数理统计课后答案2

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数理统计

一、填空题

1、设nXXX,,21为母体X的一个子样，如果),,(21nXXXg，则称),,(21nXXXg为统计量。不含任何未知参数

2、设母体σσμ),,(~2

NX已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为

n

Xσ

μ

-

3、设母体X服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X的数学期望的置信水平为95%的置信区间为。025.010

1

5u?±

;

4、假设检验的统计思想是。小概率事件在一次试验中不会发生

5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%，此问题的原假设为。0H：05.0≤p

6、某地区的年降雨量),(~2

σμNX，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为：(单位：mm)587672701640650，则2

σ的矩估计值为。~

7、设两个相互独立的子样2121,,,XXX与51,,YY分别取自正态母体)2,1(2

N与

)1,2(N，2

*2

2*1,SS分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,SbaaS+==χχ，已知)4(~),20(~22

2221χχχχ，则__________,==ba。

用

)1(~)1(22

2

*--nSnχσ，1,5-==ba

8、假设随机变量)(~ntX，则

21

X

服从分布。)1,(nF

9、假设随机变量),10(~tX已知05.0)(2

=≤λXP，则____=λ。

用),1(~2

nFX

得),1(95.0nF=λ

10、设子样1621,,,XXX来自标准正态分布母体)1,0(N，

X

为子样均值，而

01.0)(=>λXP，则____=λ

01.04)1,0(~1zNn

X

=?λ11、假设子样1621,,,XXX来自正态母体),(2

σμN，令∑∑==-=16

11

10

1

43iiii

XX

Y，则Y的

分布)170,10(2

σμN

%

12、设子样1021,,,XXX来自标准正态分布母体)1,0(N，X与2

S分别是子样均值和子

样方差，令2*2

10SXY=，若已知01.0)(=≥λYP，则____=λ。)9,1(01.0F=λ

13、如果,?1θ2?θ都是母体未知参数θ的估计量，称1?θ比2?θ有效，则满足。)?()?(2

1θθDD，则称1?θ为比2?θ有效的估计量②)?()?(21θθDD，则称1?θ为比2?θ有效的估计量④21?,?θθ是参数θ的两个无偏估计量，)?()?(21θθDDθD，则有（）①2

?θ

不是2θ的无偏估计②2?θ是2

θ的无偏估计|

③2

?θ

不一定是2θ的无偏估计④2?θ不是2

θ的估计量

4、②下面不正确的是（）①ααuu-=-1②)()(2

2

1nnααχχ-=-③)()(1ntntαα-=-④)

,(1

),(1nmFmnFαα=

-

5、②母体均值的区间估计中，正确的是（）

①置信度α-1一定时，子样容量增加，则置信区间长度变长；②置信度α-1一定时，子样容量增加，则置信区间长度变短；③置信度α-1增大，则置信区间长度变短；④、⑤置信度α-1减少，则置信区间长度变短。

6、④对于给定的正数α，101)(2

uUP④αα=>)|(|2

uUP

7、④某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布2

00200,),,(σμσμN为已知，现从某日生产的一批产品中随机抽取16缕进行支数测量，求得子样均值和子样方差，要检验细纱支数的均匀度是否变劣，则应提出假设（）

①0H：0μμ=1H：0μμ≠②0H：0μμ=1H：0μμ>③0H：202

σσ

=1H：202σσ≠④0H：202σσ=1H：202σσ>

8、③测定某种溶液中的水分，由它的9个测定值，计算出子样均值和子样方差%452.0=x，

~

%037.0=s，母体服从正态分布，正面提出的检验假设被接受的是（）①在α＝下，0H：%05.0=μ②在α＝下，0H：%03.0=μ③在α＝下，0H：%5.0=μ④在α＝下，0H：%03.0=σ9、答案为①

设子样nXXX,,21抽自母体X，mYYY,,21来自母体Y，),(~2

1σμNX

),(~2

2σμNY，则

∑∑==--m

ii

n

ii

Y

X12

212

1)()(μμ的分布为

①),(mnF②)1,1(--mnF③),(nmF④)1,1(--nmF

10、②设nxxx,,,21为来自),(~2

σμNX的子样观察值，2

,σμ未知，∑==n

iixnx1

1

\

则2

σ的极大似然估计值为（）

①∑=-niixxn12

)(1②∑=-niixxn1)(1③∑=--niixxn12)(11④∑=--niixxn1)(1111、③子样nXXX,,21来自母体)1,0(~NX，∑==niiXnX11，=2

