中学校本课程教材《趣味数学》

（校本课程）目 录总体规划…………课程实施…………第一节有趣的数学谜语………第二节鸡兔同笼问题…………第三节九宫图的应用…………第四节让梨游戏………………第五节数学中的简单逻辑推理问题…………第六节欺骗眼睛的几何问题…………………第七节抽屉原理的简单应用…………………第八节帕斯卡三角形与道路问题…………第一部分 总体规划《趣味数学》选取不同题材的数学故事与实际问题，使学生在自主阅读的同时能够提高兴趣，积极思考，努力探索，找到解决问题的方案，同时提高学生的思维推理能力，在不知不觉中感受数学，融入数学。一、课程性质课本选取的各类数学故事、数学背景都是非常经典的且具有比较高的欣赏学习价值，能够提高学生进而把学生一步一步领进数学的殿堂。二、课程理念1、本着以生为本、主动发展的原则选择符合学生需要的知识内容编写课本。2、本着以实际生活为本，以兴趣、求知为基点，以能力提高为目标开展教学。3、本着学以致用、理论联系实际、知识指导生活的原则推动每一位学生主动发展，自我提高。三、课程目标1、通过对课本的研读，引导学生体会身边的数学，感受数学无处不在的实用性和数学在逻辑推理中重要作用，切实转变学生对数学原有的枯燥无味的看法，真正开始喜欢数学。2、学生在喜欢数学的基础上，能够发挥主观能动性，积极主动地思考问题、探索问题、合作探究问题，以寻找解决问题的方法，并能开拓思维，提高思维创新能力。3、提升学生的思辨能力和逻辑推理能力，能够在平时的学习中加以充分应用，进行主动地、创造性地学习。第二部分 课程实施实施对象：高一学生实施时间：校本选修课2实施步骤：分四步：1）自行研读，思考合作探究、推理老师指导、解答创新运用、提高实施计划：182课时安排：第一节有趣的数学谜语………2评价与考核本课程采用考核与考试相结合的评价方式。作业：结合课本知识及相关内容，以作业形式，考查学生的解决问题的能力，以了解学生对该校本课程的掌握。学习反思与体会：由学生撰写学习反思与体会，以评价学生的思辨能力和表达能力。了解学生对该校本课程的接受程度，对下期教学进行必要的改进。第一节有趣的数学谜语猜谜是一种非常有趣有益的智力活动，猜谜语也是锻炼思维能力的一种好方法。听了谜语以后，就会动脑筋想：这说的是什么东西呢？“思源于疑先看几个简单例子：（打一字2．一减一不是零。（打一字）3．八分之七。（打一成语）“八分之七”用数学符号写出来，把数字7写在分数线上面，8写在分数线下面，谜底是成语“七上八下”。在上面这些谜语里，用一些很简单的数学知识，对谜语的文字作出新的理解，可以帮助猜出答案。另外一类谜语，谜底是数学名词。还是来看几个例子：4．七六五四三二一。（打一数学名词）六五四三二一”，是从大到小，倒过来数了，所以谜底是“倒数”。讨价还价。（打一数学名词）谜底是商数。你盼着我，我盼着你。（打一数学名词）7．成绩是多少？（打二数学名词）学习成绩是用得分的数目计算的。问“多少”，可以换一个说法，改问“几何？”在中国古代数学书里，问一种绩多少”，等于是问“分数，几何？”谜底是两个数学名词：分数、几何。路和过程有条理地向大家展示。一、以数学用语为谜底的谜语1.五角一趟2.两羊打架 3.完全合算 4.勤点钞票5.两边清点6.有情人终成眷属 7.合法开支 8.打得鸳鸯各一方9.垂钓 10.马术 11.戽 12.岁岁重阳今又重阳13.追本溯源14.对症下药15.多十分16.集体钓鱼17.协议离婚18.打成和局19.团体赛20.刮胡子21.摩拳擦掌 22.谁押林冲去沧州（打两个数学用语二、以数字为谜面的谜语23.一（打一成语） 24.十百千（打一成语）25.一二三四五六七九十（打一字） 26.壹贰叁肆伍陆柒捌玖（打一古书名）27.三八二十四（打一体育用语） 28.7×9（打一古军事书名，卷帘格三、以方程为谜面的谜语29.只吾（打一工业用语） 30.旭÷3（打一化学用语四、以数学家为谜底的谜语31.东坡游春 32.回眸一笑百媚五、以数学科目为谜面的谜语解析几何（打一口头用语六、以运算符号为谜面的谜语34.+-×（打一成语）谜底：（推算法）2.对顶角3.绝对值4（通假法）5.分数6.同心圆7.有理数8.公分母（通假法）10.乘法11.