河南省许汝平九校联盟2022年高三第二次联考数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数/0)=依+,在(2,+8)上单调递增，则实数。的取值范围是()

X

1>“、(r

A.B.7,+00C.[1,4-00)D.-00,-

4)I4」

2.若集合A={x|国<2,:eR},B={y|^=-x2,xe/?},则AcB=()

A.Ul0<x<21B.x|x<2}C.{x|-2<x<0}D.0

3.若各项均为正数的等比数列{4}满足q=3q+24,则公比4=()

A.1B.2C.3D.4

4.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3,则可输入的实数x值的个数为()

|ff

/小/

7^7

A.1B.2C.3D.4

22

5.已知双曲线C:5-A=l(a>0力>0)的右焦点为尸，若双曲线。的一条渐近线的倾斜角为g,且点尸到该渐近线

a~b~3

的距离为百，则双曲线C的实轴的长为

A.1B.2

C.4D.-

5

x+y<10

6.设实数x、y满足约束条件x-y<2,贝!|2=2工+3丁的最小值为（

x>4

A.2B.24C.16D.14

设数列{%}（〃eN*）的各项均为正数,loa1loa

7.前〃项和为,g2,,+t=+g2n»且%=4,则Se=()

128B.65C.64D.63

8.根据最小二乘法由一组样本点（七,y,）（其中i=l,2,L,300）,求得的回归方程是»=6,则下列说法正确的

是（）

A.至少有一个样本点落在回归直线亍=Bx+2上

B.若所有样本点都在回归直线9=^+4上，则变量同的相关系数为1

C.对所有的解释变量芭（Z=1,2,L,300）,加,.+&的值一定与、有误差

D.若回归直线），=%+6的斜率B>0,则变量x与y正相关

9.已知复数z满足汰=2+。则z的共辗复数是（）

A.-1-2/B.-1+2/C.l-2iD.1+2Z

10.已知四棱锥S-A5CD的底面为矩形，£4_L底面A3CD,点E在线段8C上，以AO为直径的圆过点七.若

SA=GAB=3,则ASE。的面积的最小值为（）

97

A.9B.7C.一D.-

22

x3|展开式中，1项的系数为（）

11.二项式

x

945189212835

A.B.--------C.------D.-------

16-32648

12.已知函数/（x）=x—［x］,其中［x］表示不超过x的最大正整数，则下列结论正确的是（）

/（X）的值域是［0』B.“X）是奇函数

C.“力是周期函数D./（X）是增函数

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/（x）=ln（l-x）+，4+3》-弓的定义域是一,（写成区间的形式）

14.已知变量与,&e（0,〃2）（zn>0）,且不<》2，若玉*<々,"恒成立，则机的最大值.

15.已知a,bwR,复数z=a—i且二一=1+从・(i为虚数单位)，则必=，曰=

1+z

16.己知双曲线。：二-二=-13〉0力>0)的左、右焦点分别为耳，工，直线/是双曲线C过第一、三象限的渐近

ab

(y

线，记直线/的倾斜角为直线l':y=tan5-x,F2M11',垂足为M，若M在双曲线C上，则双曲线C的离

心率为_______

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数f(x)=x|x+a|,aeR.

(1)若/。)+/(-1)>1，求。的取值范围；

3口

(2)若“<0,对,不等式/(x)4y+^+，+|■恒成立，求”的取值范围.

7T

18.(12分)已知函数/(xQsinCs+o)(。>(),|。|<,)满足下列3个条件中的2个条件：

①函数/*)的周期为乃；

②x=J是函数/0)的对称轴；

6

③/旧=0且在区间停上单调.

(I)请指出这二个条件，并求出函数/(X)的解析式；

(D)若xe0,y,求函数f(x)的值域.

19.(12分)如图，在正四棱柱ABCD-A4GA中，45=1,朋=3,过顶点A,G的平面与棱分

别交于M,N两点(不在棱的端点处).

(1)求证：四边形AMGN是平行四边形;

(2)求证：AM与AN不垂直；

(3)若平面AMGN与棱BC所在直线交于点尸，当四边形AMQN为菱形时，求尸。长.

20.(12分)设函数/(x)=e*+2ox-e,g(x)=-lnx+ox+a.

(1)求函数的极值；

(2)对任意都有/(x)之g(x),求实数a的取值范围.

21.(12分)某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利50元，

未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开

学季进了16。盒该产品，以x(单位：盒，ioowxw2oo)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元)表示这

个开学季内经销该产品的利润.