*S∑=--niiXXn1

2)(11则下列结论正确的是（）①)1,0(~NXn②)1,0(~NX③

∑=n

ii

nX

1

22

)(~χ④

)1(~*-ntS

X

12、①假设随机变量X100212

,,,),2,1(~XXXN是来自X的子样，X为子样均值。已

知

)1,0(~NbXaY+=，则有（）

①5,5=-=ba②5,5==ba③51,51-==ba④5

1,51=-=ba

(

13、设子样nXXX,,,21)1(>n来自标准正态分布母体)1,0(N，X与2

*S分别是子样均

值和子样方差，则有（）

①)1,0(~NX②)1,0(~NXn③

)(~212nX

n

ii

χ∑=④

*S

X14、④设子样nXXX,,,21来自正态母体),(2

σμN，X与2

S分别是子样均值和子样方

差，则下面结论不成立的是（）

①X与2

S相互独立②X与2

)1(Sn-相互独立

③X与

∑=-n

ii

XX

1

2

2

)(1

σ相互独立④X与

∑=-n

ii

X

1

22

)(1

μσ相互独立

15、③子样54321,,,,XXXXX取自正态母体),(2

σμN，μ已知，2

σ未知。则下列随机

变量中不能作为统计量的是（）

①X②μ221-+XX③∑=-5

12

2)(1

ii

XXσ④∑=-5

1

2)(3

1

ii

XX

16、②设子样nXXX,,,21来自正态母体),(2

σμN，X与2

*S分别是子样均值和子样方

差，则下面结论成立的是（）`

①),(~22

12σμNXX-②)1,1(~)(2

*2

--nFS

Xnμ③

)1(~22

2

-nSχσ④

)1(~1*

---ntnS

Xμ

17、答案②设子样nXXX,,,21来自母体X，则下列估计量中不是母体均值μ的无偏估计量的是（）。

①X②nXXX+++21③)46(1.01nXX+?④321XXX-+18、②假设子样nXXX,,,21来自正态母体),(2

σμN。母体数学期望μ已知，则下列估计量中是母体方差2

σ的无偏估计是（）

①∑=-niiXXn12)(1②∑=--niiXXn12)(11③∑=-+niiXn12

)(11μ④∑=--niiXn1

2)(11μ19、①假设母体X的数学期望μ的置信度是95.0，置信区间上下限分别为子样函数

),(1nXXb与),,(1nXXa，则该区间的意义是（）

①95.0)(==x，故1021,,,xxxαJ∈，因此不能据此推断0=μ成立（3）{}

0003.0]1)1015.1(2[115.1||=-Φ-=≥XP0003.0=?α

假设随机变量)1,(~μNX，1021,,,xxx是来自X的10个观察值，要在01.0=α的水平下检验0H：0=μ，1H：0≠μ取拒绝域{}

cXJ≥=||α

(

（1）?=c

（2）若已知,1=x是否可以据此推断0=μ成立)05.0(=α

（3）如果以{}

15.1||≥=XJα检验0H：0=μ的拒绝域，试求该检验的检验水平α。

10、0H：2.5=μ，1H：2.5≠μ取检验统计量n

XU12.5-=)1,0(~2

.5N=μ

{}96.1||≥=uJα答案：可认为现在生产的金属纤维的长度仍为mm2.5

假设按某种工艺生产的金属纤维的长度X（单位mm）服从正态分布)16.0,2.5(N，现在随机抽出15根纤维，测得它们的平均长度4.5=x，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的金属纤维的长度仍为mm2.5

11、置信区间公式为???

???+-)8(),8(025.0*

025.0*tnSXtnSX得()69.30,31.29'

（2）检验0H：5.31=μ，1H：5.31≠μ取检验统计量)8(~5.310

*tn

S

XTH-=

拒绝域{

}025.0||tTJ≥=α答案：不能认为该地区九月份平均气温为C05.31（3）对于同一α而言，在显著水平α拒绝0H：5.31=μ与5.31在置信度为α-1的μ

置信区间之外是一致的。

某地九月份气温),(~2

σμNX，观察九天，得Cx030=，Cs0

9.0=，求

（1）此地九月份平均气温的置信区间；（置信度95%）

（2）能否据此子样认为该地区九月份平均气温为C0

5.31（检验水平)05.0=α（3）从（1）与（2）可以得到什么结论30

6.2)8(025.0=t

/

12、检验0H：72=μ，1H：72≠μ取检验统计量)9(~720

*tn

S

XTH-=

拒绝域{

}025.0||tTJ≥=α答案：可认为患者的脉搏与正常成年人的脉搏有显著差异正常成年人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测得脉搏为54686577706469726271，假设人的脉搏次数),(~2

