高中数学选择性必修二 专题5.2 导数的运算 练习

专题5.2导数的运算

知识储备

1.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

f(x)=c(c为常数)f(x)=0

f(x)=sinxf(x)=cos_x

/U)=e*f(x)=ex

/(x)=lnxf(x)=-

X

/U)=K(aGQ")f(x)=axa~i

/(x)=cosxf(x)=-sin_x

人》)=砂3>0,aWl)f(x)=axln_a

,1

f(x)=logaX(6T>0,a#1)r(X)一.

xlnx

2.导数的运算法则

(1)L/U)±g(x)]'=f(.r)±g,(x)；

(2)[/U)・g(x)]，=/"(x)g(x)+/i[x)R'(x):

/'(x)g(x)-g(x)g'(x)

⑶(g(x)WO).

g(x)【g(X)]2

3.复合函数导数的运算法则

概念：一般地，对于两个函数)，=A")和〃=g(x),如果通过中间变量"，y可以表示成X的函数，那

么称这个函数为函数＞=/(")和〃=g(x)的复合函数，记作y=/(g(x)).

求导法则:一般地,对于由函数y=/(w)和〃=g(x)复合而成的函数)，=/(g(x)),它的导数与函数

〃=g(x)的导数间的关系为y'.即y对x的导数等于y对〃的导数”与对x的导数的乘

积.

4.常用结论

i/(xo)代表函数於)在x=x()处的导数值；(/Uo)y是函数值y(xo)的导数，且(y(xo)y=o.

。_L，—尸⑴

1/Wj[/(x)]2,

3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.

4.函数尸危)的导数了⑴反映了函数心)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|曲)|

反映了变化的快慢，ir(x)i越大，曲线在这点处的切线越“陡”.

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注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字

笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、单选题

X01

1.（2020•全国高二课时练习）对于函数/（x）=W+lnx-三，若/'⑴=1,则实数左等于（）

ee

A.1C.——D.——

223

【答案】A

2〃ex(x-2)12-k

x------，：♦『3=一----------'----*---，

xx3Xx~

所以/=—e+l+2左=1,解得后=],故选：A.

2.（2020•全国高二课时练习）已知/（力=刀2+，，则f'（0）=（）

A.0B.-4C.-2D.1

【答案】D

【解析】由题意,得/'(x)=2x+e)则/'(0)=1,故选:D.

3.（2020•全国高二课时练习）下列求导运算正确的是（）

A

A.(cosx)=sinxB.(3")=3log3e

C.(Igx)=--------x~2=—2x-1

、7xlnlO

【答案】C

【解析】（cos%）=—sinxf故A不正确;

（3'j=3”・ln3，故B不正确;

(Igx/=---,故C正确;

'7x-lnlO

（工一2j=一2r2-1=一2r3,故D不正确.故选：C.

4.（2020•山西高三期中（文））已知函数/（x）=@+D+sin1,其中/'（X）为函数/（X）的导数,

贝ij/(2020)+/(-2020)+/"(2019)-/'(―2019)=()

A.0B.2C.2019D.2020

【答案】B

【解析】...〃耳=色+1，+：9巳=x2+l+2x+sinx,2元+sinx

-------0--------=1+—-----

X+1X+1

£(2x2020+sin20202x(-2020)+sin(-2020)一

所以,/(2。2。)+小202。=202。2+1+.(-2(L)d+2=2,

(2+cos祖f+1)2x(2x+sinx)

r(x)=，函数广(x)的定义域为R，

+2x[-2x+sin(一切

尸(一力=

-|2

(2+cosx)(x2+1)-2x(2x+sinx)

=./"(x)，

所以,函数/'(x)为偶函数,

因此，/(2020)+/(—2020)+/'(2019)-/'(—2019)=2.故选：B.

5.(2020•四川省广元市川师大万达中学高三月考(理))已知/(x)是定义在R上的偶函数，当x20

时，2/f(x)-/(x)<0(其中刊［x)为/(x)的导函数)，若〃2)=e,贝U/(x)〉(五)'的解集

为()

1

A.(-2,2)

12

【答案】A

2/(x),27'(x)二/~(x)f(x)

【解析】由［而］,而2/'(x)-/(x)<0知:h在［0,+8)匕单调减，而

(后

〃2)=e,即幺4=1,又/(x)>(五)”知:A©,1/⑵

(由一(&¥

八.\/(X)/(X)

・••在［0,+8)上有0Wx<2,乂/(X)是定义在R上的偶函数，则(“产；住R上为偶函数，，(人一

/(x)/(-2)

在(7,0)上单调增，即;萧>/涕，可得一2<%<0,综上，有—2<x<2,故选：A

6.(2020•湖南长沙市•长郡中学高二期中)若函数/(x),g(x)满足/(£)+%(耳=%2-1,且

/⑴=1,则r⑴+g,(i)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】因为函数f(x),g(x)满足/(x)+xg(x)=f-l,且"1)=1,

所以+一1=0,则g(l)=一1,

对/3+%(力=/-1两边求导，

可得r(x)+g(x)+xg<x)=2x,

所以r(i)+g(i)+g'(i)=2,因此r(i)+g'(i)=3.故选：c.