内角（分解法）12.循环节.求根.开方（换算、通假）16.公垂线17.约分18.平角19.公共角20.平角（词性通假）22.两个解、差（问答法。答曰：两个解差，分开即是）23.大有人在24（别解为没有“一”和“万”）25（谜面意为“只”少“八”）（27.女子双打（双打即两打，二十四）28.三十六计（7×9）29.成品（八口减五口为三口，三口即成“品”字）30.结晶（33”）31.苏步青.杨乐（谜面别解为把“析”分解开是多少？）34.支离破碎（×”）你能总结出猜数学谜语的基本方法吗？【猜一猜，练一练】第一组：1.群策群力2.裁判职责3.批准法规4.弹簧弹性5.人人富裕6.啦叭套子7.主动争取8.听候下令9.财政赤字10.伪造账目11.追问到底12.准备参赛13.交换赛场14.热身赛15.团体赛16.互相呼喊17.中秋明月18.平原铁道19.货真价实20.提弦调音谜底：1.公理2.定理3.定律4.有限5.无穷6.大于号7.不等号8.等号9.负数10.无理数11.求根12.等比13.更比14.相似15.合比16.对称17.圆18.直径19.绝对值20.正弦第二组：（打一数学名词）（打一三角函数名）一笔债务（打一数学名词） 两牛打架（打一数学名词）5.大甩卖（打一数学名同） 再见吧妈妈（打一数学名词）7.医生提笔（打一数学名词） 8.99（打一成语）9.110（打一成语） 10.103与1002（打一成语）11.大同小异（打一数学名词） 并驾齐驱（打一数学名词）13.周而复始（打一数学名词） 考试不作弊（打一数学名词）15.夏周之间（打一数学名词） 16.捷道（打一数学名词）17.算盘珠（打一数学名词） 联合国宪章（打一数学名词）19.岁岁重阳，今又重阳（打一数学名词）谜底：1.延长线；2.正弦；3.负数；4.对顶角；5.绝对值；6.分子分母；7.开方；8.百无一是；9.一成不变；10.千变万化；11.近似；12.平行；13.循环；14.真分数；15.商；16.直径；17.代数；18.最大公约数；19.循环节。【数学谜语集锦】（一）、打数学名词方面的1.五四三二一； 2.缺了会计； 邮寄账本； 信件统计；5.替人查账； 查账； 开奖； 算术老师的教鞭；9.一笔债务； 商店盘货； 用； 同室操戈；13.团体赛； 兵对兵，将对将；15.左右夹攻； 重判；17.轻判； 车站告示； 背着喇叭； 待命冲锋；21.朱元璋登基；22.婚姻法； 演员招考制度；24.五角；25.员；26.刀口；27.海峡两岸盼统一；28.有情人终成眷属；29.马路没弯儿；30.两个寨子隔条岗，南寨没有北寨强；南寨好汉有五条，不及北寨人一双。31.健全法制；32.儿童储蓄；33.聚散无常；34.千丝万缕；35.身高；36.会谈；37.欲言又止；保持距离同时起飞五角钱一趟； 40.浮萍；41.互盼；42.合家欢；43.恰如其分；44.一望无际；45.一模一样；46.哨声响了；47.减法没算对；48.垂钓；49.走致富之路；50.北；51.抬头望月，正好初八； 二胡调音；53.时刻盼望上战场（打数学二名词）； 丞（打数学三名同）；55.一个邮递员掀起了信箱的盖子，在清点有多少信件。你能根据这一情况猜出三个数学名词吗？（二）、打数学家名字方面的1.虎丘游春； 博览群书。（三）、打其它方面的1.八十（打一影片名2.三八二十（打一体育名词四加（打一字打一政治名词5.圆规画鸡蛋（打一城市名称）；6.力（打一珠算口诀）；7.千古兴亡多少事（打三学科名称）；8.和比分时，向阳队的球员说，这次比赛是“白”字比“杂”字，我们只赢了一分。你知道两个队各得几分？谜底：（一）、1.倒数：2.无理数；3.函数；4.函数；5.代数；6.对数；7.对数；8.指数：9.负数；10.复数；11.半角；12.内角；13.公共角；14.同位角；15.两面角；16.加法（谜面意即“加罚”，“罚”与“法”谐音）；17.减法；18.乘法（乘车方法，取乘法）；19.负号；20.等号；21.消元；22.结合律；23.优选法；24.半圆；25.圆心；26.切点；27.同心圆；28.同心圆；29.直径；30.算盘；31.圆规；32.微积分；33.不定积分；34.