高中数学第九章第15课时三垂线定理练习课一教师专用教案新人教A版

三垂线定理练习课一教课目的1．进一步理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理；2．理解公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的证明及其初步应用；（课本第122页第3题）3．理解正方体的体对角线与其异面的面对角线相互垂直及其应用；4．认识课本第33页第11题．教课要点和难点教课的要点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题．教课的难点是在讲公式cosθ1·cosθ2＝cosθ应用时比较θ2与θ的大小．教课方案过程师：上一节课我们讲了三垂线定理及其逆定理的证明并初步应用了这两个定理来解一些有关的题．今日我们要进一步应用这两个定理来解一些有关的题，先看例1．例1如图1，AB和平面α所成的角是θ1；AC在平面α内，BB′⊥平面α于B′，AC和AB的射影AB′成角θ2，设∠BAC＝θ．求证：cosθ1·cosθ2＝cosθ．师：这是要证明三个角θ1，θ2和θ的余弦的关系，θ1已经在直角△ABB′中，我们能否先作出两个直角三角形分别使θ2和θ是这两个直角三角形中的锐角．生：作B′D⊥AC于D，连BD，则BD⊥AC于D．这时θ2是直角△B′DA中的一个锐角，θ是直角△ABD中的一个锐角．师：方才的表述是应用三垂线定理及其逆定理时常常使用的“套话”，我们必定要很好理解并能娴熟地应用．此刻已经知道θ1、θ2和θ分别在三个直角三角形中，依据三角函数中的余弦的定义分别写出这三个角的余弦，再来证明这公式．师：这个公式的证明是利用余弦的定义把它们转变成邻边与斜边的比，为此要先作出直角三角形，为了作出直角三角形我们应用了三垂线定理．自然也可用它的逆定理．这个公式是在课本第121页总复习参照题中的第3题．我们为何要提早讲这个公式呢？讲这个公式的目的是为了用这个公式，由于在解很多有关题时都要用到这公式．那我们要问在什么条件下可用这个公式？生：由于θ1是斜线AB与平面α所成的角，所以只有当图形中出现斜线与平面所成的角时，才有可能考虑用这公式．师：为了在使用这个公式时方便、易记，我们规定θ1表示斜线与平面所成的角，θ2是平面内过斜足的一条射线与斜线射影所成的角，θ是这条射线与斜线所成的角．下边我们来研究一下这个公式的应用．应用这个公式可解决两类问题．第一是求值．即已知这公式中的两个角，即可求出第三个角或其他弦值．比如：θ＝260°，这时θ＜θ；当θ1＝45°，θ2＝135°时，cosθ＝cos45°·cos135°＝第二是比较θ2与θ的大小．由于我们已经规定θ1是斜线与平面所成的角，必定有0°＜θ1＜90°，它的大小不变，为了比较θ2与θ的大小，下边分三种状况进行议论．1）θ2＝90°，由于θ2＝90°，所以cosθ2＝0，所以cosθ＝cosθ1·cosθ2＝0，故θ＝90°．当θ＝90°时，我们也能够证明θ2＝90°．一条直线假如和斜线的射影垂直，那么它就和斜线垂直．这就是三垂线定理．一条直线假如和斜线垂直，那么它就和斜线的射影垂直．这就是三垂线定理的逆定理．所以，我们能够这样说，这个公式是三垂线定理及其逆定理的一般状况，而三垂线定理及其逆定理是这公式的特别状况．此刻我们来研究在θ2是锐角时，θ2与θ的大小．2）0°＜θ2＜90°．师：在这个条件下，我们如何来比较θ2与θ的大小？生：由于0°＜θ1＜90°，所以0＜cosθ1＜1，又由于0°＜θ2＜90°，所以0＜cosθ2＜1．又由于cosθ＝cosθ1·cosθ2，所以0＜cosθ1＜1，并且cosθ＝cosθ1·cosθ2＜cosθ2，在锐角条件下，余弦函数值大的它所对应的角小．所以θ2＜θ．师：此刻我们来议论当θ2是钝角时，θ2与θ的大小．（3）90°＜θ2＜180°．在这个条件下，我们不再用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ做理论上的证明来比较θ2与θ的大小，而是一同来看模型（或图形）．我们假定θ2的邻补角为θ′2，θ的邻补角为θ′，即θ2＋θ′2＝180°，θ＋θ′＝180°．在模型（或图形）中我们能够看出当θ2是钝角时，θ也是钝角，所以它们的两个邻补角θ′2和θ′都是锐角，由对第二种状况的议论我们知道θ′2＜θ′．由等量减不等量减去小的大于减去大的，所以由θ＝180°－θ′，θ＝180°－θ′，可得θ2＞θ．22依据以上议论此刻小结以下：当θ2＝90°时，θ＝θ2＝90°，它们都是直角．当0°＜θ2＜90°时，θ2＜θ，它们都是锐角；当90°＜θ2＜180°时，θ2＞θ，它们都是钝角．对于公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的应用，此后还要跟着课程的进展而频频提到．此刻我们来看例2．例2如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：（1）A1C⊥平面C1DB于G；（2）垂足G为正△C1DB的中心；3）A1G＝2GC．师：我们先来证明第（1）问．要证直线与平面垂直即要证什么？生：要证A1C与平面C1DB内两条订交的直线垂直．师：我们先证A1C为何与DB垂直？生：连AC，对平面ABCD来说，A1A是垂线，A1C是斜线，AC是A1C在平面ABCD上的射影，由于AC⊥DB（正方形的性质），所以A1C⊥DB．（三垂线定理）同理可证A1C⊥BC1．由于A1C⊥平面C1DB（直线与平面垂直的判断理）（在证A1C⊥BC1时，依据状况可详、可略，假如学生对应用三垂线定理还不太熟习，则可让学生把这证明过程再表达一遍，由于这时是对平面B1BCC1来说，A1B1是垂线，A1C是斜线，B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影，由B1C⊥BC1，得A1C⊥BC1）师：此刻来证第（2）问，垂足G为何是正△C1DB的中心？生：由于A1B＝A1C1＝A1D，所以BG＝GC1＝DG，故G是正△C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正△C1DB的中心．师：此刻来证第（