σμNX，试就检验水平05.0=α下检验患者脉搏与正常成年人的脉搏有无显著差异13、（1）0H：2221

σσ

=，1H：22

21σσ≠取检验统计量)3,4(~0

2*2

2

*1FSSFH=

拒绝域{})3,4()3,4(95.005.0FFFFJ≤≥=或α答：可认为1X与2X的方差相等（2）0H：21μμ=，1H：21μμ≠由1X2X的方差相等，取检验统计量2*21

2111S

nnXXT??????+-=

)7(~0

tH，2

)1()1(212

*2

22*112

*-+-+-=

nnSnSnS

拒绝域{

})7(||05.0tTJ≥=α答：故可认为1X与2X的均值相等。'

设随机变量2

2,),,(~iiiiiNXσμσμ均未知，1X与2X相互独立。现有5个1X的观察值，

子样均值191=x，子样方差为505.72

*1=s，有4个2X的观察值，子样均值182=x，子样方差为593.22

*2=s，

（1）检验1X与2X的方差是否相等59.6)4,3(,12.9)3,4(,1.005.005.0===FFα（1）在（1）的基础上检验1X与2X的均值是否相等。（

1.0=α）

14、0H：2

2

82=σ，1H：2

2

82≠σ取检验统计量2

2

*2

82

)1(Sn-=χ{}

02.197.222≥≤=χχαorJ

答：故可认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性无显著变化-

假设某厂生产的缆绳，其抗拉强度X服从正态分布)82,10600(2

N，现在从改进工艺后生产的缆绳中随机抽取10根，测量其抗拉强度，子样方差69922

*=s

。当显著水平为05

.0=α时，能否据此认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性是否有变化

15、（1）0H：2

2

005.0=σ，1H：2

2

005.0≠σ取检验统计量2

2

*2

005.0)1(Sn-=χ

{}

5.1718.22

2≥≤=χχαorJ答：故可认为新生产的一批导线的稳定性有显著变化

（2）2

σ的置信区间为（)

1()1(,)1()1(2

975.02

*2

025.02

*----nSnnSnχχ）＝（,）某种导线的电阻)005.0,(~2

μNX，现从新生产的一批导线中抽取9根，得Ω=009.0s。（1）对于05.0=α，能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化（2）求母体方差2

σ的95%的置信区间16、母体均值μ的置信区间为n

stx*025

.0±答：(,)

、

某厂用自动包装机包装糖，每包糖的重量),(~2

σμNX，某日开工后，测得9包糖的重量如下：(单位：千克)试求母体均值μ的置信区间，给定置信水平为

95.0。

17、21μμ-的的置信区间为

2

)1()1(,11)2(212

*2

22*112*21*

212

-+-+-=+-+±-nnSnSnSnnS

nntYXα（,）

设有甲、乙两种安眠药，现在比较它们的治疗效果，X表示失眠患者服用甲药后睡眠时间

的延长时数，Y表示失眠患者服用乙药后睡眠时间的延长时数，随机地选取20人，10人服用甲药，10人服用乙药，经计算得9.2,75.1;9.1,33.22

22

1====sysx，设

),,(~21σμNX),(~22σμNY；求21μμ-的置信度为95%的置信区间。

18、22

2

1σσ的置信区间为?????

?

??)12,17(,)12,17(05.02*22*195.02*22*1FSSFSS(,)研究由机器A和B生产的钢管的内径，随机地抽取机器A生产的管子18根，测得子样方差

34.021=s，抽取机器B生产的管子13根，测得子样方差29.02

2=s，设两子样独立，且由

机器A和B生产的钢管的内径服从正态分布),(),,(22

221

1σμσμNN，试求母体方差比22

21σσ的

置信度为90%的置信区间。

19、2

σ的置信区间（)

1()1(,)1()1(2

95.02

*2

05.02

*----nSnnSnχχ）【

2

σ的置信区间(,)σ的置信区间(,)

设某种材料的强度),(~2σμNX，2

,σμ未知，现从中抽取20件进行强度测试，以kg/cm

2

为强度单位，由20件子样得子样方差0912.02

*=s，求2σ和σ的置信度为90%的置信区

间。

20、p的置信区间为???

?

