2023年高考数学一轮复习重难点专题突破：专题03 原函数与导函数混合还原问题（解析版）

专题03原函数与导函数混合还原问题

【考点预测】

1.对于林■'(》)+f(x)>0(<0),构造g(x)=x・/(x),

2.对于犷”(x)+Q(x)>0(<0),构造g(x)=f•/(©

3.对于x-r(x)-/(x)>0(<0),构造g(x)="D,

X

4.对于x-/'(x)-4f(x)>0(<0),构造g(x)=/学

xk

5.对于./"(X)+/(%)>0(<0),构造g(x)=ex-/(%),

6.对于f\x)+kf{x)>0(<0),构造g(x)=ekx-/(x)

7.对于_f(x)—f(x)>0(<0),构造g(x)=」^，

e

8.对于/'(x)-4/Xx)>0(<0)，构造g*)=《

e

9.对于sinx•/'(»+cos%-f(x)>0(<0),构造g(x)=/(x)sinx,

10.对于sinx"'(x)-cosx-f(x)>0(<0),构造g(x)=*/)

sinx

11.对于cosx・7'(%)-sinx・/(%)>0(<0),构造g(x)=/(x)-cosx,

12.对于cosx-f\x)+sinx-/(x)>0(<0),构造g(x)=

cosx

13对于/'(%)—/(%)>%(<0),构造ga)=e*"(x)-幻

14.对于r(x)lnx+>0(<0),构造g(x)=lnx"(x)

x

15.f(x)+c=[f(x)+cx]r；/'(x)+gf(x)=[/(x)+g(x)]r；f(x)-gXx)="(%)-g(x)了;

I6"，(x)g(x)+/(x)g，(x)="(x)g(x)]，；八x)g(?[(x)g.=[y]，.

g(无)g(x)

【题型归纳目录】

题型一：利用x"/(x)构造型

题型二：利用—构造型

题型三：利用*/(X)构造型

题型四：用等构造型

题型五：利用sinx、tanx与/'（X）构造型

题型六：利用COSX与/（X）构造型

题型七：复杂型：e"与4（x）+bg（x）等构造型

题型八：复杂型：（履+加与f（x）型

题型九：复杂型：与In（履+匕）结合型

题型十：复杂型：基础型添加因式型

题型十一：复杂型：二次构造

题型十二：综合构造

题型十三：找出原函数

【典例例题】

题型一：利用构造型

例1.已知定义在R上的奇函数/（x）,其导函数为f（x）,当xNO时，恒有Br（x）+”x）>0.则不等式

x3/（x）-（l+2x）3/（l+2x）<0的解集为（）.

A.{x|-3<x<-l}B.{x|-l<x<--}

C.{x[x<-3或x>-l}D.或x>-g}

【答案】D

【解析】

先通过mfw+f（x）>o得到原函数g（x）=£警为增函数且为偶函数，再利用到y轴距离求解不等式即

可.

【详解】

构造函数g（x）=£?»,

则g'（X）=//（X）+?/,（X）=X2/'（X）+/（X））

由题可知《/'（x）+/（x）>o,所以8（力=智立在XN0时为增函数；

由V为奇函数，"X）为奇函数，所以g（x）=^^为偶函数；

又x3/(x)-(1+2x)3/(l+2x)<0,即x3f(x)<(1+2x)3/(l+2x)

即g(x)<g(l+2x)

乂g(x)为开口向上的偶函数

所以|x|<|l+2x|,解得x<-l或x>-g

故选：D

【点睛】

此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.

例2.设函数f(x)是定义在(7,0)上的可导函数，其导函数为尸(x),且有"(司+^'(月>/则不等式

(x+2019)2f(x+2019)-4〃-2)<0的解集为()

A.(-2019,-2017)B.(-2021,-2019)

C.(-2019,-2018)D.(-2020,-2019)

【答案】B

【解析】

【分析】

令尸(x)=x7(x),确定尸(x)在(-8,0)上是减函数，不等式等价为尸(x+2019)-爪-2)<0,根据单调性解

得答案.