繁分式；35.立体几何；36.集合论；37.控制论；38.平行；3942.共圆；43.精确值；4446.（“于”与“鱼”谐音（反扣法，“北”反为“比（假借法，因为初八月亮是上弦，“上”含“正”，故为“正弦子（用增损法猜测（二）、1.苏步青；2.张广厚。（三1（“（“加四”和是八，再由“和八”拼成“积”字太原（“原”与“圆”谐音历（“白”是“百”减“一”：“杂”是“九”、“十”、“八”的组合）。注：1、不同的谜面有时有相同的谜底；2、同一个谜面它的谜底有时是由几部分组成的，且这几部分都是并列的，必须都猜出来才算全对；3、第五十五个谜语属哑谜，最后一个谜语属故事谜。近谜面。同时，请学生表述答案的过程是提高表达能力的过程。第二节鸡兔同笼问题鸡兔同笼，这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有3594第一类：列表举例法。1：2011978寻求到所求的答案。方法2：先作一些分析，比较后再试。方法3：先假设鸡和兔各占一半，再列表。60>54，说明兔子多了，应减少兔子的只数。20只的条件，假设鸡只有1只，那么兔就有197821876案。第二类：作图分析法。1：2020401414727132208026132137第三类：方程解答法。解法1：设其中有X只兔，有Y只鸡。列式为，4X+2Y=54最后算出X=7，Y=13。2：设其中有X（20－X）,最后算出X＝7，720－X＝13第四类：假设推理法。1：20805480比多算了26一只兔，就要减少22÷13(只，所以鸡有13只，兔子有720X4-54÷(4-2)=1（只20-13=7。2：2040142有兔子是7只，鸡则是1354-20x4÷(42=1321＝7（只。解决鸡兔同笼问题通常使用假设法，可以假设所有的动物都是兔子，并求出在假设情况下的总腿数，再把实际的腿数和假设情况下的腿数相比较，看看多出了多少，每多2只腿说明有一只鸡，将多出的腿数除以2就算出共有多少只鸡。也可以假设全部是兔子来解。方法3：把一只鸡和一只兔看做一个整体，一个整体中就有条腿应该是几个这样的整体呢？＝9(个99911548713542＝6（只，54÷6＝9(个，－1＝（只9－27（只，2－＝1（只，7X4＝28（条，13X2＝26（条）28+26=54(条）显然，在这种情况下，总脚数出现了一半，是27，此时，鸡的脚数与鸡的头数是相等的，兔子的脚数是兔子的头数的2倍。所以，从27中减去总的头数20得7，就是兔子的头数。当然，20-7=13，鸡就是13只了。该不多见了。但学生可以借助“鸡兔同笼”这个载体经历尝试、创新的过程，让学生感受到数学思想的运用与解决实际问题的联系，体会到数学的价值。作业：设计一个算法，输入鸡兔的头和脚数，输出鸡和兔的数量。第三节九宫图的应用一、数学故事：任意写一个三位数做几次简单运算，可以发现一个小小规律。任意写一个三位数，例如135。把它的数字倒过来写，成为531中较大的减去较小的，得到531-135=396。换几个另外的三位数，也做同样的计算，分别得到876-678=198， 995-599=396， 963-369=594以上49。再仔细看看，还发现一个共同点：差的首、尾两位数字的和等于9颠倒相减的例子，来验证上面得到的规律，结果大部分都完全符合，只有两种例外情形。第一种例外，如594-495=99，差是两位数99，不是三位数。第二种例外，如323-323=0，这时的差是0。由此可见，刚才初步归纳出来的规律，需要作两点小补充：第一，如果差的末位数字是9，这个差一定是99；第二，如果差的末位数字是0，这个差一定是0。在其他情形下，差都是三位数。数字告诉你，就能猜出差是多少。无论哪种情形，只要掌握规律，总能应答如流，一猜就准。二、九宫图的应用历史都有过深刻的影响。然而，令我们每个人吃惊和迷惑不解的是，河图洛书只是两个简单的数字图。龙马载河图，神龟背洛书河图洛书是我们祖先创造出来的，翻遍祖国的各种古典著作，我们根本找不到这位创始人。河图洛书的产生，至少要追溯到四千五百多年以前，那时，人类尚处于无文字时代，人类还十分低，很难想象那时就有人能够制造出如此高深莫测的图书。在（一）龙马载河图

