2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第八章立体几何第三节空间直线、平面的平行

第三节空间直线、平面的平行

【考试要求】

1.会利用直线、平面平行的判定与性质定理解决问题.

2.会利用面面平行的判定与性质定理解决问题.

【高考考情】

考点考法：高考命题经常是以简单几何体作为载体，以解答题形式呈现是主要命题方式，通

过对图形或几何体的认识，考查线面平行、面面平行的判定与性质.考查转化思想、空间想

象能力、逻辑思维能力及运算能力.

核心素养：直观想象、逻辑推理、数学抽象

Q、知福机理•―一―话,__o

归纳•知识必备

1.直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

a----------b---------a-----------pa

图形///7//

/____/uL._____/LLJ

a〃a,au£,aC£

条件aGa=0aua，Z4a,且a〃6a〃a

=b

结论a//ab//aaPlq=0-〃b

2.平面与平面平行的判定与性质n

判定

性质

定义定理

口4

图形

4//7£//口

au£,buB,aCb=P,aa〃6，aCly=a,

条件aC£=。a〃£,au8

〃a,b"a6Cly=b

结论a〃£a〃£a//ba//a

注解1如果两个面平行，那么分别在两个平面内的直线平行或异面.

智学•变式探源

1.必修二P142练习T12.必修二P141例5

1.（改变题型）下列命题中正确的是（）

A.若a,8是两条直线，且a〃儿那么a平行于经过8的任何平面

B.若直线a和平面。满足a〃a,那么a与a内的任何直线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行

D.若直线a,8和平面a满足a〃6,a//a,Ma,则6〃a

【解析】选D.A中，a可以在过6的平面内，错误；B中，a与a内的直线可能异面，错误；

C中，两平面可能相交，错误；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b//o,正确.

2.（改变图形）如图，平面。〃平面£,A,。是。内不同的两点，B,〃是£内不同的两点，E,

少分别是线段48,⑦的中点，则下列所有判断正确的编号是（）

①当/反功共面时，直线47〃班；

②当|力。=2\CD\时，E,b两点不可能重合；

③当切是异面直线时，直线）一定与。平行；

@AC,8。一定平行.

4

A.①③B.②④

C.①②D.③④

【解析】选A,对于①，当AB,切共面时，则平面/故CA平面a=4&平面/施CA平面?

=BD,因为平面a〃平面£,所以力勿劭，所以①正确；

对于②，如图，当四=2"时，=2|㈤成立，而此时£,厂两点重合，所以②错误;

%D

对于③，如图，连接/〃，取49的中点四连接用"，EM,FM,因为反尸分别是线段46,CD

的中点，所以EM//BD,FM//AC,因为£施£,£施a,ACaa,皮七£,所以EM//P,FM//

a,因为平面a〃平面£,所以FM//£,因为EM^FM=M,所以平面EFM//£,平面EFM//a,

因为砒：平面度％所以直线跖一定与。平行，所以③正确；

对于④，当AB,缪是异面直线时，AC,初一定异面，所以④错误.

慧考•四基自测

3.基础知识4.基本方法5.基本应用6.基本能力

3.（线面平行判定）如图所示，已知正方体/故"归G〃中，E,尸分别是它们所在线段的中点,

则满足4%平面初"的图形为（）

A.①B.①②C.②D.①②③

【解析】选C.①中，平移4尸至。尸知〃U与平面初后只有一个交点〃，则/夕与平面

做后不平行;

②中，在正方体力比9484〃中，E,b分别是它们所在线段的中点，则易知4尸〃〃£,而46

。平面BD、E,D、Eu平面BD、E,故4p〃平面BD、E；

③中，同①平移至DF,知D、F'与平面初夕只有一个交点〃，则4少与平面BD、E不平■

行；

4.（面面平行判定定理）如图，在棱长为1的正方体46微4AG〃中，M,N分别是4几46

的中点，过直线劭的平面。〃平面4妮则平面a截该正方体所得截面的面积为（）

Pi

M

HJV

A./B.IC.mD.迺

oN

【解析】选B.如图1,取5G的中点£,G〃的中点凡连接跖，BE,DF,BQ,则跖〃3〃，

B.DJ/BD,所以EF〃BD,故必，劭在同一平面内，连接照,因为肌£分别为4〃，5G的中

点，所以ME〃AB,且ME=AB,

所以四边形力废物是平行四边形，所以AM//BE,

又因为庞仁平面质及A处平面BDFE,

所以4/〃平面能阳同理4V〃平面值阳因为4J/C434所以平面用邠〃平面应闽

L1、历、后

BD=y[2,EF=-5〃=+，DF=BE=，,等腰梯形而硬如图2,

£>!

M/Z

Y//DV

此、、、［

ABDGHB

图1图2

过£,尸作物的垂线，垂足分别为〃，G,

则四边形夕郎为矩形,

5_13/

所以FG=7D^—D(?=4-8=4

故所得截面的面积为:X俘+啦］义半.