【详解】

由2/(x)+V'(x),得2V'(X)+X2/,(X)<X3,

即［*2/(切］<1<。，令

则当x<0时，得F(x)<0,即尸(x)在(田,0)上是减函数，

.•.F(X+2019)=(X+2019)2〃X+2019),F(-2)=4/(-2),

即不等式等价为尸(x+2019)-R(-2)<0,

QF(x)在(为,0)是减函数，，由尸(x+2019)〈尸(-2)得x+2019>—2,

即x>—2021,Xx+2019<0,解得xc-2019,2021<x<-2019.

故选:：B.

【点睛】

本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数F(x)=Y/(x),确定其单调性是解题的关键.

例3.己知函数/(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为尸(x),若对任意的正实数x,都有x/'(x)+V

(x)>0恒成立，且/(应)=1,则使V2成立的实数x的集合为()

A.夜)1_］(及,+8)B.卜母,垃)

C.卜D.(V2,+ooj

【答案】c

【解析】

【分析】

根据xf'(x)+2f(x)>0的特征，构造Mx)=d/(x),研究其单性，又f网=1,得到〃(&)=2/(&)=2,

将x2f(x)<2,转化为夜)，利用单调性定义求解.

【详解】

设力(X)=x2/(X),

所以“(X)=X2/，(X)+2M'(X)=X(0"(X)+2/(X)),

因为x>0时，都有x/'(x)+4(x)>0恒成立，

所以〃'(x)>0,

所以/2(力=犬/(力在(0,+8)上是增函数，

又因为函数/(x)是定义在R上的奇函数

所以〃(力=必/(力也是定义在R上的奇函数

所以〃(X)=X2〃X)在(9,0)上是增函数，

又因为函数/(X)是定义在R上，其导函数为尸(X)

所以函数/(X)是连续函数

所以〃(力=f〃力在R上是增函数，

又因为/(板)=1,

所以〃(力)=2/(夜)=2,

又因为x2f(x)<2,

即/7(X)</7(夜).

所以X〈忘

故选：C

【点睛】

本题主要考查了导数的运算法则和导数与函数的单调性，还考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中

档题.

例4.函数“X)是定义在区间((),+")上的可导函数，其导函数为尸(x),且满足矿(x)+2〃x)>0,则不

等由3式-(-x-+-2-0-2-0-)5f-(-x-+--2-0-2-0-)<』37(3)的,,心解备集为..

A.{x|x>-2017}B.{x|x<-2017)

C.{x|-2020<x<0}D.{x|-2020<x<-2017}

【答案】D

【解析】

设函数g(x)=x2/(x),(x>o),根据导数的运算和题设条件，求得函数g(x)在(0,+8)上为增函数，把不等

式转化为0+2020)2f(x+2020)v32/(3),即g(x+2020)<g(3),利用单调性,即可求解.

【详解】

由题意,设函数g(x)=xV(x)(尤>0),

则g'(x)=(x2y.〃x)+x2.r(x)=x2/'(x)+2V(x),

因为是定义在区间(。,物)上的可导函数，且满足

所以g'(x)>0,所以函数g(x)在(0,+8)上为增函数，

又由。+2。2。)y+2。2。)〈湍,即(X+202。万。+2。2。)<32,八3),

即g(x+2020)<g(3),所以0<x+2020<3,解得一2020<x<—2017,

即不等式的解集为{幻-2020Vx<-2017}.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系及应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数

g(x)=x2/(x)(x>o)是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力.

例5.已知“X)是定义在(Y»,O)U(O,E)上的奇函数，且x>0时，f'(x)+*^<0,又"1)=0,贝IJ

/(x)>0的解集为()

A.(—1)B.(―20,—1)u(l,+co)

C.(…，-l)U(O,l)D.(-l,O)o(l,^)

【答案】c

【解析】

【分析】

令g(x)=x)f(x),则g'(x)=H^'(x)+2f(x)],由题设易知x>0上犷'(x)+2/(x)<0,且g(x)在

(f0,O)U(O,M)上是奇函数，即g(x)在x>0、x<0都单调递减，同时可知g(D=g(-D=。，利用单调性求

g(x)>0的解集，即为/(力>0的解集.

