2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第三章函数及其应用第六节对数、对数函数

第六节对数、对数函数

【考试要求】1.理解对数的概念及其运算性

质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对

数或常用对数.【高考考情】考点考法：高考命题常以考查对

2.通过具体事例，了解对数函数的概念.能数的运算性质为主，考查学生的运算能力；对

用描点法或借助计算工具画出具体对数函数数函数的单调性及应用是考查热点，常以选择

的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊题或填空题形式出现.

点.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算

3.知道对数函数y=log“x与指数函数尸

a'(a>0,a*1)互为反函数.

o...-,拓迪旅理」思推激活,一

【归纳•知识必备】

1.对数的概念

(1)本质：是求指数的运算；

⑵指、对关系式：

①a'=AMx=logW(a〉0,且aW1).

A

②a"'"'=N；1ogaa=x(a>0,且aWLA>0).

2.对数的运算法则：若a>0,且aWl,粉0,小0,则(1)log“(楸)=log/^log/V；(2)log.-

=logJ/-log/；(3)1og“M=〃log/(AWR).

3.换底公式川

log..,Z>=~^'(a>0,且a#l；c>0,且cWl；b〉0).

logca

注解1换底公式的推论：①log/•log庐=1；

②logb”=flog”,

dIII

4.对数函数的图象与性质

『log/a>l0<a<l

y

X=1.=1

y=\OQaX

图象\(1,0)

0(1.0)xox

y=logaX

定义域(0,+8)

值域R

过定点(1,0),即A=1时，尸0

当x>l时，y〉0;当X>1时，y<0;

性质

当时,。0当时,y>0

在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

【智学•变式探源】

1.必修一P160T5(l)2.必修一P126T3

1.(改变条件)已知JQ(y1y=log2X,x>2},A—{^|y=ln(2—x)},则"C/V等于()

A.(2,+8)B.(一8,2)

C.(1,2)D.0

［解析］选C.［仁{y\y=logzM^>2}={y|y>l),

N={^|y=ln(2—x)}={x|矛<2},"CJV=(1,2).

2.(改变结论)若log力•log〃c•loge3=2,则a的值为

【解析】由已知可得产•看•詈=2,即詈=2,

lga1g6lgclga

所以lg3=21ga,所以a2=3,a=y[i.

答案：小

【慧考•四基自测】

3.基础知识4.基本方法5.基本应用6.基本能力

3.(对数运算)21og510+logO25=.

【解析】21og510+log50.25=log5100+log50.25=log,,25=2.

答案：2

4.(待定系数法)对数函数/Xx)过点(9,2),则(2)=.

【解析】设f(x)=log“x(a>0且aWl),log“9=2,

所以才=9,所以a=3（舍a=—3）,

所以f（x）=log3X,

所以'I?=l°g（=—L

答案：一1

5.（单调性的应用）已知a=log52,8=1。映3,c=<,则下列判断正确的是（）

乙

A.c<b<aB.b<a<c

C.a<c<bD.a<b<c

【解析】选C.a=log52Vlogs/=；=logs2:Vlog83=b,即aVcVb.

3

6.（解对数不等式）若叼<1（a0且@£1）,则实数a的取值范围是

3

【解析】当O〈a<l时，logq<log„a=l,

所以0<a<|；

3

当a>l时，logq<log,a=l,所以a>l.

所以实数a的取值范围是（0,|]U（l,+8）.

答案：（0，|jU（1,+8）

。、力点探究•悟法/怩,一Q

♦考点一对数式的化简与求值|自主练透

1.（2022•绍兴模拟）已知x,y为正实数，则（）

A.1g（/•y）=（1g%）2+lgy

B.lg（*•5）=lgx+glgy

Inx+lnr

C.e=x+y

D.einx''ny=xy

2.(2021・开封模拟)若2=1,且!W,则z的值可能为()

A.3B.y[lQC.7D.10

3.★(命题•新视角)数列〃=1+<+-+-通常被称为“调和级数”，是级数理论中最

23n

早被人们研究的级数之一.著名数学家欧拉在1734年就曾给出证明：当〃足够大时，In

(〃+1)+其中7为欧拉一马歇罗尼常数，其值约为0.57,在本题的计算中可以忽略不计.据

此，"u与凡之比的近似值为(参考数据：1g2仁0.30)()

A.1.50B.1.35C.1.20D.1.05

【解析】1.选B.x,y为正实数，1g(/•y)=lgf+igy=21gx+lgy,故A错误；

lg(x•近)=lgx+lgy[y=lgx+Jlgy,故B正确；

e"=灯，故C错误;

e—・小‘=阴""'=灯，故D错误.

