考点01实数与运算-备战2022年中考数学必考点与题型全归纳（全国通用）（原卷版）

考点01实数与运算

［命题趋势

实数与运算在历年中考中以考查基础为主，也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点，分值为

14~28分。预计2022年各地中考还将继续重视对正负数的意义、相反数、绝对值、倒数、数轴等实数的相

关概念及实数的分类的考查，也会对有理数的运算、科学记数法、数的开方、零次基、负整数指数暮、二

次根式及运算等进行考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握。

知识梳理

1.数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.

2.相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若人互为相反数，则。+/尸0.

3.倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若6互为倒数，则"=1.

4.绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|.

5.(1)按照定义分类

'正整数

整数,零

有理数负整数

实数［正分数,

分数［负分数.有限小数或无限循环小数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

(2)按照正负分类

正整数

正有理数＜

正实数正分数

正无理数

实数零

'负整数

负有理数＜

负实数负分数

负无理数

注意：0既不属于正数，也不属于负数.另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环“，归纳起来有四类:

（1）开方开不尽的数，如G，啦等；

（2）有特定意义的数，如圆周率兀，或化简后含有兀的数，如兀+2等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等;

（4）某些三角函数，如sin60。等.

6.科学记数法：科学记数法的表示形式为4X10"的形式，其中1W间＜10,〃为整数.当原数绝对值大于10

时，写成“X10"的形式-，其中号同＜10,〃等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成“X10-"

的形式，其中1W同＜10,〃等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.

7.近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪

一位，就说这个近似数精确到哪一位.

8.平方根：（1）算术平方根的概念：若/=〃（尤＞0）,则正数x叫做。的算术平方根.

（2）平方根的概念：若（=〃，则x叫做a的平方根.

（3）表示：。的平方根表示为土〃的算术平方根表示为

'只有非负数才有平方根,0的平方根和算术平方根都是0

（4）思义（&）2=0（420）；"7=回=＜a(a>0)

-a(a<0)

9.立方根：（1）定义：若炉=小则x叫做。的立方根.（2）表示：。的立方根表示为妫.（3）.

10.数的乘方：求〃个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫事.在a"中，a叫底数，〃叫指数.

11.实数的运算：

（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律、加法交换律、乘法交换律、

乘法结合律、乘法分配律.

（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.

12.指数，负整数指数累：存0,则d=1；若"0,“为正整数，则

13.数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中间值比

较法等等.

重点考向

考向1实数的有关概念

实数的有关概念一般以填空题、选择题的形式出现，熟练掌握实数的有关概念，如正负数的意义、相反数、

倒数、绝对值、算术平方根等是解决这类问题的关键.

典例引领

1.（2021•山东济宁市•中考真题）若盈余2万元记作+2万元，则-2万元表示（）

A.盈余2万元B.亏损2万元C.亏损-2万元D.不盈余也不亏损

2.（2021•湖北黄石市♦中考真题）-』的倒数是（）

2

A.-2B.—C.-----D.i一

222

3.（2021•江苏盐城市•中考真题）-2021的绝对值是（）

A.」一B.———C.-2021D.2021

20212021

4.（2021•湖南邵阳市•中考真题）16的算术平方根是.

变式拓展

1.（2021•内蒙古通辽市•中考真题）|-2|的倒数是（

2.（2021•湖南永州市•中考真题）-|-2021|的相反数为（）

3.（2020•湖北宜昌•中考真题）向指定方向变化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负数表示，“体

重减少1.5kg”换一种说法可以叙述为“体重增加kg

4.（2021•湖南中考真题）若实数”的立方等于27,则。=.

考向2实数的分类

实数的分类

正整数

整数零

有理数负整数

实数正分数〕

分数心有限小数或无限循环小数

负分数j

无理数无限不循环小数

负无理数

II,

典例引领

1.（2021•浙江金华市•中考真题）实数-工,

-52,—3中，为负整数的是（)

2

A.-----B.—\/5C.2D.-3

2

2.（2021•湖北中考真题）下列实数中是无理数的是（）

C.&D.1

A.3.14B.也

①-1是有理数；②史是分数；

3.（2021.湖北初三期中）有下列四个论断：③2.131131113…是无理数;

32

④兀是无理数，其中正确的是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

变式拓展

1.（2021•福建中考真题）写出一个无理数x•,使得1<X<4,则x可以是_____一（只要写出一个满足条

件的X即可）

2.（2021•广西来宾市•中考真题）下列各数是有理数的是（）

A.71B.近C.^3D.0

14

3.（2021•黑龙江大庆市•中考真题）在左，•三,-3,一这四个数中，整数是（)

27

°4

A.71B.—C.-3D.-

27

考向3无理数的估算

无理数的估算在近年的中考试卷中频频出现，无理数的估算既不是估计、也不是猜测，它是一种科学的计

算方法，往往通过逐步逼近的方法确定一个数的大小或范围.