【详解】

令g(x)=x2f(x),则g'(x)=x2f'(x)+2xf(x)=x[xf\x)+2f(x)],

由x>0时，r(x)+^^<0知：矿(x)+2/(x)<0,

.•.在x>0上，g'(尤)<0,g(x)单调递减，乂(9,o)U(。,”)上F(x)为奇函数，

g(-x)=(-x)2/(-x)=-x2f(x)=-g(x),故g(x)也是奇函数，

r.g(x)在x<0上单调递减，又/(1)=0,即有g6=g(-l)=o,

，/(x)>0的解集，即g(x)>0的解集为(Y,-1)UQ1).

故选：C

【方法技巧与总结】

1.对于^'(x)+f(x)>0(<0),构造g(x)=x・/(x),

2.对于矿(x)+仔(x)>0(<0),构造g(x)=x""(X)

题型二：利用午构造型

例6.设尸(x)是偶函数〃x)(xw0)的导函数,当XG(O,M)时,矿(x)-2〃x)>0,则不等式

4/(x+2019)-(x+2019)2/(-2)<0的解集为()

A.(-oo,-2021)B.(-2021,-2019)U(-2019,-2017)

C.(-2021,-2017)D.(-oo,-2019)U(-2019,-2017)

【答案】B

【解析】

【分析】

设产(司=9，计算尸'(力>0,变换得到F(x+2019)<*-2),根据函数尸(x)的单调性和奇偶性得到

|%+2019|<2,解得答案.

【详解】

由题意矿(x)-24x)>0(尤>0),得<f(x)—2#(x)>0,

进而得到*"'(”2如)>0.令尸(x)=§,

则尸，(加立”尹立>0,尸(_2)=牛，尸(尤+2。⑼=；二默).

2/(x+2019)/(-2)

由”(x+2019)-(x+2019)/(-2)<0,得(“靖，

即尸(犬+2019)＜尸(一2).

•.,当xe(O,+8)时，F'(x)>0,，F(x)在(o,+e)上是增函数.

••・函数是偶函数，.•.尸(力=/学也是偶函数，且尸(x)在(—,0)上是减函数，

.•.|x+2019|<2,解得-2021<x<-2017,又•.•X+2019W0,即xW-2019,

.\xe(-2021,-2019)U(-2019,-2017).

故选：B.

【点睛】

本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，构造函数厂(司=坐，确定其单调性和奇偶性是解题的

关键.

例7.已知/(X)是定义在R上的奇函数，/(2)=0,当XH0时，则不等式/(幻<0的解集为

X

()

A.(-8,-2)。(0,2)B.(-2,0)U(2,”)

C.2)U(2,+°o)D.(-2,0)U(0,2)

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，构造出函数g(x)=§，则/(x)<00g(x)<0,进而结合题意求得答案.

【详解】

设8(犬)=号立，则/(x)<0og(x)<0,&，")=,若1〉。，由

f\x)>-f(x)^xfXx)-2f(x)>Q,则g'(x)>0,即g(x)=/学在(0,+8)上单调递增.

因为/(X)是R上的奇函数，/(2)=0,容易判断，g(x)=写在R上是奇函数，且g(2)=o,则函数g(x)

在(-8,0)上单调递增，且g(—2)=0,所以g(x)<0的解集为：(—,-2)口(0,2).

于是八幻<0的解集为：(f,-2)u(0,2).

故选：A.

例8.设函数1f(x)是奇函数”x)(xeR)的导函数，/(-1)=0,当x>0时，/(x)-〃x)<0,则使得f(x)<0

成立的x的取值范围是()

A.1)VJ(0,1)B.(-l,0)u(l,+oo)

C.S，-l)U(TO)D.(O,1)U(1,M)

【答案】B

【解析】

【分析】

设F(x)=@,求其导数结合条件得HlF(x)单调性，再结合尸(力的奇偶性，得出产(%)的函数值的符号

X

情况，从而得出答案.

【详解】

设尸(到=#，则/

当x>0时，#,(x)-/(x)<0,

当x>o时，r(x)<o,即尸(x)在(o,+8)上单调递减.

由于“X)是奇函数，所以尸(-x)=」±D=&D=F(x).尸(X)是偶函数，所以尸(X)在(-8,0)上单调递增.

—XX

又/(l)=f(T)=。，所以当x<-l或x>l时，/")=乎<0；

当T<x<0或0<xvl时，F(x)=^^>0.

所以当-l<x<0或x>l时，/(%)<0.

