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文档简介

线性代数课件行列式按行列展开第一页，共十八页，2022年，8月28日例

四阶行列式D中，我们选定第一、二两行和第二、四两列，则得二阶子式N。再从D中划去第一、二两行和第二、四两列得余子式M，进一步，N的代数余子式第二页，共十八页，2022年，8月28日例：计算下面三阶行列式第二列元素的代数余子式第三页，共十八页，2022年，8月28日第四页，共十八页，2022年，8月28日下面我们首先观测三阶行列式的展开式与代数余子式的关系

3223113321123122133221133123123322113332312322211312113aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD---++==)()()(312232211331233321123223332211aaaaaaaaaaaaaaa-+---=

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容易看出行列式的值等于第一行元素与它们对应的代数余子式乘积之和，于是我们可以得到下面的定理。第五页，共十八页，2022年，8月28日定理2：n阶行列式D等于它的任意一行（列）所有元素与它们对应的代数余子式的乘积之和，或即第六页，共十八页，2022年，8月28日例1：计算四阶行列式解：可以选任意一行或一列展开，注意到第二行有两个元素为零，所以展开计算时只需要计算两个三阶代数余子式，因此选第二行进行展开，得第七页，共十八页，2022年，8月28日第八页，共十八页，2022年，8月28日第i行乘以加到第i+1行每列依次提出公因子，得到第九页，共十八页，2022年，8月28日以此类推，可以得到行列式的值第十页，共十八页，2022年，8月28日定理3：行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即第十一页，共十八页，2022年，8月28日推论：如果n阶行列式的某两行（第i行与第j行）对应元素相同，则行列式的值等于零。

第十二页，共十八页，2022年，8月28日定理4（Laplace展开定理)：在行列式D中任意取k（1kn－1）行，则由这k

行元素所组成的所有

k阶子式与它们的代数余子式乘积之和等于行列式D.

第十三页，共十八页，2022年，8月28日例：计算行列式求出它们对应的代数余子式选第一、二两行，则它们所组成的二阶子式共有10个，其中非零子式只有三个，第十四页，共十八页，2022年，8月28日于是，利用Laplace展开定理，得第十五页，共十八页，2022年，8月28日例：计算行列式第十六页，共十八页，2022年，8月28日解：把行列式按第一行展开，得再将第二个行列式按第一行展开，可得：注意第一个行列式是n-1阶，第二个是n-2阶，有：

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