安徽宿松2017届高三数学一轮复习第16讲数系的扩充与复数的引入教案

数系的扩充与复数的引入课标要求.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；.了解复数的代数表示法及其几何意义；.行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。命题走向复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，一般是选择题、填空题，难度不大，预计今后的高考还会保持这个趋势。教学准备多媒体教学过程.知识梳理：形如a+bi(a,buR)的数，我们把它们叫做复数，全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。复数的加法法则：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；复数的加法法则：(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(b—d)i；复数的乘法法则:(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i；复数的除法法则:/ 、/ 、a+bi(a+bi)(c一di)(ac+bd)+(bc-ad)i ac+bdbc-ad.(a+bi)+(c+di)= = = = + i.c+di(c+di)(c一di) c2+d2 c2+d2c2+d2.典例分析.(教材习题改编)已知a£R,i为虚数单位，若(1—2i)(a+i)为纯虚数，则a的值等于()A.-6 B.-2C.2 D.6[a+2=0,解析：选B由(1—2i)(a+i)=(a+2)+(1—2a)i是纯虚数，得《 二 由此解得[1—2aW0,a=—2.2.(2011•湖南高考)若a,b£R,i为虚数单位，且(&+。1=匕+1,则()

A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1C.a=-1,b=—1 D.a=1,b=—1解析：选D由(a+i)i=b+i,得一1+ai=b+i,根据两复数相等的充要条件得a=1,b=—1.「一 5+3i3.(2012•天津高考)i是虚数单位，复数73—()iA.1—i B.—1+iC.1+i D.—1—i切“ 5+3i 5+：工 4+i 20+5i+12i+3i217+17i一.解析：选C/ .— ,. — 1公. —17 —1+i.4—i 4—1 1+] 16—i2 17 z .4.若复数z满足1+i—2i,则z对应的点位于第 象限.解析：z—2i(1+i)——2+2i,因此z对应的点为(一2,2),在第二象限内.答案：二5.若复数z满足z+i—3：1,则|z|— .3+i解析：因为z—i—i—1—3i—i—1—4i,则|z|—417.答案：V17.复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意(1)|z|—|z—0|—a(a>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a；(2)|z—z°|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离..复数中的解题策略(1)证明复数是实数的策略：①z—a+bi£Rob—0(a,b£R)；②z£Roz—z.(2)证明复数是纯虚数的策略：①z—a+bi为纯虚数0&—0,bW0(a,b£R)；②bW0时，z—z—2bi为纯虚数；③z是纯虚数0%+z—0且zW0.复数的有关概念A典题导入,、, ，一、上、、r ， ri,,、，，、 ， ， r一， b-1(1)(2012•陕西高考)设a,b£R,i是虚数单位，则“ab—0”是“复数a+:为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件⑵(2012•郑州质检)⑵(2012•郑州质检)如果复数2—bi1+2i(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于()2B.-3D.22B.-3D.23C.\'2，、…一〃b r, ， ， 一， ， 一(1)若复数a+7=a—bi为纯虚数，则a=0,bW0,ab=0；而ab=0时a=0或b=0,ab. 、ru 一， r一，，b-1、———，、一八十：不一定是纯虚数，故ab=0”是复数a+;为纯虚数”的必要不充分条件.2—bi—b.—1 ：—2b—十b(2)1+2i= ：+2i. 1—1= 5 ，依题意有2—2匕=4+卜斛得b=—金.(1)B(2)A2由题悟法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理.由于复数z=a+bi(a,b£R)由它的实部与虚部唯一确定，故复数z与点Z(a,b)相对应.以以题试法x.(2012•东北模拟)已知爪=1—yi,其中x,y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为()A.1+2i B.1—2iC.2+i D.2—i解析：选D依题意得x=(1+i)(1—yi)=(1+y)+(1—y)i；又x,y£R，于是有,x=1+y,< 解得x=2,y=1.J—y=0,x+yi=2+i,因此x+yi的共轭复数是2—i.复数的几何意义

典典题导入2—i.（2012•山西四校联考）已知复数z的实部为一1,虚部为2,则丁（i为虚部单位）在复z平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限因此该复数在复2一i2一i二一I.一1一.।一4一因此该复数在复选C依题思得丁=-1+2i=-1+--一1一1 二一5平面内对应的点的坐标是（一4，一3）位于第三象限.由由题悟法复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.3以题试法（1）在复平面内，复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.4+8i B.8+2iC.2+4i D.4+i(2)(2012•连云港模拟)已知复数Z]=-1+2i,z2=1-i,z3=3—4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若OC=AOA+fjOB,(A,〃£R),则A+〃的值是.解析：（1）复数6+5i对应的点为A（6,5）,复数一2+3i对应的点为B（-2,3）.利用中点坐标公式得线段AB的中点近4）,故点C对应的复数为2+4i.⑵由条件得OC=(3,-4),OA=(-1,2),OB=(1,-1),根据OC=AOA+jOB得(3,—4)=A(—1,2)+j(1,—1)=(—A+j,—A—A+j=3,2A—j=-4,=—1,=2./.A+j=1.答案：(1)C(2)1

复数的代数运算典典题导入（1）（2012•山东高考）若复数z满足z（2—i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）B.3-5iA.3+5iB.3-5iC.-3+5iD.-3—5iC.-3+5i一、,一，，i2+i3+i4⑵（2011•重庆高考）复数:丁=（）1—i11.A，-2-2- 1+ 2 22i- 1+ 2 22i（1）A（2）C由题悟法1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幕写成最简形式.2.记住以下结论，可提高运算速度：1I* 1 • I•①(1土i)2=±2i；②;工=1；③1।：--i；④&.『b-ai；⑤i4n=1, i4n+1= i,i4n+21—i 1+i i=一1,i4n+3=-i(nGN).3以题试法— z3.（1）（2012•山西四校联考）设复数z的共轭复数为z，若z=1-i（i为虚数单位），则下z+z2的值为（）A.-3i B.-2iC.i D.-i（2）i为虚数单位，（if^4=.,，一，、，、 ,z1+i, 、 -i2+i解析：(1)依题意得—+z2=^:+(1-i)2=----2i=i-2i=-i.

z1—i 1—i教学复数的知识比较简单，也是高考必考内容，但概念较多。对概念应要求学生准确掌握概念的含义，避反免因此丢分。复数的乘除运算是高考出现频率最高的题型，特别是除法运算。需进行适当练习，避免错误。思11C.---i乙乙11+7i+「 + 15+25iz= = = 2-i:一,+ 5/、i2+i3+i4⑵-■ + 1-i11.

1+i)「I+i2工H―2—J4=i4=1-答案：(1)D(2)1数系的扩充与复数的引入.形如a+bi(a,buR)的数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。z=a+bi是实数Ob=0(a,b£R)；z=a+bi是虚数ObW0(a,b£R)；z=a+bi是纯虚数°a=0且bW0(a,b£R)；板书设计a+bi=c+di0a=c且c=d(a,b,c,d£R)；板书设计.若z=a+bi,则其共轭复数z=a-bi；.若z=a+bi,则|z|=W2+b2；.复数的运算：复数的加法法则：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；复数的加法法则：(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(b—d)i；复数的乘法法则：(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+法d+bc)i；T