2008年全国硕士研究生入学考试《数学三》真题

2008年全国硕士研究生入学考试《数学三》真题卷面总分：23分答题时间：240分钟试卷题量：23题练习次数：16次

单选题（共8题，共8分）

1.设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数的（）。

A.跳跃间断点

B.可去间断点

C.无穷间断点

D.振荡间断点

正确答案：B

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本题解析：由函数可知，g（x）在x＝0处无定义，即x＝0是g（x）的间断点。又，故x＝0是g（x）的可去间断点。

2.设函数f（x）连续，

其中区域Duv为图2中阴影部分，则F/u＝（）。

A.vf（u2）

B.vf（u2）/u

C.vf（u）

D.vf（u）/u

正确答案：A

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本题解析：利用极坐标，得

所以F/u＝vf（u2）。

3.设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3＝O，则（）。

A.E－A不可逆，E＋A不可逆

B.E－A不可逆，E＋A可逆

C.E－A可逆，E＋A可逆

D.E－A可逆，E＋A不可逆

正确答案：C

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本题解析：

4.如图1，曲线段的方程为y＝f（x），函数f（x）在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分等于（）。

说明:说明:2008-1

A.曲边梯形ABOD的面积

B.梯形ABOD的面积

C.曲边三角形ACD的面积

D.三角形ACD的面积

正确答案：C

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本题解析：

5.已知

则函数在原点偏导数存在的情况是（）。

A.fx′（0，0），fy′（0，0）都存在

B.fx′（0，0）不存在，fy′（0，0）存在

C.fx′（0，0）存在，fy′（0，0）不存在

D.fx′（0，0），fy′（0，0）都不存在

正确答案：B

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本题解析：由偏导数的定义知

不存在；

存在。

6.

A.见图A

B.见图B

C.见图C

D.见图D

正确答案：D

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本题解析：

7.设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F（x），则Z＝max{X，Y}的分布函数为（）。

A.F2（x）

B.F（x）F（y）

C.1－[1－F（x）]2

D.[1－F（x）][1－F（y）]

正确答案：A

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本题解析：由X，Y独立同分布知，Y的分布函数也为F（x）。记Z的分布函数为FZ（x），则

FZ（x）＝P{max{X，Y}≤x}＝P{X≤x，Y≤x}＝P{X≤x}P{Y≤x}（X与Y独立）＝F2（x）

8.随机变量X～N（0，1），Y～N（1，4），相关系数ρXY＝1，则（）。

A.P{Y＝－2X－1}＝1

B.P{Y＝2X－1}＝1

C.P{Y＝－2X＋1}＝1

D.P{Y＝2X＋1}＝1

正确答案：D

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本题解析：

方法一：由X～N（0，1），Y～N（1，4）知EX＝0，DX＝1，EY＝1，DY＝4。由于ρXY＝1，所以存在常数a，b，使得P{Y＝aX＋b}＝1，从而EY＝aEX＋b，得b＝1，而

得a＝2，故应选D项。

方法二：本题利用排除法。由ρXY＝1，可知X，Y正相关，排除A、C、B项。若Y＝2X－1，由EX＝0，得到EY＝－1，排除B，可知应选D。

填空题（共6题，共6分）

9.

正确答案：（ln3）/2

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本题解析：暂无解析

10.

正确答案：π/4

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本题解析：暂无解析

11.设函数

在（－∞，＋∞）上连续，则c＝

正确答案：1

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本题解析：暂无解析

12.微分方程为xy′＋y＝0满足条件y（1）＝1的解y＝

正确答案：1/x

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本题解析：暂无解析

13.设三阶矩阵A的特征值是1，2，2，E为三阶单位矩阵，则|4A－1－E|＝

正确答案：3

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本题解析：暂无解析

14.设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X＝EX2}＝

。

正确答案：1/（2e）

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本题解析：暂无解析

问答题（共9题，共9分）

15.计算

正确答案：

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本题解析：

16.

正确答案：

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本题解析：

17.设f（x）是周期为2的连续函数。

（Ⅰ）证明：对任意的实数t，有

（Ⅱ）证明：

是周期为2的周期函数。

正确答案：

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本题解析：

18.

正确答案：

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本题解析：

19.

正确答案：

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本题解析：

20.设银行存款的年利率为r＝0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10＋9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元

正确答案：

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本题解析：

21.

正确答案：

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本题解析：

22.设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3。

（Ⅰ）证明：α1，α2，α3线性无关；

（Ⅱ）令P＝（α1，α2，α3），求P－1AP。

正确答案：

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本题解析：（Ⅰ）设存在数k1，k2，k3，使得k1α1＋k2α2＋k3α3＝0①。由已知条件知Aα1＝－α1，Aα2＝α2。用矩阵A分别乘式①的左右两边，得－k1α1＋k2α2＋k3（α2＋α3）＝0②。式①－②得2k1α1－k3α2＝0。

由于α1，α2为A的分别属于－1，1的特征向量，所以α1，α2线性无关，即k1＝k3＝0，代入①得k2α2＝0。因为α2是A的特征向量，α2≠0，得k2＝0，即k1＝k2＝k3＝0，所以α1，α2，α3线性无关。

（Ⅱ）由题意有

因为α1，α2，α3线性无关，所以矩阵P可逆，得

23.设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X＝i}＝1/3（i＝－1，0，1），Y的概率密度为

记Z＝X＋Y。

（Ⅰ）求P{Z≤1/2|X＝0}；

（Ⅱ）求Z的概率密度fZ（z）。

正确答案：

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本题解析：（Ⅰ）

（Ⅱ）设Z的分布函数为F（z），则其值域非零时z的区间为[－1，2]。

当z＜－1时，FZ（z）＝0；

当z＞2时，FZ（z）＝1；

当－1≤z＜2时，FZ（z）＝P