??-??±)1(12nmnmnunmα（,）也可用中心极限定理作近似计算，所得答案为(,)

设自一大批产品中随机抽取100个样品，得一级品50个，求这批产品的一级中率p的置信度为95%的置信区间。21、μ的置信区间为,025

.0n

uxσ

±，65.275001800000

025

.0=?=nn

u

即这家广告公司应取28个商店作子样

%

一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费有多少。经验表明，母体方差约为1800000，如果置信度为95%，并要使估计值处在母体均值附近500元的范围内，这家广告公司应取多大的子样22、似然函数∑

==-

n

ii

xn

e

L1

1

)1

()(λλ

λ

λ的极大似然估计量X=λ

?设电视机的首次故障时间X服从指数分布，EX=λ，试导出λ的极大似然估计量和矩估

计。

23、21μμ-的置信区间为2

)1()1(,11)2(212

*222*1

12*21*

212

21-+-+-=

+-+±-nnsnsnSnns

nntxxα,)为了比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位银行职员随

机地安排了10个顾客，并记录下为每位顾客办理账单所需的时间（单位：分钟）相应的子样均值和方差为：92.18,63.16;5.28,2.222

*22*121====ssxx。假设每位职员为顾客办理账单所需的时间服从正态分布，且方差相等，求母体平均值差的置信度为95%的区间估计。24、21pp-的置信区间为

"

)1(1)1(12

22221111122211nmnm

nnmnmnunmnm-?+-?±-α，18.011=nm，14.022=nm

所以21pp-的置信区间为(,)

某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较，他们从两个城市中分别随机

地调查了1000个成年人，其中看过该广告的比例分别为和，试求两个城市成年人中看过该广告的比例之差的置信度为95%的置信区间。

25、0H：1200≤μ1H：1200>μ取检验统计量100

300

1200

-=

XU

拒绝域{}ααuuJ≥=答案：不能认为该厂的显像管质量大大高于规定标准

电视机显像管批量生产的质量标准为平均寿命1200小时，标准差为300小时。某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取100件为子样，测得其平均寿命为1245小时。能否据此认为该厂的显像管质量大大高于规定标准26、0H：5=μ1H：5≠μ取检验统计量n

S

XT*

5

-=[

拒绝域{}

)1(2

-≥=nttJαα计算得16.3103

.05

3.5=?-=

t

（1）)9(05.0025.0tt>?=α，所以在的显著水平下不能认为机器性能良好（2）)9(01.005.0tt检验统计量2

1*

2111nnSXXT+-=

拒绝域{}ααttJ≥=经计算得不能认为用第二种工艺组

装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短。

一个车间研究用两种不同的工艺组装产品所用的时间是否相同，让一个组的10名工人用第一种工艺组装产品，平均所需的时间为分钟，子样标准差为12分钟；另一组的8名工人用第二种工艺组装产品，平均所需的时间为分钟，子样标准差为分钟，已知用两种工艺组装产品所需的时间服从正态分布，且方差相等，问能否认为用第二种工艺组装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短

7459.1)16(,05.005.0==tα

29、0H：250≤μ1H：250>μ取检验统计量25

30

250

-=

XU

《

拒绝域{}ααuuJ≥=计算得拒绝0H，可认这种化肥是否使小麦明显增产

某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg，其标准差为30kg。现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样结果为平均产量为270kg。问这种化肥是否使小麦明显增产05.0=α30、0H：05.0≤p1H：05.0>p

n

nmnmnm

U)1(05.0--=

接受0H：05.0≤p，批食品能否出厂

某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于250kg。今从一批该食品中任意抽取50袋，发

现有6袋低于250kg。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂，该批食品能否出厂05.0=α

31、0H：225≤μ1H：225>μ取检验统计量n

SXT*

225

-=

】

拒绝域{})1(-≥=nttJαα，不能拒绝0H，不能认为元件的平均寿命大于225小时。

某种电子元件的寿命服从正态分布。现测得16只元件的寿命如下：159280101212224379179264222362168250149260485170，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时。7531.1)15(,05.005.0==tα

32、（1）（2）xy

1603.1708.26652?+-=（3）（4）∑=-=

n

ii

xx

t1

2)(??σ

β＝＞线性关系和回归系数显著

某电器经销公司在6个城市设有经销处，公司发现彩电销售量与该城市居民户数多少有很大关系，并希望通过居民户数多少来预测其彩电销售量。下表是有关彩电销售量与城市居民户数的统计数据：

要求：(1)计算彩电销售量与城市居民户数之间的线性相关系数；

（2）拟合彩电销售量对城居民户数的回归直线；

(3)计算判定系数2

R

,

(4)对回归方程的线性关系和回归系数进行显著性检验(05.0=α)，并对结果作简要分析。33、)/()1/(lnSlSFeA--=

计算得5.410

/384

/4.68==F＞

检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。

34、(1)589.364565.0?+=xy

(2)0:0=bH检验统计量==xxlb

tσ

??>306.2)8(025.0=t…

故儿子身高关于父亲身高的回归直线方程显著成立

(3)499.68977.35704646.0?7000=+?=?=y

x区间预测为2222020432.0]?[2

1?,)(11??=--=-++±xx

yyxxlblnlxxntyσσα故0y的区间预测为(