典例引领

1.（2021•浙江中考真题）已知a功是两个连续整数，a<y/3-l<b^则a/分别是（）

A.-2,-1B.-1,0C.0,1D.1,2

2.（2021•北京中考真题）已知43?=1849,44?=1936,45?=2025,46?=2116.若〃为整数且

J2021<7?+1，则"的值为（）

A.43B.44C.45D.46

变式拓展

1.（2021•辽宁营口市•中考真题）估计后的值在（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

2.（2021•广东中考真题）设6-丽的整数部分为小数部分为6,则（2a+J15）人的值是（）

A.6B.2>/10C.12D.9回

考向4实数与数轴

1.数轴形象地反映了数与点之间的关系，数轴上的点与实数之间是一一对应的，任意一个实数都可以用数

轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.在中考中通常借助于数轴这--数与形的相互转

化的特点来呈现或解决数学问题；

2.利用数轴可以形象直观地理解相反数、绝对值的意义（代数意义、几何意义）.

典例引领

1.（2021•贵州中考真题）如图，已知数轴上A5两点表示的数分别是a1，则计算网-M正确的是（）

A01B

A.b-aB.a-bC.a+bD.—a—b

2.（2021•河北中考真题）如图，将数轴上-6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为％,

。3，。4，%，则下列正确的是（）

%%

—66

A.a3>0B.同=同

C.4+g+。3+%+。5=0D.4+。5<0

变式拓展

1.（2021•湖南邵阳市•中考真题）如图，若数轴上两点M，N所对应的实数分别为加，〃，则加+〃的值

可能是（）

.M...N..

----1—«---1------1------1----«-।----------1----->

-3-2-1012

A.2B.1C.-1D.-2

2.（2021•山东枣庄市•中考真题）如图，数轴上有三个点A、B、C,若点A、B表示的数互为相反数，则图

中点C对应的数是（）

-I--------1--------i-----------------1--------1--------1---------->

ACB

A.-2B.0C.1D.4

考向5实数的运算

实数的运算关键是依据正确运算顺序解答，另外还要熟记有关的运算性质，即：（1）。”=43工0）；

a1

（2）a°=l（a#0）；（3）一1的奇次累为一1，偶次嘉为1.

典例引领

1.（2021•江苏常州市•中考真题）计算："一（一1>一（万一1）°+2一1.

2.（2021•湖南永州市•中考真题）定义：若1O'=N，则x=logu）N,x称为以10为底的N的对数，简记

为lgN,其满足运算法则"gM+IgN=lg（M-N）（M>0,N>0）.例如：因为1（/=io（），所以2=IglOO,

亦即1g100=2；Ig4+lg3=lgl2.根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2-lg5+lg5的结果为（）

A.5B.2C.1D.0

变式拓展

1.（2021•四川达州市•中考真题）计算：—12+（7一2021）。+2$足60°-卜—百］.

2.（2021•四川宜宾市•中考真题）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类

似现在我们熟悉的“进位制如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列

的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）

A.27B.42C.55D.210

3.（2021•湖南常德市•中考真题）阅读理解：如果一个正整数，"能表示为两个正整数a,6的平方和，即

m=a2+b2,那么称加为广义勾股数.则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③

两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数.依次正确的是（）

A.②④B.①②④C.①②D.①④

考向6实数的大小比较

比较实数的大小时，选择正确的方法比较大小是解题的关键.常用的有:

（1）平方法：当”>0,/>>0时，a>b<^,4a>4b-

（2）移动因数法：利用a=J/（生0）,将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小.

（3）作差法：当“一6=0时，可知当〃一〃>0时，可知”〉〃；当〃一方<0时，可知

AAA

（4）作商法：若一=1,则A=B；若一>1,则A>3；若一VI,则AV3（A,5>0且3邦）.