2.选D.设2'=5"=z°=k则a=log4，Z?=log5^c=logzA,

所以，+T+[1/=1og*2+1og*5=1ogA(2X5)=1ogxl0=-=log*z,所以z=10.

ablog2A-log5Ac

3HuIn51291n29

3.选B.由题思，-——=———=-lg2«=1.35.

In10021n102

，规律方法

对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用累的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幕的形式，使基的底数最

简，然后利用对数运算性质化简合并.

(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对

数真数的积、商、累的运算.

教师

专用【加练备选】

19

(2022•临汾模拟)已知4、=3=力,且一+-=2,则m=()

xy

A.2B.4C.6D.9

【解析】选C.因为4'=3'=而，则x=logMy=log3/z?,

所以1+~=/—+合一=log,B4+21og..^

xylog"log3zz?

=log„(4X3')=2,

所以/=4X3'=36,

又加>0,所以加=6.

，考点二对数函数的图象及应用|讲练互动

[典例1]⑴(多选题)若函数f(x)=a*T,g(x)=log)x|,其中a>0,且aWl,则函数f{x},

g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是()

⑵已知函数/'(x)是定义在R上的偶函数，且当x»0时，f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的

大致图象为()

(3)已知f(x)=logjx|(a>0,且aWl)满足f(—5)=1,则函数g(x)=logj*—11的减区间为

【解析】⑴选AD.易知g(x)=log为偶函数.当OVaVl时,f(x)=/'单调递减，g(x)

=logjx|在(0,+8)上单调递减，此时A选项符合题意.当a>l时，/•(旧：鲁会单调递增,

g(x)=log在(0,+8)上单调递增，此时D选项符合题意.

(2)选C.先作出当*20时，f(x)=ln(x+1)的图象，显然图象经过点(0,0),再作此图象

关于y轴对称的图象，可得函数f(x)在R上的大致图象，即选项C中的图象符合题意.

(3)因为f(—5)=1,所以log“5=l,即a=5,所以g(x)=logs|*—11,图象如图所示,

根据图象可得，函数g（x）的减区间为（一8,1）.

答案：（一8,1）

，一题多变

本例⑶条件不变，求函数为（X）=llog^l的增区间.

【解析】因为a=5,所以力（x）=|logsxl,函数为（x）的图象如图所示:

根据图象可得，函数方5）的增区间为（1,+8）.

，规律方法

对数函数的图象识别及应用

自主完善，老师焉寻

（1）在识别函数图象时，要善于利用对数函数的单调性及特殊点（与坐标轴的交点

等）；

（2）一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域

（最值）、零点时，常利用数形结合思想求解.

提醒：对数函数图象进行左右平移时，一定要画出相应的渐近线.

，对点训练

1.如图，若G,C2分别为函数y=/og,x和y=/og,x的图象，则（)

A.0<a<b<lB.0<b<a<l

C.a>b>lD.b>a>l

【解析】选5作直线y=l,则直线与C”&的交点的横坐标分别为a,b易知0<b<a〈l.

2.函数y=2/og（l—x）的图象大致是（）

【解析】选6函数y=2/og4(l—x)的定义域为(-8,i),排除/，B；又函数y=2/og(l—

x)在定义域内单调递减，排除〃

3.函数y=|/o9(x+l)|的值域为,单调减区间为.

【解析】函数y=|"Z侬(x+l)|的图象如图所示，由图象知，其值域为[0,+8),单调减区

间是(-1,0].

答案：[0,+8)(-1,0]

蜀【加练备选】

如图，直线x=t与函数f(x)=/ogx和g(x)=/o队X—1的图象分别交于点A,B,若函数y

=f(x)的图象上存在一点C,使得aABC为等边三角形，则t的值为()

J(x)=log3jr

/x)=log3x-l

3m+3

4年

C.3m+3

D.3^3+3

【解析】选C由题意A(t,log-iV),B(t,—1),|AB|=1,

设C(x,1。刍x),因为aABC是等边三角形,

所以点C到直线AB的距离为手，

所以t-x邛,x=t一坐,中点坐标公式得

logt+log^—Y,1

=32=I"口

而I"+_也__L用吻I3m+3

所以t—2—，解得t—彳.