5.（面面平行的性质定理）如图所示，P是三角形力比'所在平面外一点，平面。〃平面力比；

a分别交线段为，外,加于4‘8'"'，若用'：AA'=2：3,则五』”「：丛.等于（）

A.2：25B.4：25

C.2：5D.4：5

【解析】选B.平面。〃平面4闱平面为8与它们的交线分别为49，46,所以48〃/B',

B'\（PA'\4

同理B'C'//BC,易得△/B'C',S^'〃c-S△械.=（而~j~=［丁J~~~25'

6.（探究平行关系）如图，直三棱柱/跖/'B'C中，为边长为2的等边三角形，AA'

=4,点、E,F,G,"分别是边44',AB,BB',A'B',回的中点，动点尸在四边形如掰

内部运动，并且始终有［彼〃平面/+'A',则动点P的轨迹长度为（）

A.4B.2^/3C.2nD.2

【解析】选A.因为版〃/C,所以的〃平面4CTA'；取。'B'中点A；因为MN〃CC',所

以网，〃平面业K'A',从而平面助物V〃平面/S'A',即动点尸的轨迹为线段小；因此长

度为4.

。、才点棵度•悟法培优,。

7考点一平行关系命题真假判断I自主练透

1.在空间中，a,b,c是三条不同的直线，。，£是两个不同的平面，则下列命题中的真命

题是（）

A.若a//c,c//a,则a//a

B.若aua,忆8,a〃£,则a//b

，.箱alla、bHB、a〃£,则a〃8

D.若。〃£,aua,则a〃£

【解析】选D.本题中的线面可以放在正方体中判断.

对于A,a可能在平面。内，故A是假命题；

对于B,a,6可以平行或异面，故B是假命题；

对于C,a,8可能平行、异面,、相交，故C是假命题；

对于D,若。〃£,aua,则。与£没有公共点，则a〃£,故D是真命题.

2.下列命题正确的是（）

A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行

B.若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行

C.若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行

D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行

【解析】选C.在A选项中，两条直线可能平行也可能异面或相交；

对于B选项，如图，在正方体ABC）A、BC以中,平面力曲M和平面8sA与8山所成的角相等,

但这两个平面垂直；

对选项C,如图,

设aCB=m,1//a,/〃£,过/作两个平面分别与。和尸交于直线a,b,则有1//a,1

//b,则a〃6,尽而得a〃£,a//m,所以/〃加.

D选项中两平面也可能相交.

3.在正方体/比D48G〃中，〃，/V,0分别是棱〃C，加的中点，点尸在劭上且8尸

2

=可劭，则下面说法正确的是（填序号）.

O

①版V〃平面43G②G0〃平面43G③4R〃三点共线；④平面初即〃平面"t：

【解析】如图，对于①，连接物V,AC,则,连接4队CN,

易得4W,CV交于点尸，即网匕平面加C所以肱¥〃平面4%是错误的.对于②，由①知必

“在平面"C内，由题易知AN//G0,且4比平面APC,GW平面APC.所以60〃平面APC是

正确的.对于③，由①知，A,尸，"三点共线正确.对于④，由①知初上平面4T,又眩上

平面网Q所以平面MNQ//平面4r是错误的.

答案：②③

，规律方法

1.结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.

2.通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.

7考点二直线与平面平行|讲练互动

[典例1](1)一棱长为4的正四面体木块如图所示，P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使

截面PFED平行于棱VB和AC,则截面PFED的面积为()

A.2B.2mC.2^3D.4

【解析】选〃，P是棱VA的中点，过点P将木块锯开,使截面PFED平行于棱VB和AC,VB〃

平面PFED,VBu平面VBA,平面VBAA平面PFED=PF,所以VB〃PF,同理可得：VB〃DE,AC

〃EF,AC〃PD,所以EF〃PD,PF〃DE,所以四边形PFED是平行四边形，且P,F,E,D均是

中点,

又因为正四面体对棱互相垂直，所以VBLAC,所以PF_LEF,所以四边形PFED是边长为2的

正方形,

所以该四边形面积为4.

(2)(2021•深圳模拟)在四棱锥P-ABCD中，PA,平面ABCD,AABC是正三角形，AC与BD的

交点为M,又PA=AB=4,AD=CD,点N是CD中点.

①求证：MN〃平面PAD；

②求三棱锥M-PBC的体积.

c

【解析】①因为AABC是正三角形,

所以BA=BC,又因为AD=CD,

所以BD所在直线为线段AC的垂直平分线，所以M为AC的中点，又点N是CD中点,

所以MN/7AD,又ADc平面PAD,MN4平面PAD,所以MN〃平面PAD.

②AABC是边长为4的等边三角形，且M是AC的中点，所以S△幽=；X4x1X4s力?60°=

2^3，

PA,平面ABCD,PA=AB=4,

所以VM-PBC=VP.MBC=WXSAHBCXPAX2"\^3X4=

ooo

，规律方法

1.判断或证明线面平行的常用方法.

(1)利用线面平行的定义(无公共点).

⑵利用线面平行的判定定理(aQa,bea,a〃b=a〃a).

(3)利用面面平行的性质(a〃B,aua=>a//B；a〃B,auB=a〃a).