故选：B.

例9.已知定义在(0,+oo)上的函数f(x)满足矿(x)-/(x)<0,其中尸(x)是函数f(x)的导函数，若

/(m-2022)>(H?-2022)/(l),则实数胆的取值范围为()

A.(0,2022)B.(2022,+oo)C.(2023,+oo)D.(2022,2023)

【答案】D

【解析】

【分析】

构造函数g(x),使得g(x)=D：〃x)<0,然后根据函数g(x)的单调性解不等式即可.

X

【详解】

由题设g(x)=四ng'(x)="'(H；/(力<0,所以g(x)在(0,+8)上单调递减，又

XX

n个翁〉平,即g(m-2022)>g(l)n机一2022<]=>m<2023,又

函数〃x)的定义域为(0,+e),所以帆-2022>0n〃?>2022,综上可得：2022</«<2023.

故选：D.

【方法技巧与总结】

1.对于x-r(x)—/(x)>0(<0),构造g(x)=&2,

X

2.对于月外㈤―4/Xx)〉。(<0),构造g(x)=/£

x

题型三：利用e""(x)构造型

例10.设函数f(x)的定义域为K,/'(x)是其导函数，若.f(x)+/(x)>-e-"'(x),/(0)=1,则不等式/(x)>

告2的解集是()

e+\

A.(0,+8)B.(l,+oo)C.(-oo,0)D.(0,1)

【答案】A

【解析】

【分析】

构造函数g(x)=(e，+l)/(x),通过求导判断函数g(x)的单调性，利用函数g(x)的单调性解不等式即可.

【详解】

令g(x)=(/+1)/(x),则g(x)=e'f(x)+{ex+l)/(x),

因为f(x)+f(幻>-e-"'(x),所以/(x)+(1+e、)/'(x)>0,

化简可得e"(x)+(e'+1)/(x)>0,

即g'(x)>0,所以函数g(x)在R上单调递增，

因为/*)>告，化简得("+l)/(x)>2,

因为g(0)=2/(0)=2,g(x)=(/+l)/(x),

所以g(x)>g(0),解得x>0,

所以不等式/(%)>[J的解集是©+8).

e+1

故选：A

【点睛】

本题考查通过构造函数、利用导数判断函数的单调性解抽象函数不等式;考查运算求解能力、知识的综合运

用能力和转化与化归能力;构造函数g(x)=(e*+l)/(x),并利用其单调性间接解不等式是求解本题的关键;属

于抽象型、难度大型试题.

例11.若“力在R上可导且〃0)=0,其导函数尸(x)满足/(x)+/'(x)<0,则〃x)<0的解集是

【答案】(0,+8)

【解析】

【分析】

由题意构造函数g(x)=e"(x),利用导数判断出g(x)单调递减，利用单调性解不等式.

【详解】

设g(x)=e，"(x),则g[x)=ex/(x)+et/,(x)=e*(/(x)+/(x)),

因为〃x)+r(x)<0,所以g'(x)<0在R上恒成立,所以g(x)单调递减,

又"0)=0得g(o)=o,由〃x)<0等价于g(x)<0,

所以x>0,即〃x)<0的解集是(0,+a).

故答案为：(0,+8)

例12.若定义在R上的函数“X)满足〃x)+.f'(x)>l,"0)=4,则不等式/(x)>挤+l(e为自然对数的

底数)的解集为()

A.(。,+8)B.(-oo,())53,+QO)

c.(«,o)u(o,+8)D.(3,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】

把不等式/(无)>子+1化为e"(x)>3+e*,构造函数令/尤)=0"(力-，-3,利用导数求得函数尸(x)的

单调性，结合单调性，即可求解.

【详解】

a

由题意，不等式+即e*〃x)>3+e，，

令尸(x)=e"(x)-，-3,可得尸'(x)=e"(x)+e"'(x)-e'=e'"(x)+r(x)—l],

因为f(x)+/'(x)>l且e，>0,可知产'(力>0,所以尸(力在R上单调递增，

又因为尸(0)=e°/(0)—/—3=/⑼—4=0,

所以F(x)>0的解集为(0,+8).

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及导数的四则运算的逆用，其中解答中结合题意

构造新函数，利用导数求得新函数的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.