(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量X的平均数和众数；

(2)将y表示为X的函数；

(3)以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于4800元的概率.

22.(10分)已知函数/(x)=2Gsinxcosx-2cos2%+1.

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

(2)在A4BC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若满足/(B)=2,a=S,c=5,求cosA.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

对。分类讨论，当函数f(x)在(0,+8)单调递减，当。>0,根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可

求解.

【详解】

当时，函数/(x)=or+—在(2,+8)上单调递减，

x

1(1>

所以。〉0,/XX)=奴+—的递增区间是",+8，

x\y/ay

所以22击，即

故选:B.

【点睛】

本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.

2.C

【解析】

试题分析：化简集合〃=[—Z2Le=(YO,0L二403=[-20]

故选C.

考点：集合的运算.

3.C

【解析】

由正项等比数列满足的=34+24，即q/=3q+24q,又。尸0,即2q—3=0,运算即可得解.

【详解】

解：因为q=34+2%,所以％/=34+2qq,又。尸0,所以「一2q—3=0,

又q>0,解得夕=3.

故选：C.

【点睛】

本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.

4.C

【解析】

试题分析：根据题意，当x<2时，令V-1=3,得x=±2；当x>2时，令log2》=3,得

x=9,故输入的实数x值的个数为1.

考点：程序框图.

5.B

【解析】

hb7tL

双曲线C的渐近线方程为y=±±x,由题可知一=tan—=6.

aa3

\^c\

设点厂(c,0),则点尸到直线y=的距离为=G，解得c=2,

7(N/3)2+(-D2

所以02="+斤="+3/=4/=4,解得“=1,所以双曲线C的实轴的长为2。=2,故选B.

6.D

【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.

【详解】

x+y410

做出满足，的可行域，如下图阴影部分,

x>4

根据图象，当目标函数z=2x+3y过点A时，取得最小值,

x—41X=4

由解得即44,2),

[x-y=2[y=2

所以z=2x+3y的最小值为14.

故选：D.

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.

7.D

【解析】

根据log2an+i=1+log2an,得到log2an+｛=log22an,即an+l=2an,由等比数列的定义知数列（«„｝是等比数列，然

后再利用前〃项和公式求S$.

【详解】

因为log2a“+1=1+隰风，

所以>og2«„+1=log22an，

所以a,+i=2a”,

所以数列｛q｝是等比数列，

又因为%=4,

a,41

所以％=r=7=1,

q4

故选：D

【点睛】

本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前"项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

8.D

【解析】

对每一个选项逐一分析判断得解.

【详解】

回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故A错误；

所有样本点都在回归直线夕=Ax+&上，则变量间的相关系数为±1,故B错误；

若所有的样本点都在回归直线$=%+&上，则以+4的值与y,相等，故C错误；

相关系数r与B符号相同，若回归直线P=九+&的斜率B>0,则厂〉0,样本点分布应从左到右是上升的，则变量x

与y正相关，故D正确.

故选D.

【点睛】

本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

9.D

【解析】

两边同乘“，化简即可得出答案.

【详解】

i*z=2+i两边同乘-i得z=l-2i,共掘复数为1+26选D.

【点睛】

z=a+bi{a,beR)的共忱复数为^=a-bi

10.C

【解析】

根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到BE,EC之间的等量关系，再用BE,EC表示出❷SED

的面积，利用均值不等式即可容易求得.

【详解】

设=EC-y,则BC=A£)=x+y.

因为SA_L平面ABC。，£Du平面ABC。，所以S4LEZ).

又AELED,SAnAE^A,所以ED_L平面SAE,则E£)J_SE.

易知A£=Jf+3,ED=7/+3-

在RtAAED中，AE1+ED1AD1>

即工2+3+'2+3=0+,)2,化简得町=3.

在RtA5E£＞中，S£=Jf+12，ED=y]y2+3

'SEED245.

所以%E。='限+譬+

22\%

因为3炉+譬上2=36,

X

当且仅当％=逐，＞=半时等号成立，所以及SEDN；质不=g.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判

定和性质，属中档题.

11.D

【解析】

写出二项式的通项公式,再分析x的系数求解即可.

【详解】

二项式仁一，展开式的通项为"3&(―野=G(£j(-3)『,令7-2「=一1,得尸=4,故；项的系

数为C；(g「(—3)4=等.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的运算，属于基础题.

