解直角三角形的概念及锥度、仰角和俯角、坡度和坡角、方向角和方位角的概念，灵活运用直角三角形中边与角的关系和勾股定理解直角三角形，提高把实际问题转化为解直角三角形问题的能力；2.利用锐角三角函数和直角三角形，体会数形结合、转化的重要数学思想在解题中的应用。教学重点:灵活运用直角三角形中边与角的关系和勾股定理解直角三角形，提高把实际问题转化为解直角三角形问题的能力；教学难点:体会数形结合、转化的重要数学思想在解题中的应用。教学过程知识梳理1、仰角、俯角的概念：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，在水平线下方的叫俯角。2.坡度(坡比)、坡角的概念：通常把坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i来表示，即.这里，α是坡面与水平面的夹角，这个角叫坡角。自学检测1、如图，ΔABC中，∠C=90°，D为AC边上的一点，AD=9cm，cos∠A=12/13，tan∠BDC=，则BC的长是。2、等腰梯形腰长20cm，底角正切为4/3，下底长为27cm，则梯形的面积是。3、如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长。4、如图，某同学在30米高的建筑物的顶部A，测得对面另一建筑物的顶部D点的俯角α为30°，测得底部C点的俯角β为45°，求另一建筑物CD的高度。5、在RtΔABC中，∠C=90°，b=8，∠A的平分线AD=，求∠B及a、c的值。6、如图，某学生站在公园的湖边M处，测得湖心亭A位于北偏东30°方向上，又测得游船码头B位于南偏东60°方向上，现有一艘游船从湖心亭A处沿正南方向航行返回游船码头，已知M处与AB的距离为千米，求湖心亭与2游船码头间的距离。（精确到千米)一展身手1.如图，广场上空飘着一只汽球P，A、B是地面上相距90米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角∠PAB＝45°，仰角∠PBA=30°，求汽球P的高度（精确到0.1米，）分析：本例中，ΔABC是斜三角形，故不能直接求解，题目给的信息中有点P的高度，引导我们作AB边上的高PC，从而得到Rt△PAC和Rt△PBC，这种化斜三角形为直角三角形的方法是常用的方法。解：作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵∠PAB＝45°，∴AC=PC·cot∠PAB=PC,又在Rt△PBA中，∵∠PBA=30°，∴BC=PC·cot∠PBA=PC,∴PC+PC=BC=90，∴PC=.答：汽球P的高度是米。2.一水坝的横断面为梯形ABCD，迎水坡i=1∶2，背水坡AD的坡角∠A=60°，坝顶宽CD=4m，高DE=6m，求斜坡BC、AD及坝底AB长。解：作CF⊥AB于F，则四边形DEFC是矩形，∴EF=CD=4，CF=DE=6，∵在Rt△BCF中，，∴BF=2CF=12，∴。∵在Rt△AED中，AE=DE÷tan60°=6÷tan60°=2，AD==4.∴AB=AE+EF+BF=2+4+12=16+2.答：斜坡BC长6m,AD长4m，坝底AB长(16+2)m.评：解直角三角形的知识在实际生活中应用非常广泛，是考查联系实际能力的常见问题。要解决这类问题，首先要找它的数学模型，然后，再把它化归为角直角三角形来解决。当图形是梯形时，通常是作高构造直角三角形，再根据解直角三角形的知识求出问题的解，另外还要理解坡度的含义。3、如图，某船向正东航行，在A处望见某岛C在北偏东60°，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°，已知在该岛周围6海里内有暗礁，问若船继续向东航行，有无触礁的危险？请说明理由。解：要考察船从B处继续向东航行，有无触礁的危险，关键是看AB是否通过以岛C为圆心，6海里长为半径的暗礁区域内。4、如图所示，一艘轮船以20海里/小时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/小时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属台风区。当轮船到A处ABD···GEABD···GEFC分析：（1）这一问我们应考虑的是轮船继续航行，台风中心也随着向北移动，在这个过程中，轮船到台风中心的距离是否≤20海里，由于这个距离无法直接确定，我们假设轮船行驶到C处刚好到台风中心的距离等于20海里，这样我们得到一个直角三角形，它的两条直角边是关于轮船行驶的时间的代数式，而斜边等于20海里，由勾股定理，得到一个关于时间的方程，若它有实数根，则说明轮船会遇到台风，否则就不会遇到台风。（2）有第一问作基础，在这一问中，我们知道了AD,台风到达D时，其中心到达F，则FD=20，在△AFD中，知道∠FAD=120°，通过将这个三角形转化成直角三角形，求得FB，就可知道台风到达F的时间，便可求轮船速度至少应提高多少了。解：（1）设轮船在C处遇到台风，这时台风中心到达E处，所用的时间为x小时，则AE=100－40x，AC=20x，EC=20，由勾股定理得：AF2+AC2=EC2，即(100–40x)2+(40x)2=(20)2，解得：x=1或3（2）设台风到达D时台风中心到达F，则FD=20，作DG⊥AB于G，则DG=AD·sin60°=30，AG=30,∴，AF=36－30=6,∴BF=100－6=94，∴台风中心到达D的时间为94/40=(小时)，轮船从A到D速度至少应为60/≈26(海里/小时)。答：轮船经过1小时最初遇到台风；轮船速度至少应提高6(海里/小时)评：本例是一个综合性问题，它集直角三角形和方程于一体，在解题过程中要认真审题，抓住问题提供的一切信息，分析图形，利用直角三角形边角关系，列出方程，从而解决问题。拓展延伸1.在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19．5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．2、如图，河流的两岸PQ，MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN的A处测的∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到达B处，测的∠CBN=70°，求河流的宽度CE（结果保留两个有效数字）。（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈Sin70°≈，cos70°≈，tan70°≈）小结作业必做题1、小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了.2、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为米ABCDE3、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为米（精确到）.（参考数据：ABCDE4.如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的仰角为30º，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角