的认识水平我国各种古相传远古时期的孟津河边，一天河水忽然大涨，波浪滔天，水中 有一巨兽，似龙非龙，似马非马，浪里飞腾。当时的伏羲黄帝与众臣听到有人报告，立即去河边观看，只见河中洪涛巨浪，波浪中一巨兽踏水如登平地，大体象马却身有鱼鳞，高八九尺，有两翼，形体象骆驼，身上负有由花点构成的图案，黄帝命人走近河边，将图案记录下来，刚刚记下，怪兽即没而不见。后伏羲皇帝认真研究了这副图发现它正是由十种花点组成，这十种花点代表1-10这10个数，两种花点构成一组，布局在东西南北中五个位置上，每组花点所表示的数，其差均是5治理国家。由于此幅图是在孟津河中发现的，故称此图为河图。（二）神龟背洛书公元前23在河边现察洛河水情，商议治理黄河大计，遇到乌龟在河里上下翻腾就十分奇怪，只见此龟行走水面，游来游去，其身形庞大，甲背平圆。近处仔细观看，发现甲上载有9种花点的图案，大禹令士兵们将图案中的花点布局记了下来，1-99条对角线上三数之和都为15，既均衡对称，又深奥有趣，在奇偶数的交替变化之中似有一种旋转运动之妙。大禹受到启发，他参照九数而划分天下雨九别，并且把一般政事也区分为九奥。据《史记．夏本纪》写道：夏禹治水时，“左准通、右规矩，载四时，以开九州，通九道，陂九泽……”大禹治水以九宫为据，应用到测量、气象、地理与交通运容如书一样深奥，故人们称此为洛书。应用：如何分班？为师各班成绩均匀，我们给先学生排序，然后按照一定的规律将学生分组。如分3个班，将学生排序后，按照图1的行（或列）从上到下一次编号132321213为一组，向下重复。所有编号为1的一个班，编号为2的一个班，编号为3的一个班。如分4个班则按图2处理；5个班按图3处理；6个班按图4处理。32321423414123图2316524625341541236163452452163234615132321213图11313452245135325314214341235作业：按照示例4图，请与同学合作，编制一张分7个班的分班表。第四节让梨游戏第五节数学中的简单逻辑推理问题一、“被墨水盖住”的算式如果要想具备福尔摩斯那样神奇的破译密码的本领，不但应具有非凡的推理能力，还要懂得大量的其他知识。然而，只要你有心，也可以破译一些简单的密码。现在我们来看一个例子：据传说，英国物理学家牛顿（1642－1727）小的时候，学习成绩几乎在学校是倒数第没有任何错误，但正当他把笔和本子收起来时，糟糕的事情发生了：墨水洒了，正好在结果。