12.C

【解析】

根据卜］表示不超过'的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论.

【详解】

由［x］表示不超过X的最大正整数，其函数图象为

选项A,函数/(x)«O,l),故错误；

选项B,函数/(力为非奇非偶函数，故错误；

选项C,函数/(x)是以1为周期的周期函数，故正确；

选项D,函数“X)在区间•••[0,1),[1,2),[2,3)…上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.

故选：C

【点睛】

本题考查对题干卜]的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.[-1,1)

【解析】

[1-X>0[x<1r…、

要使函数/(X)有意义，需满足”.，八，即《<4,解得一1WX<1,故函数/(X)的定义域是[-1,1).

[4+3%-x>0[^-l<x<4

14.e

【解析】

Inx

在不等式两边同时取对数，然后构造函数/(X)=—,求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论.

x

【详解】

不等式两边同时取对数得In#2<in々％

即X2lnx\<x\lnx2,又冷马

Inx.Inx,

即一L<--成立，

设/(x)=,xG(0,m'),

x

/(Xi)<f(X2),则函数/(x)在(0,m)上为增函数，

Lx-lnx

函数的导数/、Q)x_1-Inx9

X2x2

由/(x)>0得1-/〃x>0得/"xVl,

得OVxVe,

即函数f(x)的最大增区间为(0,e),

则m的最大值为e

故答案为：e

【点睛】

本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键

15.ab=-6|z|=V10

【解析】

•.•复数z=a-z•且--=1+万

1+1

.a-i(n—z)(l—z)(iz—1)—(ti+l)z

=\+bi

1+Z22

2

a+1,

-------=h

2

a=3

：.ab=-6,忖=百+(-1)2二回

故答案为-6,回

16.V5-1

【解析】

,所以点M[ccos2£,ccos£sin£),因为tana=2,可得

由4/0g=5|。图=(:,则|OM|=CCOS]

a

c+ab\

sina=-,cos«=-,点Af坐标化简为—1,代入双曲线的方程求解.

【详解】

设NMO6=5,|0周=。,

bsinab.21

则niltana=—,即an-----=—,sin2a+cosa=l

acosaaf

&力加.ba

解得sina—,cosa—,

a

则|0M|=ccos—,

2aa.a

所以Mccos~—,ccos—sin—

代入双曲线的方程可得(c+?一一£=1,

4/4Z?2

所以c2+2ac-4a2=0

所以e?+2e-4=0

解得e=V5—1.

故答案为：A/5-I

【点睛】

本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，及三角恒等变换，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档

题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)，+°°^；(2)[—3,0).

【解析】

(D分类讨论a>\,即可得出结果；

(2)先由题意，将问题转化为+]3+y+]a)加“即可，再求出/(关)…，y+z3+y+羡〃的最小值，解

不等式即可得出结果.

【详解】

(1)由/(1)+/(-1)〉]得+

若。<一1,则一1一。+。一1>1,显然不成立;

若一1<〃<1,贝！J1+。+。一1>1,a>-9即，VQV1；

22

若。21,则1+。一。+1>1,即2>1,显然成立，

综上所述，a的取值范围是(g，+8)

(2)由题意知，要使得不等式恒成立，只需/(x)“3<(>+[+y+]).,

当xe(-oo,-a］时，/(x)=-x(x+a),所以/。),,心

3a3a

因为y+-+y+—>—

4.242

所以土4』一@,解得—3Wa«l,结合a<0,

442

所以。的取值范围是[—3,0).

【点睛】

本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式

的性质即可，属于常考题型.

18.(I)只有®®成立，/'(x)=sin(2x+5)；(H)g,l.

【解析】

(I)依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.

(H)OKxV々得到上W2x+乙4二，得到函数值域.

3666

【详解】

(I)由①可得，—=^-=><y=2；由②得：—+^=k7r+—^>(p=k7r+---,keZ；

co6226

,„7tco7ico~T、〃■万％27、2〃■八一-

由③得，----\-(p-mn=>(p~m7r---,mez,—>-----=—=-->——=>()<69<3；

442263co3

若①(D成立，则口=2,夕=看，/(x)=sin(2x+?)

若①③成立，则。=机2的=根)一匹，meZ,不合题意，

42

若②③成立，则)br+色一烈=加万一丝=啰=12(加一口一626,m,kwZ,

264

与③中的0＜。＜3矛盾，所以②③不成立，

所以只有①®成立，/00=42%+总.