BBB

（5）绝对值比较法：设4、b是两负实数，则时>网=。<8。

备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下“，再比较大小。

典例引领

1.（2021•山东泰安市•中考真题）下列各数：-4,一.28,0，卜4|,其中比一3小的数是（）

A.-4B.|-4|C.0D.-2.8

2.（2021•四川资阳市•中考真题）若〃=近，b=&，C=2,则dh,c的大小关系为（）

A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

变式拓展

1.（2021•内蒙古中考真题）下列运算结果中，绝对值最大的是（）

A.1+（T）B.（-1）4C.（-5）-1D.V?

Q1

2.（2021•湖南怀化市•中考真题）比较大小：—__________—（填写“〉”或“〈”或

22

考向7非负性的运用

直接利用绝对值及偶次乘方和算式平方根的非负数的性质分别得出字母的值，进而得出答案.

典例引领

1.（2021•广东中考真题）若卜一国+J9a2-12"+4/=0,则必=（）

A.石B.-C.473D.9

2

2.（2021•黑龙江大庆市•中考真题）下列说法正确的是（)

A.|x|<xB.若|x-l|+2取最小值，则X=O

C.若则|x|<|y|D.若|x+l区0,则x=-l

变式拓展

1.（2021•云南中考真题）已知m6都是实数，若JTR+S-2>=0则.

2.（2020•黑龙江大庆市•中考真题）若|x+2|+（y-3）2=0,则工一丁的值为（）

A.-5B.5C.1D.-1

考向8近似数和科学记数法

用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定。和〃的值.

（1）。值的确定：修同<10;（2）〃值的确定：①当原数大于或等于10时，〃等于原数的整数位数减1；②当原

数大于0且小于1时，〃是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数（含小数点前

的零）；③有计数（量）单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用科学记数法表示.常用的

计数单位有：1亿=1（）8,1万=］（）4,计量单位有：1加〃?=10-3"2,1等.

典例引领

1.（2021•辽宁中考真题）2021年党中央首次颁发“光荣在党50年”纪念章，约7100000名党员获此纪念章数

7100000用科学记数法表示为（）

A.71xl05B.7.1xl05C.7.1xl06D.0.71X107

2.（2021•绵阳市初三月考）2019-nCoV新型冠状病毒的直径约为0.00000012m,0.00000012这个数用科学

计数法表示为（）

A.1.2x10-6B.1.2x10-7C.1.2x10-8D.1.2xl0-9

3.（2021•湖北•中考模拟）下列说法中，正确的是（）

A.近似数3.76与3.760表示的意义一样B.近似数13.2亿精确到亿位

C.3.0x103精确到百位，有4个有效数字D.近似数30.000有5个有效数字

变式拓展

1.（2021•四川广元市•中考真题）中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于2021

年5月22日因病去世，享年91岁，袁隆平的去世是中国乃至全世界的重大损失.袁隆平一生致力于水稻

杂交技术研究，为提高我国水稻亩产量做出了巨大贡献.截至2012年，“种三产四”丰产工程项目累计示范

推广面积达2000多万亩，增产20多亿公斤.将20亿这个数据用科学记数法表示为.

2.（2021•江苏常州市•中考真题）近年来，5G在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应

用落地的一大推动者.截至2021年3月底，中国已建成约819000座5G基站，占全球70%以上.数据819000

用科学记数法表示为.

热点必刷

1.（2021•安徽中考真题）-9的绝对值是（）

D.-1

A.9B.-9C.-

99

2.（2021•内蒙古赤峰市•中考真题）-2021的相反数是（）

11

A.2021B.-2021C.-------D.

20212021

3.（2021•湖南常德市•中考真题）4的倒数是（）

1

A.-B.2C.1D.-4

4

4.（2021•湖南岳阳市•中考真题）在实数百，-1,0,2中，为负数的是（）

A.B.-1C.0D.2

5.（2021•新疆中考真题）下列实数是无理数的是（）

A.-2B.1C.V2D.2

6.（2020•四川攀枝花市•中考真题）下列说法中正确的是（).

A.0.09的平方根是0.3B.V16=±4C.0的立方根是0D.1的立方根是±1

7.（2021•四川南充市•中考真题）数轴上表示数加和加+2的点到原点的距离相等，则加为（）

A.-2B.2C.1D.-1

8.（2021•四川凉山彝族自治州•中考真题）下列数轴表示正确的是（）

9.（2021•四川乐山市・中考真题）如果规定收入为正,那么支出为负，收入2元记作+2,支出5元记作（）.