3）问，我们注意看正方体的对角面

A1ACC1，在这对角面内有没有相似三角形？生：在正方体的对角面A1ACC1内，由平面几何可知△

A1GC1∽△OGC，且

A1C1∶OC＝A1G∶GC，所以A1G∶GC＝2∶1，所以A1G＝2GC．师：例2是在正方体的体对角线与其异面的面对角线相互垂直引申而来，而例2也是一个基本的题型，对于此后证有关综合题型时很实用．所以对例2的证明思路和有关结论，尽可能的理解、记着．此刻我们来看例3．例3如图3，已知：Rt△ABC在平面α内，PC⊥平面α于C，D为斜边AB的中点，CA6，CB＝8，PC＝12．求：1）P，D两点间的距离；2）P点到斜边AB的距离．师：此刻先来解第（1）问，求P，D两点间的距离．师：此刻我们来解第（2）问，求P点到AB边的距离．生：作PE⊥AB于E，连CE则CE⊥AB．（三垂线定理的逆定理）PE就是P点到AB边的距离．师：要求PE就要先求CE，CE是直角三角形ABC斜边上的高，已知直角三角形的三边如何求它斜边上的高呢？生：可用等积式CE·AB＝AC·CB，即斜边上的高与斜边的乘积等于两直角边的乘积．师：这个等积式是如何证明的？生：有两种证法．因CE·AB是Rt△ABC面积的二倍，而AC·CB也是Rt△ABC面积的二倍，所以它们相等；也可用△BCE∽△ABC，对应边成比率推出这个等积式．师：这个等积式很实用，依据这个等积式，我们能够由直角三角形的三边求出斜边上的高，这个等积式此后在求有关距离问题时会常常用到，所以要理解、记着、会用．此刻就利用这等积式先求CE，再求PE．师：经过这一题我们要划分两种不一样的距离观点及求法；在求点到直线距离时，常常要用到三垂线定理或其道定理；在求直角三角形斜边上的高时会利用上述的等积式来求斜边上的高．此刻我们来看例4．例4如图4，已知：∠BAC在平面α内，POα，PO⊥平面α于O．假如∠PAB＝∠PAC．求证：∠BAO＝∠CAO．（这个例题就是课本第32页习题四中的第11题．这个题也能够放在讲完课本第30页例1此后讲．无论在授课本第30页例1，仍是在讲这个例时，都应先用模型作演示，使学生在察看模型后，得出有关的结论，而后再进行理论上的证明，这样使学生对问题理解得详细、实在，因此成效也较好）师：当我们察看了模型后，很简单就猜想到了却论．即斜线PA在平面α上的射线是∠BAC的角均分线所在的直线，此刻想想能够有几种证法？生：作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，连PD，PE，则PD⊥AB，PE⊥AC．所以Rt△PAD≌Rt△PAE，所以PD＝PE，故OD＝OE，所以∠BAO＝∠CAO．师：今日我们讲了公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．可否用这公式来证明这题．（利用这公式来证明这个题，完整部是由学生想到的，自然假如有的班学生成绩较差，思路不活，也可做些必需的提示）生：由于∠PAO是斜线与平面α所成的角，所以能够考虑用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．∠PAO相当于θ1；∠PAB＝∠PAC它们都相当于θ，由公式可得θ2＝θ′2，即∠BAO＝∠CAO．师：今日我们是应用三垂线定理及其逆定理来解这四个例题．例1、例2、例4是三个基此题．对这三个题必定要会证、记着、会用．对于这三个题的应用，此后还会在授课过程中频频出现．在高考题中也曾用到．作业课本第33页第13题．增补题1．已知：∠BSC＝90°，直线SA∩平面BSC＝S．∠ASB＝∠ASC＝60°，求：SA和平面BSC所成角的大小．［45°］2．已知：AB是平面α的