2.用判定定理证明线面平行的步骤|自主完善，老师指导

(1)作辅助直线.将直尺放在所证直线上，往所证平面内整动，同时观察与平面内哪条直线壬

红(一般是三角形的三边或中线)，最后根据需要取点连线.

(2)证线线平行.

(3)证线面平行.注意不要忽略所证直线不在所证生面内.

，对点训练

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB〃CD,NBAD=60°,AB=2,CD=4,E

为PC的中点.

求证：BE〃平面PAD.

p

E

【证明】设F为PD的中点，连接EF,FA.

因为EF为APDC的中位线，所以EF〃CD,且EF=）CD=2.又AB〃CD,AB=2,所以AB』EF,

乙

故四边形ABEF为平行四边形，所以BE〃AF.

又AFc平面PAD,BEQ平面PAD,

所以BE〃平面PAD.

2.（2021・临汾模拟）如图，在四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形，0”

E分别为BD,A3的中点,AB_LBD,AA,=4,ZA,AB=60°.

⑴证明：0正〃平面BJBCC；

（2）求四棱柱ABCD-ABCD的体积.

【解析】（1）连接AC，BG,

因为。为BD的中点，所以。为AC的中点，

又E为AB的中点，所以在△ABC中，0E〃BC“

而BGu平面BiBCC”0网平面BBCC”

所以0出〃平面B.BCC,；

⑵连接BD,则四边形BBRD为平行四边形，

则BD〃BD，又AB_LBD，所以AB_LBD,

在Z^AiAB中,AA,=4,ZA,AB=60°,AB=2,

由余弦定理可得AB=、/16+4—2X4X2X,=2*,

所以AB2+AE=A6,即A,B±AB,

而ABCBD=B,所以AiB_L平面ABCD,

则四棱柱ABCD-ABCD的体积为V=2X2X2，§=8m.

/考点三平面与平面平行讲练互动

[典例2](金榜原创•易错对对碰)

(I)如图所示，平面a〃平面B,点AWa,点CWa,点BWB,点DdB,点E,F分别在

线段AB,CD上，且AE：EB=CF：FD.

(1)求证：EF〃平面B；

(2)若E,F分别是AB,CD的中点，AC=4,BD=6,且异面直线AC,BD所成的角为60°,求

EF的长.

(II)如图所示，平面a〃平面B,点Ada,点Cea,点BeB,点DdB,直线AC,BD异

面，点E,F分别在线段AB,CD上，且AE：EB=CF：FD.

(1)求证:EF〃平面B；

(2)若E,F分别是AB,CD的中点，AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60°,求EF的长.

【解析】(1)(1)①当AB,CD在同一平面内时，

由平面a〃平面B，平面aA平面ABDC=AC,平面Bfl平面ABDC=BD知，AC/7BD.

因为AE：EB=CF：FD,所以EF〃BD.

又EFQB,BDuB,所以EF〃平面B.

②当AB与CD异面时，如图所示，

设平面ACDHA平面B=DH,且DH=AC,

因为平面a〃平面8,平面aC平面ACDH=AC,

所以AC〃DH,

所以四边形ACDH是平行四边形，

在AH上取一点G,使AG：GH=CF：FD,

连接EG,FG,BH.

又因为AE：EB=CF：FD=AG：GH,

所以GF〃HD,EG〃BH.

又EGAGF=G,BHAHD=H.

所以平面EFG〃平面B.

又EFu平面EFG,所以EF〃平面B.

综合①②可知，EF〃平面B.

(2)如图所示，连接AD,取AD的中点M,连接ME,MF.

因为E,F分别为AB,CD的中点,

所以ME〃BD,MF7/AC,

口11

且ME=]BD=3,MF=-AC=2.

所以NEMF为AC与BD所成的角或其补角,

所以NEMF=60°或120°.

所以在△EFM中，由余弦定理得EF=

NME'+MF?—2ME•MF•cosNEMF

=^/32+22±2X3X2X1=V13±6，

即EF=V7或EF=V19.

(H)⑴参见(I)⑴②；⑵参见(I)(2).

【点拨】问题(I)与(H)的区别在于直线AC,BD是否共面.

［典例3］如图所示,在三棱柱ABC-ABG中，E,F,G,H分别是AB,AC,AB,AC的中点,

求证：

(1)B,C,H,G四点共面.

(2)平面EFAi〃平面BCHG.

【证明】(1)因为G,H分别是AB,AC的中点,

所以GH是△ABC的中位线，

所以GH〃BC.

又因为BC〃BC,

所以GH〃BC,所以B,C,H,G四点共面.

(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,

所以EF〃BC.

因为EFQ平面BCHG,BCu平面BCHG,

所以EF〃平面BCHG.

因为AG〃EB,且AG=EB,

所以四边形A.EBG是平行四边形，

所以A茁〃GB.

因为AiE。平面BCHG,GBc平面BCHG,

所以AiE〃平面BCHG.

因为AiEAEF=E,

所以平面EFAi〃平面BCHG.

【一题多变】

在本例条件下，若D为BG的中点，求证：HD〃平面&ABB”