♦考点三对数函数的性质及应用I多维探究

高考考情：对数函数的性质及应用是高考命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重

点考查比较大小、解不等式等问题，难度中档.

,角度1比较大小

2

［典例2］(2020•全国卷III)设b=/o既3,c=鼻，则()

O

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

112

【解析】选4因为a=wlog2"<-log^=~=c,

o3o0

112

b=­7<?^3：!>-7o^25=-=c,所以2<(:<：13.

ooO

•角度2解方程或不等式

［典例3］(1)方程/。9(x—1)=2—1侬(x+1)的解为.

⑵已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在［0,+8)上单调递增，/1力=0,则不等式

彳1%《>0的解集为.

【解析】(1)原方程变形为log?(x—l)+log2(x+l)=log2(V—1)=2,即7-1=4,解得x

=±m，

又X>1,所以x=#.

答案：*=乖

⑵因为F(x)是R上的偶函数，所以它的图象关于y轴对称.因为f(x)在［0,+8)上单调递

增，所以f(x)在(一8,0］上单调递减，由用=0,得=0,函数的大致图象如图

所示.

所以>0=log]X<—1或log!,

88

解得x>2或0<x1,

所以xd(o,2U(2,+°°).

答案：(o,习u(2,+8)

•角度3对数函数性质的综合应用

［典例4］(1)若函数/1(才)=1。&(*一且入一3M在区间(一8,—2］上是减函数，则实数a的取值

范围是()

A.(―°°,4)

B.(-4,4］

C.(一8,-4)U［-2,+8)

D.［-4,4)

(2)(2021・洛阳模拟)已知函数/'5)=1。82(1+4')一k，则下列说法正确的是()

A.函数f(x)在(-8,0］上为增函数

B.函数/'(x)的值域为R

C.函数/'(x)是奇函数

D.函数/'(*)是偶函数

【解析】(1)选D.由题意得寸一ax-3a〉0在区间(-8,—2］上恒成立且函数_/=f—ax—3a

在(一8,—2］上单调递减，则］》一2且(一2)2—(—2)a—3a>0,解得实数a的取值范围是［一

4,4).

(2)选D.根据题意，函数f(x)=log2(l+4”)—x,其定义域为R,有/'(—x)=log(l+/)+x

5

v

=log2(l+4)—x—f{x),所以函数f(x)是偶函数，则D正确，C错误，对于A,/(—1)=log2-

乙

>1=f(o),f(x)不是增函数，A错误，对于B,f(x)=log2(l+4*)—X=log2(/+2”),设£

+2*22,当且仅当*=0时等号成立，则方的最小值为2,故/'(x)eiogz2=l,即函数

的值域为［1,+8),B错误.

，规律方法

1.比较对数式大小的方法I自主完善，老而稻导

⑴能化为同底的化为同底对数式，利用单调性比较大小:

⑵不能化为同底，一般引入“1,0,-1”等中间量比较大小;

(3)底数与“1”的大小不确定时，要分类讨论.

2.形如logax〉b的不等式，应化为log/x>6=log“a"的形式，用y=logj的单调性求解.

3.求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，一定要注意定义域及复合函数的

构成.

d多维训练

1.(2022•上饶模拟)已知a=logs3,Z?=logl69,<?=0.3"1,则a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

【解析】选D.a=lv,b=-1~,

log35log34

因为log35>log34>log33=L

所以a<b<\,a—2<0,

所以0.3'7>0.3°=1,所以c>b>a.

2.已知函数/<x)的图象如图所示，则函数g(x)=

log,fU的单调递增区间为()

2

A.(一8,—3],[o,3]

B.[—3,0],[3,+°°)

C.(—8,—5),[0,1)

D.(—1,0],(5,+00)

【解析】选C.因为y=log|X在(0，+8)上为减函数，所以要求y=f(x)的单调递减区间,

且f(x)>0.由题图可知，使得函数y=f(x)单调递减且满足fG)>0的x的取值范围是

(—8,—5)和［0,1).

因此，函数gG)=log|f(x)的单调递增区间为(-8,-5),［0,1).

3.(多选题)(2。22・济南模拟)已知实数阳必2满足如"="=^,则下列关系式中可能成

立的是()

A.x>