例13.若函数“X)的定义域为R,满足"0)=2,X/xeR,都有/(x)+/'(x)>1,则关于x的不等式

〃力>尸+1的解集为()

A.{x|x>0}B.{x|x>e}C.{x|x<l}D.(x|O<x<e

【答案】A

【解析】

【分析】

构造函数g(x)=e"(x)-e*-l,利用导数可判断函数g(x)的单调性,由已知条件可得函数g(x)的零点，由

此可解得不等式.

【详解】

解：令g(x)=e"(x)-e*-l,则g(x)=e"(x)+e"'(x)-e*=e*"(x)+/(x)-l],

•••f(x)+/,(x)>l,/(x)+/'(x)-l>0,

.-.g(x)>0,即g(x)在R上单调递增，

乂/(0)=2,.•.g(0)=e°/(0)-e°-l=2-l-l=0,

故当x>0时，g(x)>g(0),即e"(x)-e'-l>0,整理得e"(x)>e、+1,

f(x)>e-x+\的解集为{x|x>0},

故选：A.

【点睛】

关键点睛：本题考查利用导数分析函数单调性的性质及其应用，并求解抽象不等式，综合性较强，关键在于

根据题意构造合适的函数，求所构造的函数的导函数，研究构造的函数的单调性，运用其单调性求解不等

式.

【方法技巧与总结】

1.对于r(x)+f(x)>0(<0),构造g(x)=e*"(x),

2.对于/'(x)+4/Xx)>0(<0),构造g(x)=*-/(x)

题型四：用△卫构造型

e,lx

例14.定义在(-2⑵上的函数/*)的导函数为尸(x),满足：/(x)+?V(-x)=0,/(l)=e2,且当x>0时，

尸(x)>2.f(x),则不等式e2"(2-x)<e4的解集为()

A.(1,4)B.(-2,1)C.(1,4^)D.(0,1)

【答案】A

【解析】

【分析】

由给定的不等式构造函数g(x)=里对g(x)求导，根据己知条件可判断g(x)非得单调性，将所求解不等

e

式转化为g(x)有关的不等式，利用单调性脱去了即可求解.

【详解】

令g(X)=，则e"g(x)+e©e-2xg(_尤)=0可得g(x)+g(-x)=0

所以g(x)=5l是(-2,2)上的奇函数，

。，小_:(力氏一2/"3J(x)-2〃x)

&(即一'

当x>0时,f'(x)>2f(x),所以g'(x)>0,

8口)=冬是(°，2)上单调递增，

所以g(x)=43是(々2)上单调递增，

因为g(l)=4^=3=1,

由/"(2-%)</可得e(2-x)</B|Jg(2-x)<1=g(1),

f(x\2<2—x<2

由g(x=竽是(-2⑵上单调递增，可得。,解得：l<x<4,

e~[2—x<1

所以不等式/"(2-x)<?的解集为(1,4),

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键点是：构造函数g(x)=$,根据已知条件判断g(x)的奇偶性和单调性，

利用单调性解不等式.

例15.设函数“X)在R上的导函数为了'(X),若r(x)>/(x)+l,r(x)=r(6—x),〃3)=1,例6)=5,

则不等式〃lnx)+2x+l<o的解集为()

A.(0,1)B.(0,3)C.(1,3)D.(3,6)

【答案】A

【解析】

【分析】

构造函数8(幻=驾之，得到g(x)也是R上的单调递增函数.，分析得到函数f(x)关于点(3,1)对称.由

e

f(lnx)+2x+l<0得至ljg(lnx)<g(0),即得解.

【详解】

构造函数g(x)=/必」,g'(x)=/'⑴—>0,

所以g(x)也是R上的单调递增函数.

因为/'(力=/'(6-力，所以f‘(x)关于直线x=3对称,

为常数)，

IUJf'(x)dx=jf'(6-x)dx,f(x)+c,=-/(6-X)+C2,(qq

令所以△，

.■./(X)+/(6-X)=C2-C,,X=3,2/(3)=0-.•J(3)=&

因为f(3)=l,所以，2-G=2,

所以/U)+/(6-x)=2,所以函数f(x)关于点(3,1)对称.