TT7TTT、冗I

(H)由题意得，0KxK-n—＜2x+一＜二=一＜/(幻＜1,

36662

所以函数/(X)的值域为.

【点睛】

本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

19.(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)PC=2.

【解析】

(1)由平面与平面OCGA没有交点，可得AM与NG不相交，又AM与NC；共面，所以AM//NC一同

理可证AN//MG，得证；(2)由四边形4WCN是平行四边形，且|MN|H|ACJ,则AMC；N不可能是矩形，所以

AM与AN不垂直；(3)先证放AABMM放可得M为的中点，从而得出3是PC的中点，可得PC.

【详解】

(1)依题意A,M,G，N都在平面A£上，

因此40之平面A£,Nga平面AC-

又AM=平面ABB.A,,NJc平面DCC}D},

平面与平面OCG2平行，即两个平面没有交点，

则AM与NG不相交，又AM与NG共面，

所以AM//NG，同理可证AN//MG，

所以四边形AMGN是平行四边形；

(2)因为M,N两点不在棱的端点处，所以=

又四边形AMGN是平行四边形，|MN|H|AG|,

则AMGN不可能是矩形，所以AM与AN不垂直；

(3)如图，延长GM交的延长线于点P，

若四边形AMC|N为菱形，则AM=MG，易证放AABM=/?以。|用M，

所以BM=B1M,即M为BB1的中点，

因此6M=gCC,,且//CG,所以8M是APCC,的中位线，

则8是PC的中点，所以PC=2BC=2.

【点睛】

本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和线段长的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推

理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题.

20.(1)当时，/(x)无极值；当a<0时，/(x)极小值为一2a+2aln(-2a)-e；(2)[-e-l,+oo).

【解析】

(1)求导，对参数。进行分类讨论，即可容易求得函数的极值；

(2)构造函数〃(x)=/'(x)-g(x),两次求导，根据函数单调性，由恒成立问题求参数范围即可.

【详解】

(1)依题/'(x)=e*+2a,

当aNO时，f\x)>0,函数/(x)在R上单调递增，此时函数/(x)无极值；

当a<0时，令/'(x)=e*+2。>0,得x>ln(-2a),

令/'(x)=e'+2a<0,得x<In(-2a)

所以函数/(x)在(in(-2a),位)上单调递增，

在(e,ln(-2。))上单调递减.

此时函数/(x)有极小值，

且极小值为/(in=-2a+2aIn(-2a)-e.

综上：当“NO时，函数/(x)无极值；

当。<0时，函数“X)有极小值，

极小值为/(in(-2a))=-2a+2aIn(-2a)-e.

(2)f(x)-g(x)-er+ax+lnx-a-e(x>l)

易得〃⑴=0且=e"+，+a(xN1),

令f(x)=^(x)-ex+—+a(x>1)

因为e'Ne，0<-^<l,从而，(x)>0,

所以，f(x)在口,田)上单调递增.

又%(l)=a+e+l

若aN-e-l,则f(x)="(x)2(l)=Q+e+120

所以h(x)在［l,4w)上单调递增，从而/?(%)>/?(1)=0,

所以。之一e—1时满足题意.

若av-e-l,

所以=，(l)=Q+e+l<09，(-a)=C"+Q9

在/(X)中，令。=一；，由(1)的单调性可知，

/(x)=e*-x-e有最小值/(O)=l-e,从而e*Nx+1.

所以/'(-a)-e^a+a-—>-a+\+a-—=\-—>0

aaa

所以由零点存在性定理：

3x06(1,-a),使r(x0)=O且

〃(x)在(l,x0)上单调递减，在［/，欣)上单调递增.

所以当xe。,/)时，//(%)</?(!)=0.

故当a<—e—1,/(x)Ng(x)不成立.

综上所述：”的取值范围为［-6-1,+8）.

【点睛】

本题考查利用导数研究含参函数的极值，涉及由恒成立问题求参数范围的问题，属压轴题.

80%-4800(100<x<160)

21.(1)x=153»众数为150；(2)y=<；(3)0.90

8000(160<x<200)

【解析】

（1）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量K的众数和平均数；（2）由已知条

件推导出当100效k160时，y=50x-(160-x)230=80x-4800,当160<%，200时，y=160x50=8000,由此

能将y表示为X的函数；（3）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率.

【详解】

（1）由直方图可估计需求量x的众数为150