一元二次不等式课件示例 人教

一元二次不等式复习二次函数的图象，观察图象与x轴的各种位置关系二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是一个有机的整体。

通过函数把方程与不等式联系起来，我们可以通过对方程的研究利用函数来解一元二次不等式。一元二次不等式x1x1x2000xxyxyy⑴ax2+bx+c=0(a>0)有两个不等实根x1>x2则ax2+bx+c>0的解为x>x1或x<x2

ax2+bx+c<0的解为x2<x<x1

⑵ax2+bx+c=0(a>0)若无实根即△<0则ax2+bx+c>0的解为Rax2+bx+c<0的解为φ⑶ax2+bx+c=0(a＞0)若有两相等实根x1=

x2则ax2+bx+c>0的且解为x≠x1且X∈Rax2+bx+c<0的解为φa<0同理可得以上规律注:解一元二次不等式实质上是通过解一元二次方程来确定解,通过式子＞(≥)0还是＜(≤)0来确定解的范围

!解：∵方程x2－2x－15＝0的两根为x＝－3，x＝5∴不等式的解集为{x│x≥5或x≤－3}。例1.求不等式x2－2x－15≥0(x∈R)的解集。例2已知集合A={x│x2－ax≤x－a}B={x│1≤x≤3}，若A∩B=A求实数a取值范围解：A∩B=A，则AB而A:若a≥1则1≤x≤a1≤a≤3若a＜1则a≤x≤1那么A∴a取值范围是1≤a≤3∩B13aa例3（变）求不等式x2－2│x│－15≥0(x∈R)的解集。解法1：（对x讨论）当x＞0时，原不等式可化为x2－2x－15≥0由例1可知解为x≥5或x≤－3∵x＞0∴不等式的解集为{x│x≥5}当x≤0时，原不等式可化为x2＋2x－15≥0则不等式的解为x≥3或x≤－5∵x≤0∴不等式的解集为{x│x≤－5}由以上可知原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5}。解法2：（利用函数奇偶性）当x＞0时，原不等式可化为x2－2x－15≥0又x2－2x－15≥0的解为x≥5或x≤－3∵x＞0∴不等式的解集为{x│x≥5}∵函数f(x)=x2－2│x│－15为偶函数∴原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5}。解法三：转化为|x|2－2│x│－15≥0(x∈R)来求解．0Xy二.应用1集合问题例4（1）已知一元二次不等式ax2＋bx+6>0的解集为{x│－2＜x＜3},求a－b的值解：一元二次不等式是通过一次方程的根来确定则可以理解为方程ax2＋bx+6＝0的根－2，3又∵解在两根之间∴a＜0∴c/a＝－6∴a＝－1－b/a＝－2＋3＝1∴b＝1则a－b＝－2(换元法）设│x│=t,则t≥0原不等式可化为t2－2t－15≥0由例1可知解为t≥5或t≤－3∵t≥0∴不等式的解集为{t│t≥5}∴

│x│≥5∴原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5}。Xy02.定义域问题例5求函数f(x)=x2－6x＋8的定义域。解：∴x2－6x＋8≥0的解为x≥4或x≤2∴原不等式的解集为{x│x≥4或x≤2}例6（变）函数f(x)=kx2－6kx+（k+8）的定义域为R（K＞0）求K的取值范围

解：∵函数f(x)=kx2

－6kx+（k+8）的定义域为R且K＞0∴只要△≤0即(6k)2－4k(k+8)=32k2－32Ｋ≤0∴0≤k≤1又K＞0∴0<k≤1例67解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0分析：1．kx2－2x＋k＜0未必就是一元二次不等式.2．即便是k≠0，抛物线y＝kx2－2x＋k的开口方向也未确定．既如此，则需首先围绕x2的系数来展开讨论．分别在k＝0、k＞0、k＜0的前提下，进一步探讨不等式的解集．解：1．当k＝0时，原不等式即为－2x＜0，故解集为{x|x＞0}；2．当k＜0时，由判别式△＝4－4k2＝－4(k＋1)(k－1)可知：当k＜－1时，△＜0，原不等式的解集为全体实数R；当k＝－1时，△＝0，原不等式的解集为x≠－1的实数；当－1＜k＜0时，△＞0，原不等式的解集为3.当k＞0时，亦由判别式△＝4－4k2＝－4(k＋1)(k－1)可知：当k＞1时，△＜0，原不等式的解集为空集φ；当k＝1时，△＝0，原不等式的解集为空集φ；3．当0＜k＜1时，△＞0，原不等式的解集为

练习1若A=｛x│－1≤x≤1｝B=｛x│x2+(a+1)x+a≤0｝若A∩B=B求a的取值范围2函数的f(x)=x2+2ax+3定义域为R求a的取什范围3求函数y=x2+ax－3，x∈［0,2］的最值内容总结一元二次不等式。复习二次函数的图象，观察图象与x轴的各种位置关系。ax2+bx+c<0的解为φ。则ax2+bx+c>0的且解为x≠x1且X∈R。a<0同理可得以上规律。注:解一元二次不等式实质上是通过解一元二次方程来确定解,。例1.求不等式x2－2x－15≥0(x∈R)的解集。解：A∩B=A，则AB。当x＞0时，原不等式可化为x2－2x－15≥0。当x≤0时，原不等式可化为x2＋2x－15≥0。则不等式的解为x≥3或x≤－5。例4（1）已知一元二次不等式ax2＋bx+6>0的解集。则可以理解为方程ax2＋bx+6＝0的根－2，3。又∵解在两根之间∴a＜0。则a－b＝－2。由例1可知