由"3)=1J(6)=5得到f(0)=-3,

因为/(Inx)+2x+1<0,二x)+1<-2x=-2elnx,

所以

一3+1

所以g(ln尤)<—2=g(0)=——,

e

所以g(lnx)<g(0),

所以InX<0,0<x<1.

故选：A

例16.已知函数〃x)在R上可导，其导函数为f(x),若f(x)满足小二>>0,>=驾关于直线x=l

x-1e

对称，则不等式，(:;»</•(())的解集是()

A.(-1,2)B.(1,2)

C.(-l,0)U(l,2)D.(FOM—)

【答案】C

【解析】

【分析】

令g(x)=华，求出导函数，当X>1时，ru)-/u)>o,贝(]g'(x)>0,判定出g(x)在(1,中功上单增；据

e

>=华关于直线x=I对称，将不等式中的抽象函数符号去掉，解出X即可.

ex

【详解】

令g(x)=华，

e

,如)=小20,

e

x-1

当x>l时，尸(X)-f(x)>0,则g'(x)>0,

，g(x)在(1,+00)上单增；

当x<l时，fXx)-fM<0,则g'(x)<0,

；.g(x)在(-00,1)上单减；

■.-g(o)=f(o),

不等式与三义<f(0)即为不等式g,-x)<8(0),

・••尸华关于直线x=l对称，

e

0<x2-x<2,

解得-IvxvO或1VXV2,

故选：C.

例17.已知“X)的定义域是(0,+8),尸(X)为“X)的导函数，且满足〃x)</'(x),则不等式

6-，/(除+》)>『-2〃2)的解集是()

A.(—2,1)B.(—00,—2)|J(1,+00)

C.(-1,2)D.(-^30,-1)U(2,+<3O)

【答案】B

【解析】

【分析】

构造函数〃。)=华，利用导数判断函数单调性，根据单调性建立不等式求解即可.

e

【详解】

令/?(力=/区，则〃(力=△)〃力>0,所以函数无⑴在区间(0,田)上单调递增，所以

eAe,1

e~xf(x2+x)>e/-2/(2)<=>，(：：，)>"彳)=可/+x)>〃(2)=丁+x>2，解之得x<-2或x>l,即原不

等式的解集为(-8,-2)Ud,y),

故选：B.

例18.已知函数的导函数为/'(x),若对任意的xeR,都有〃x)>/'(x)+2,且"1)=2022,则不

等式/(x)-2()20ei<2的解集为()

A.(0,+e)B.C.(!,+<»)D.(fl)

【答案】C

【解析】

【分析】

设函数g(x)=，(2-2,根据题意可判断g(x)在R上单调递减，再求出g(l)=名”，不等式

ee

f(x)-2020ei<2整理得了(切一2〈陋,所以g(x)<g⑴，利用g(x)单调性解抽象不等式即可.

ere

【详解】

设函数g(x)="；｝2,

所以g，(x)J，(x)xeT/(x卜2]xe：1(”(x)+2,因为〃*)>/，(力+2,

所以r(x)-/(x)+2<0,即g'(x)<0,所以g(x)在R上单调递减,因为"1)=2022,

所以g⑴="1)-2=陋,因为/(力―2020e”[<2,整理得〃“)一2〈陋,

eeexe

所以g(x)<g(l),因为g(x)在R上单调递减,所以x>l.

故选：C.

【点睛】

函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看

似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能

起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，

这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多

问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

例19.己知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为/(X),满足r(x)</(x)且/(x+3)为偶函数，/(6)=1,

则不等式的解集为()

A.(-3,+oo)B.(l,+oo)C.(0,-K»)D.(6,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】

构造函数g(x)=华，求导g'(x)=f'，):"x)<0,从而得g(x)在定义R匕单调递减；又/(x)<e'o

ee

9<半，从而有g(x)<g(0),利用g(x)的单调性即可求解.

ee

【详解】

令g(x)=华，

e

e

・•・g(x)在定义R上单调递减；①

又/8+3)为偶函数，

.-./(3+x)=/(3-x),.-./(0)=/(6)=1,

・"二华八

e

贝IJ不等式要〈型，即g(x)<g(O),

ee

由①得x>0,

故选：C.