A.5元B.-57CC.-3元D.7元

10.（2021•北京中考真题）实数。功在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

-----U__a|_------------------b------------------►

-3-2-10------12------3

A.ci>—2B.同＞。C.a+b>0D.b-a<0

11.（2020•四川乐山市•中考真题）数轴上点A表示的数是-3,将点A在数轴上平移7个单位长度得到点

8.则点B表示的数是（）

A.4B.T或1()C.-10D.4或一10

12.（2021•天津中考真题）计算（—5）x3的结果等于（）

A.-2B.2D.15

13（2021•河北中考真题）能与一)

366336

A.B.-+-—+—

4-55445

14.（2021•贵州中考真题）在一1，0,1,0个实数中，大于1的实数是（)

A.-1B.0C.1D.72

15.（2021•内蒙古呼和浩特市•中考真题）几种气体的液化温度（标准大气压）如表:

气体氧气然气氮气氯气

液化温度。C-183-253-195.8-268

其中液化温度最低的气体是（）

A.氨气B.氮气C.氢气D.氧气

16.（2021•内蒙古中考真题）在实数0,%,卜2|,-1中，最小的数是（）

A.|-2|B.0C.-1D.兀

17.（2021•贵州中考真题）袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国

杂交水稻种植面积达2.4亿亩，每年增产的粮食可以养活80000000人.将80000000这个数用科学记数法可

表示为8x10",则〃的值是（）

A.6B.7C.8D.9

18.（2020•山东济宁•中考真题）3.14159精确到千分位为（）

A.3.1B.3.14C.3.142D.3.141

19.（2021•山东东营市•中考真题）某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上

再打六折.某电动汽车原价300元，小明持会员卡购买这个电动汽车需要花（）元

A.240B.180C.160D.144

（2021•黑龙江大庆市•中考真题）=

21.（2021•江苏南京市•中考真题）一（—2）

（2021•重庆中考真题）计算：|3|-（p-1）°=

（2021•湖南中考真题）计算:

|-3|，则a,b,c的大小关系是

.（用〈号连接）

25.（2021•广西贵港市•中考真题）第七次全国人口普查公布的我国总人口数约为1411780000人，将数据

1411780000用科学记数法表示为.

26.（2020•北京中考真题）写出一个比也大且比厉小的整数.

27.（2021•黑龙江大庆市•中考真题）计算卜后一2|+2而45°-（-1）2

28.（2021•福建中考真题）计算：V12+|V3-3|-f|

29.（2021•广西来宾市•中考真题）计算：23xL1+lj4-（l-3）.

30.（2021•新疆中考真题）计算：（五一1）。+|—3|—汤+（-1>°21.

31.（2021•广西贺州市•中考真题）计算："+（-1）°+旧-2|-Gtan30°.

出+(V2-l)0-V4

32.（2021•江苏盐城市•中考真题）计算:

33.（2021•江苏宿迁市•中考真题）计算：（兀-l）°+V§—4sin45。

34.（2021•上海中考真题）计算：^+|1-V21-2-'xV8

35.(2021•新疆中考真题)计算：(V2-1)°+1-31-^7+(-1)2021.

直通中考

1.（2021•黑龙江齐齐哈尔市•中考真题）五张不透明的卡片，正面分别写有实数-1，5，也,

5.06006000600006……（相邻两个6之间0的个数依次加1）.这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，

将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是（）

1234

A.-B.—C.-D.一

5555

2.（2020•湖南株洲市•中考真题）一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量

的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（）

3.（2021•河南•郑州外国语中学模拟预测）纳米（nm）是长度的单位，lnm=l（）7um,lumfO-mm如果

将在2022年底攻克20nm工艺芯片技术的难关，其中20nm等于（）

A.2.0x105mmB.2.0x10^111111C,2.0x10;mmD.20x105mm

4.（2020•湖南长沙市•中考真题）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节日的昵称是“n（Day）”