显示了这个令人不快的式中只剩下了3个数字较为清晰。小牛顿尽了一切努力，最后终于记起来整道题凑0123、456789100910个数字编制的密码，你能破译出被墨水盖住的都是哪些数字吗？10应为：

28？+？？4

所以原式我们可以把这个算式写成：28A+CB4────—GFED

────—其中每个英文字母分别表示数字0、1、3、5、6、7、9中的某一个。我们先考虑千位上的G。两个三位数相加，和是四位数，由于两个百位上的数相加，和最多向千位进1，所以，G只能是1，这时，算式就成了：28A+CB4────1FED再看百位上的CF1，C7C79中的一个。设C=9C≠9。所以C=7，F=0。即28A+7B4────10ED3567B=3，那么应有E=12，但这不可能；如果B=5，那么E=36+4≠9，9+4≠6；如果B=6，那么E=5，这时令A=9，则有D=3。整理出来就是：A=9，B=6，C=7，D=3，E=5，F=0，G=1。于是，小牛顿的算式应为：289+764────1053二、问路问题ABAB你的答案都是错误的。一天，一个旅游者独自登上了两岛中的某个岛。他分辨不清这个ABABABAB又无法知道他得到的答案对不对，因此这样问话达不到问路的目的。聪明的旅游者的问A岛；如果对方回答“不是”，那么这个岛一定是B下面我们就对上面的问题进行分析：我们知道，旅游者提出问题时并不知道提问地AB根据上述特点，我们设法找到这样的问题：1、使得在A岛提问时，被问者（不论是何岛居民）都回答同样的一种答案；2、在B岛提问时，被问者都回答另一种答案。与提问地相关，并且还要与被问者有关，如果在AB岛居民也会作肯定回答，但这种回答与客观实际相反，那么在B岛提出同一问题时，A。问题：你是这个岛的居民吗？问话地被问者问题：你是这个岛的居民吗？问话地被问者AA岛居民B岛居民回答A岛是是B岛不是不是AB答总为“不是”。这就为旅游者判断提问地是哪个岛提供了依据，于是“问路问题”得以解决。请想一想，如果旅游者的问题为“你是相邻的另一岛上的居民吗？”，那么能根据任一人的回答来判断提问地是何岛吗？为什么？试通过列表的方式说明理由。数学中有个分支叫做数理逻辑，它通过数学方法来研究逻辑规律。在数理逻辑中，列表法是一种基本的研究方法，只是其中表的形式与本文中的表有许多不同，使用了一些有关命题、真值的抽象符号，但其基本思想与我们用表讨论问题的思想是大体一致的，都是通过列表来分析和说明问题。数学是以逻辑推理为重要研究方法的学科。所谓逻辑推理，就是合乎事理的、有根有据的推导判断。上面的两个问题正是运用到逻辑推理的问题，同学们应在数学学习中注意提高自己的逻辑推理能力，使自己勤于思考并且善于思考，成为聪明人。第六节欺骗眼睛的几何问题生活中我们常常相信亲眼所见，但又常常为自己的眼睛所骗，魔术就是一个很好的例子。数学中也有这种欺骗我们眼睛的奇妙的数学魔术，我们先看一个问题：112，我们会发12按下不表，让同学们先动动脑子！上面的题目有些复杂，下面我们来看一个简单一些的问题。2：313×13=169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形，然后重新拼接成图这两个问题是这样的令人惊奇和难以理解，值得我们花费一些时间动手按照所说的剪裁方法做一做。我们先来分析一下问题2：我们在白纸上将正方形量好画出，剪成四块，重新安排后拼成长方形，除非图形做得很大并且作图和剪裁都十分精确，我们一般是不会发现拼接成的长方形在对角线附近发生了微小的重叠，正是沿对角线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失。要证实这一点我们只要计算一下长方形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率，比较一下就会清楚了。25、8、1321，有一定数学基础的同学会认出这是著名的斐波那契数列我们还可以使用这个数列中的其他相邻四项来试验这个过程，无论选取哪四项，都可以发现正方形和长方形的面积是不会相等的，有时正方形的面积比长方形多一个单位面积，有时则正好相反。多做几次上述实验，我们就会得出斐波那契数列的一个重要性质：这个数列任意一项的平方等于它前后相邻两项之11f2n