例20./(x)是定义在R上的函数，尸(力是/(x)的导函数，已知r(x)>/(x),且/⑴=e,则不等式

〃2x—l)—e2i>0的解集为()

C.D.(|,+8)

【答案】C

【解析】

【分析】

根据不等式r(x)>/(X)构造函数g(X)=翌，然后利用函数g(X)单调性解不等式即可.

6

【详解】

由r(x)>〃x),得，㈤-y(x)>o

构造函数g(x)=y,g'(x)

所以函数g(x)在XW(YO,«X))上单调递增，

因为〃l)=e,所以g(l)=l

不等式〃2x-l)-e2i>0等价于，(#「)>1

即所以2x—l>lnxe(l,M)

故选：C.

【方法技巧与总结】

1.对于尸(x)-f(x)>0(<0),构造g(x)=%，

2.对于/'(x)-夕'(x)>0(<0)，构造g(x)=1gl

题型五：利用sinx、tanx与/(x)构造型

7in

例21.函数y=/(x)对任意的xw满足/。)其中()是函数/(%)的导函数),

5'万x+2/(x)+sin2x=—(/'X

则下列不等式成立的是()

B-何小周

D

-何(f)<(2+6)，信

【答案】D

【解析】

【分析】

由x+2/(x)+r*)sin2x=e，，可以构造函数尸(x)=/(x)tanx,尸(x)NO,根据单调性比较大小即可得解.

【详解】

令F(x)=/(x)tanx,

1/r(x)sinxcosx+/(x)/r(x)sin2x+2f(x)

3=r(端+/(x)22

cosXCOSX2cos2x

又由已知可得,2f(x)+f(x)sin2x=e'-1-^>0,所以尸知部,

所以F(x)在x£上单调递增

51兀

因为所以tan—,

TI12

故•<(2+j3)/［不J,D正确，

故选：D

【点睛】

本题考查了构造函数，考查了导数的应用，有一定的计算量，属于较难题.本题的关键点有：

(1)根据所给条件构造出对应的函数，并求出单调性；

(2)对所给答案进行分析判断，比较大小.

例22.己知可导函数“X)是定义在‘会号上的奇函数.当时，/(x)+/'(x)tanx>0,则不等

式cosx-f(x+5j+sinx-/(-x)>0的解集为()

兀

A.C.

2

【答案】D

【解析】

【分析】

兀

构造函数sin^(x),并依据函数sin4(x)的单调性去求解不等式cosr/X+一+sinx-f(-x)>0的解集.

2

【详解】

当时，/(x)+/,(x)tanx>0,则8sV(x)+/'(x)sinx>0

上的奇函数

则xe时，不等式cosx./(x+/J+sinr〃-x)>0

可化为sin(x+])/(x+>sin(-x)•/(-x)

又由函数sin好1(x)在(0,日上单调递增，且x+^efo,-^

则有>+]>T>0,解之得-卜<0

故选：D

例23.已知函数〃x)是定义在(-、，5)上的奇函数.当xe0，])时，/(x)+尸(x)tanx>0,则不等式

cosx"(x+]]+sinx-f(-x)>0的解集为()

717U

B.1,2

【答案】C

【解析】

【分析】

构造函数g(x)"(x)sinx,则经变形后得g'(x)=[/(x)+/⑴tanA]CIQSX,进而得到g(x)在XG0.1^时单增,

上的偶函数，再去'了即可求解

【详解】

令g(x)=/(x)sinx,g'(x)=f(x)cosx+f\x)sinx=[f(x)+f\x)tanx]cosx,

当xe0，1^时，〃x)+f'(x)tanx>0,.•.g(x)>0,即函数g(x)单调递增.

又g(0)=0,xe0,1J时，g(x)=/(x)sinx>。，

•・・/(x)是定义在(一]e)上的奇函数，.•.g(x)是定义在'上的偶函数.

不等式cosx-/^x+y^+sinx-/(-JC)>0,

即sin[x+g)/[x+D>sinV(x),B|J^Lr+yj>^(x),

71

x+—〉lXI,X>一■7①,

24

又一g<x+g<g,故-4<X<0②，

222

由①②得不等式的解集是.