国际数学日之所以定在3月14H,是因为3.14与圆周率的数值最接近的数字，在古代，一个国家所算的

的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南北朝时期的

祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以

下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无

关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半

径的比；其中正确的是（）

A.②③B.①@C.①④D.②④

5.（2021•山东•中考模拟）点O,A8,C在数轴上的位置如图所示，。为原点，AC=1,OA=OB.若点

C所表示的数为。，则点8所表示的数为（）

ACOB

・2•・>

a0

A.-（a+1）B.—（a—1）C.a+1D.a—1

6.（2021•江苏徐州市•中考模拟）如图，数轴上有0、A、B三点，。为0原点，OA、0B分别表示仙女

座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）.下列选项中，与点3表示的数最为接近的是（）

B

02.5x10s

A.5xl06B.IO7C.5xlO7D.IO8

7.（2021•浙江•中考模拟）数线上有0、A、B、C四点，各点位置与各点所表示的数如图所示.若数线

上有一点。，0点所表示的数为△，且|4一5|=|4-。］,则关于。点的位置，下列叙述何者正确？（）

4&Q耳

-5co5

A.在A的左边B.介于A、C之间C.介于C、。之间D.介于。、8之间

8.（2020•四川攀枝花市•中考真题）实数“、》在数轴上的位置如图所示，化简

J（a+1）2+Jg_l）2_J（a_"）2的结果是（）.

~~_

-3-2-10123

A.-2B.0C.-2aD.2b

9.（2021•内蒙古赤峰市•中考真题）实数“、b、c在数轴上对应点的位置如图所示.如果。+〃=0,那么下

列结论正确的是（）

abc

A.|d>|dB.a+c<0C.46c<0D.­=1

b

10.（2021•河北滦州•二模）设面积为7的正方形边长为如下列关于根的四种说法：①加是无理数；②相

可用数轴上的一个点来表示；③3<加<4；④机是49的算术平方根，其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

11.（2020•四川达州市♦中考真题）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，

即“结绳计数如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1,用来记录孩子自出生后的天

数.由图可知，孩子自出生后的天数是（）

A.10B.89C.165D.294

12.（2021•南京•中考模拟）面积为4的正方形的边长是（）

A.4的平方根B.4的算术平方根C.4开平方的结果D.4的立方根

13.（2021•成都市初三模拟）观察下列等式（式子中的“!”是一种数学运算符号）1!=1,2!=2xl,3!=3x2xl,

4!=4x3x2xl,…，那么计算12°020上,的值是（）

2019!

A.2018B.2019C.2020D.2021

14.（2021.达州•中考模拟）今年我市参加中考的学生人数约为601x1（）4人.对于这个近似数，下列说法正确

的是（）

A.精确到百分位，有3个有效数字B.精确到百位，有3个有效数字

C.精确到十位，有4个有效数字D.精确到个位，有5个有效数字

15.（2021•北京市•初三期末）^ABC的三边的长a、b、c满足：（a-l）?++卜-闽

0,则4ABC

的形状为（）.

A.等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形

16.（2021•青海西宁•中考真题）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中,

用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）.如图1表示的是

（+2）+（-2）,根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（）ma

A.(+3)+(+6)B.(+3)+(—6)C.(―3)+(+6)D.(—3)+(—6)

m图1

21八

<10

17.（2021•北京初三一模）对于正整数〃，定义F（n）=<其中/（〃）表示〃的首位数字、末

/(/?),n>10)

22

位数字的平方和.例如：/(6)=6?=36,*123)=I+3=10.规定耳(〃)=尸⑺,Fk+l(〃)=尸(尸(〃))

（（（）

（攵为正整数），例如，耳（123）=尸123）=10,F2123）=F（F]123）=F（10）=1.按此定义，则由

耳（4）=,6019O

（填或

18.（2021.成都•中考模拟）比较大小:

19.（2020•四川宜宾•中考真题）定义：分数一（m,n为正整数且互为质数）的连分数（其中为整数，且

m

nA11

等式右边的每一个分数的分子都为1）,记作一---1----^•…：例如

ma\a2

7△111I

=

19192+92+—1-y2+j172+___1___

2+-

71+2工，一的连分数是।1,记作

71+

51+191+f

5

2+-2+-

222

7&]111△111

——=-+-+-+则-------1------1—

192122-123

20.（2021•四川广元市•中考真题）如图，实数-6,JF，机在数轴上所对应的点分别为4,B,C,点8

关于原点。的对称点为。.若根为整数，则用的值为

DCAOB

21.（2021•四川自贡市•中考真题）某校园学子餐厅把WIFI密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了

一会，输入密码，顺利地