7.(2020•安徽淮北市•淮北一中高二期中)等比数列｛4｝中，4=2,4=4,函数

f(x)=x(x-al)(x-a2)-(x-a8),则广(0)=(()

A.26B.29C.212D.2'5

【答案】C

【解析】等比数列｛q｝中，6=2,%=4,

所以q/==a3a6=a4a5=2x4=8,

因为函数/(》)=>4。-%)(*-%]..(工-4)],

f\x)=(x-4)(x-…(x-/)+x[(x-q)(x-%…(x-4)]',

则7(0)=4%…/=(q%)4=84=2'2.故选：C.

8.(2020•江西抚州市•临川一中高二期中(文))设函数〃x)=—%3—"贝(]“a=]”是

“广(-1)=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】/(x)=—x3—ax2+a2x—1,f'^xj=-3xi—2ax+a2

当a=l时，f\x)=-3x2-2x+l,/(-l)=-3+2+l=0,满足充分性.

当/'(-1)=0,即一3+2〃+〃=0,解得。=1或a=-3,不满足必要性.

所以“a=l"是1)=0”的充分不必要条件.故选：A

二、多选题

9.(2020•江苏南通市•高三期中)北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球

范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上

午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某

语言通讯的传递可以用函数〃x)=COSX+4-曙近似模拟其信号，则下列结论中正确的是

()

A.函数/(X)的最小正周期为兀

B.函数“X)的图象关于点卜令0)对称

C.对任意xeR,都有:(兀-x)=/'(x)

D.函数尸(x)的最小值为-3

【答案】BCD

【解析】A.因为y=cosx,y=气次)，=型|法的周期分别是讥手，普，其最小公倍数为2万，所

以函数函数/(X)的最小正周期为2〃，故错误：

B•因为巾小8S卜升对戈+对誉=。，故正确；

C./r(x)=-sinX-sin5x-sin9x=-x),故正确；

D./(3)=-sin^-sin苧-sin萼=一3,故正确；故选：BCD

10.(2020•全国高二课时练习)(多选)已知函数/(x)及其导数/(X),若存在.%,使得

则称/是r(x)的一个“巧值点”.下列函数中，有“巧值点”的是()

A./(x)=x1B./(x)=e~xC./(x)=InxD.f(x)=—

X

【答案】ACD

【解析】在A中，若/(%)=f，则/'(x)=2x,则丁=2%，这个方程显然有解，故A符合要求；

在B中，若八x)=e-',则f'x)=(Jj

(lnl=_^,即eT=—e-3此方程无解，故

B不符合要求；

在C中，若/Xx)=lnx,则r(x)=」，由lnx=」，令y=lnx,y=-(尤＞0),作出两函数的图

xxx

11.(2020•湖北高三月考)已知函数/(X)=X2+/'(0)-X-/'(0>COSX+2,其导函数为/'(X),则

()

A./(O)=-lB.f(0)=lC./(O)=lD.广(0)=-1

【答案】BC

【解析】因为/(x)=f+/(o).x—r(0).cosx+2,所以/(0)=2-/'(0).

因为/'(x)=2x+/(O)+/'(O)•sinx,所以广⑼=/⑼.

故/'(O)=/(O)=L故选：BC

12.(2020•山东高三专题练习)以下函数求导正确的是()

A.若=则/B.若/(x)=e2',贝］jr(x)=e21

C.若f(x)=j2x-l,则/'(X)=72-]D.若/(x)=cos(2x-21,则

/,(x)=-sinkx-y

【答案】AC

r，(、2x(x2+l)-(x2-l)-2x4x

【解析】对A,f\x)==~'—=7V不，故A正确

(x2+l)(x2+l)

对B,f\x)=e2x-2=2e2x,故B错

所以C正确

X-jD,/'(x)=-sin2x-(12=-2sin(2x—(),故D错.故选：AC

三、填空题

13.(2020•广东中山市•高二期末)在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变

量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场

价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求

量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数

z=/(x,>)=2f+>+3盯2在(1,2)处偏导数的全过程：

(x,y)=4x+3y2,(x,y)=l+6xy,所以£(l,2)=4xl+3x22=16,

//(1,2)=14-6x1x2=13,由上述过程，二元函数z=g(x,y)=ln(x2+y2),贝

g；(L2)+gy'(l，2)=-------♦

【答案】|

2x2v

【解析】根据题意，得至Ijg；(x,y)=x2+y2，g；，(x，y)=x2：y2，

2244

则g；(l，2)=中Fg；(l，2)=E0

因此g；(l,2)+gv'(l,2)=，故答案为：

14.（2020•全国高三其他模拟（理））给出下列四个命题：

①命题"也eR,COSX＞0”的否定是“h。eR,cosx（）＜0«；

②函数/2（x）=d-才只有两个零点，分别是一个正数和一个负数；

③对于任意实数尤,有/（-x）=〃x），且当x〉0时，r（x）＞0,则当x＜0时，r（x）＜0.

其中正确命题的序号是.（填所有正确命题的序号）

【答案】①③

【解析】①全称命题的否定是特称命题，所以①正确.

②根据y=%2,y=2'的图象，知〃（到=%2-2，有三个零点，

故②错误；

③/（一%）=/（x）两边对％求导数，得r（-x）（-i）=r（1）,