n1

f

1

2n

n1

fn1

表示长方形的面积。知道了这个事实，我们就可以自己构造类似于问题2的几何趣题。1，1a、b、cxabacx

。我们还可以来研究这样一个有趣的问题：把正方形按上述方法剪成四块，是否会拼接成一个与它面积相等的长方形？要回答这个问题，可以令方程组中的x等于零，再解之得唯一正解是：b1 5。其中1

恰是著名的黄金分割比，通常用来表示，它是一个无理数，等于1.618033……。a 2 2这就是说，唯一的每项平方等于前后相邻两项之积的斐波那契数列是：1，，2，3，4，……。要1，，+1，2+1，3+2，……用这个数列相邻项数表示的长度来分割正方形，才可以拼出面积不变的长方形。我们再回到问题1，题中涉及到的数据1，1，2，3，5，8，13恰是斐波那契数列的前七项，因此问12已不讲自明。最后再给喜欢思考的同学提出一个与前两个问题略有不同的问题3，图56，少掉的一个单位面积哪里去了呢？这个问题最初是由美国魔术师保罗卡瑞提出的，虽然它曾经难倒了许多美国人，但相信它难不倒聪明的中国学生。为帮助大家思考，提示一下：不要忘了计算！第七节抽屉原理的简单应用“任意367个人中，必有生日相同的人。”“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”“从数1，2，…，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。”……大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢？这个原理叫做抽屉原理形象的语言表述为：“把mnm>n，那么一定有一个抽屉中放进了至少23两个苹果。运用同样的推理可以得到：原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。2mnnm+1m+l下面我们用抽屉原理来分析前面的例子：第一个结论中，由于一年最多有36636723673662565652例：利用上述原理证明：“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。”30127333如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述：“把无限多个东西任意分放进n空抽屉（n，那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。”抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。一、抽屉原理和六人集会问题19586/763这个问题可以用如下方法简单明了地证出：6A、B、C、D、E、F6A5AC，...，AF，23ADBC，BD，CD3（BC）ABC色三角形，A、B、C3BC、BD、CD3即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的结论。图1六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例，这个简单问题的证明思想可来得出另外一些深入的结论。这些结论构成了组合数学中的重要内容 拉姆塞理论。从六人集会问题的证明中，我们又一次看到了抽屉原理的应用。二、抽屉原理与“电脑算命”“电脑算命”看起来挺玄乎，只要你报出自己出生的年、月、日和性别，一按按键，屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子，据说这就是你的“命”。其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。我们用数学上的抽屉原理很容易说明它的荒谬。如果以70年计算，按出生的年、月、日、性别的不同组合数应为70×365×2＝51100，我们把它作为“抽屉”数。我国现有人口11亿，我们把它作为“物体”数。由于1.1× 根据原理2，存在21526个以上的人，尽管他们的出身、经历、天资、机遇各不相同，但他们却具有完全相同的“命”，这真是荒谬绝伦！在我国古代，早就有人懂得用抽屉原理来揭露生辰八字之谬。如清代陈其元在《庸闲斋笔记》中就写道：“余最不信星命推步之说，以为一时（注：指一个时辰，合两小时）生一人，一日生十二人，岁计之则有四千三百二十人，以一甲子（注：指六十年）计之，止有二十五万九千二百人而已，今只一大郡计，其户口之数已不下数十万人（如咸丰十年杭州府一城八十万人则举天下之大，自王公大人以至小民，何啻亿万万人，则生时同者必不少矣。其间王公大人始生之时，必有庶民同时而生者，何贵贱贫富之不同也？”在这里，一年按 360日计算，一日又分为十二个时辰，得到的抽屉数为60×360×12＝259200。所谓“电脑算命”，不过是把人为编好的算命语句象中药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里取出所谓命运的句子。这种在古代迷信的亡灵上罩上现代科学光环的勾当