故选：c

【点睛】

本题考查利用构造函数法解不等式，导数研究函数的增减性的应用，一般形如/(a)g(a)±/(b)g(b)>0的

式子，先构造函数〃(x)=/(x>g(x),再设法证明/?(x)的奇偶性与增减性，进而去了解不等式

【方法技巧与总结】

1.对于sinx"'(x)+cosx・f(x)>0(<0),构造g(x)=/(x)sinx,

2.对于sinx・/'@)一cosx・/(x)>0(<0),构造g(x)=J")

sinx

3.对于正切型，可以通分(或者去分母)构造正弦或者余弦积商型

题型六：利用cosX与/(X)构造型

例24.己知偶函数/(*)的定义域为卜夕£|,其导函数为八x),当0<x<］时，有,f'(x)8Sx+f(x)sinx<0

成立，则关于x的不等式八幻<&,尼卜。sx的解集为()

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意，设g(x)=A@，利用导数求得g(x)在上单调递减，且为偶函数，再把不等式

转化为g(x)<g(》结合单调性，即可求解.

【详解】

由题意，设g(x)=3,则g，(M也*电g驾

cosxcos-X

当Ovxv］时，因为fr(x)cosx+/(x)sinx<0,则有g'(x)<0,

所以g(x)在(。，^］上单调递减，

又因为/")在上是偶函数，可得g(-x)=-^a=/8=g(x),

\22)cos(-x)cosx

所以g(x)是偶函数，

f(-)

由〈夜

f(x)fCsx,可得上8<夜〃三)，即“。<」_,即g。)<g(?)

兀

cosx4cosx…cos一

4

又由g(x)为偶函数，旦在(。句上为减函数，且定义域为卜|>皆，则有I*吟,

/a兀_p7C4

解得一7<x<一:或:<x<彳，

2442

nn717C

即不等式的解集为

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中构造新函数，求得函数的奇偶性和利用题设条件和

导数求得新函数的单调性，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能

力，属于中档试题.

例25.设函数〃x)在R上存在导数/'(X),对任意的xeR,有“x)+/(-x)=2cosx,且在［0,M)上有

■一)的解集是(

r(x)>—sinx,则不等式/(可―/x2cosx-sinx)

7171兀兀

A.-00,——B.——,+8C.—00,——D.-.4-00

4466

【答案】B

【解析】

构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项.

【详解】

设=/(%)—cosx,

/(x)+/(-x)=2cosx,即/(X)-cosX=cosx-/(-x),即F(x)=-尸(-力，故尸(X)是奇函数，

由于函数〃力在R上存在导函数r(力，所以，函数/(可在R上连续,则函数尸(可在R上连续.

•.,在［0,4oo)上有//(x)>-sinx,；・尸'(x)=/'(x)4-sinx>0,

故厂(x)在［(),”)单调递增，

又二尸(力是奇函数,且尸(力在R上连续，，尸(x)在及上单调递增,

\*/(x)-/^-xl>cosx-sinx,

•••/(x)-cosx>/^1-^-sinx=/^y-^-cos^1-x^,

即*x)2F(-x),Ax>j-x,故

故选：B.

【点睛】

本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键,

属于较难题.

例26.已知函数“X)的定义域为■句，其导函数是/*).有/'(x)cosX+f(x)sinX<0,则关于工的不等

式何(x)<2/(£|cosx的解集为()

篇)高

A・B.C.1D・1(717r\

【答案】B

【解析】

【分析】

令尸("=鉴，根据题设条件，求得F(x)<0,得到函数尸(x);=幺立在［内的单调递减函数，再

COSX\乙乙)

把不等式化为这〈一⑷，结合单调性和定义域，即可求解.

cosX4

【详解】

由题意，函数f(x)满足](x)8sx+〃x)sinx<o,

令网》卜忠，则尸，(加以±"以但<0

cosxcos-X

函数尸(》)=生1是定义域卜内的单调递减函数，

COSX'LL)

由于cosx>0,关于X的不等式⑺/(X)<2/fjlcosX可化为以义<一⑷，

16JCOSXCi71

cos—

6

即所以一旦]>g,解得

Vo722626

不等式何'(X)v2/图cosx的解集为你"

故选：B

【点睛】

方法点睛：构造法求解f(力与/'(X)共存问题的求解策略：

对于不给出具体函数的解析式，只给出函数f(x)和f(x)满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数,

再根据条件得