立体几何2023届高考数学一轮复习学案

立体几何

日录

【知识点讲解］----------------------------------------------2

【例题讲解】

一、表面积------------------------------------------10

二、体积--------------------------------------------10

三、外接球------------------------------------------12

四、内切球------------------------------------------12

五、截面问题---------------------------------------13

六、轨迹问题---------------------------------------17

七、动态问题---------------------------------------19

八、翻折问题---------------------------------------20

九、立体几何大题——角度-------------------------21

十、立体几何大题——求长度-----------------------24

十一、立体几何大题——求体积---------------------26

十二、立体几何大题——求距离---------------------28

【对点训练】

选填题-------------------------------------------------29

大题---------------------------------------------------40

［参考答案］--------------------------------------------------55

【知钠直饼解】

一、空间几何体的结构特征、表面积与体积

1.简单几何体

(1)多面体的结构特征

侧棱互相平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点

侧面形状平行四边形三角形梯形

(2)旋转体的结构特征

轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆

侧面展开图矩形扇形扇环

2.直观图

(1)画法：常用斜二测画法。

(2)规则

①原图形中，x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y'轴的夹角为

45°(或135°),z轴与/轴和y'轴所在平面垂直。

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴。平行于％轴和z轴

的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原

来的一半。

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

侧面积公式s圆柱侧=2nr/S圆锥侧=nrlS圆台侧=n（，+r》

4.柱、锥、台、球的表面积和体积

表面积体积

柱体棱柱

S棱柱=S侧+2s底U棱柱=5Q

圆柱

S圆柱=2nr(r+OU圆柱=

锥体棱锥1

S棱锥=S侧+S底，棱锥=/底力

圆锥S圆锥="r（r+1）“圆锥=3nr2/4

台体棱台S棱台=S侧+S上+S下，棱台=3,上+S下+Js上S下）h

圆台2z2

S圆台=TTG'2+丁2+，1+九)U圆台="4G'+rr+r)

球5球=4TTR2嗫=髀&

二、空间点、直线、平面之间的位置关系

1.平面的基本事实与推论

基本事实：

①基本事实1:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

②基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内，

那么这条直线在这个平面内。

③基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点，

那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

推论：

①推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

②推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面。

③推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面。

2.空间两直线的位置关系

（平行直线：在同一平面内，没有公共点；

共面直线《相交直线：在同一平面内，有且只有一个公

〔共点.

【异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

3.异面直线所成的角

设a,6是两条异面直线，经过空间任一点。分别作直线a'//a,

b'//b,把直线a'与6'所成的角叫做异面直线a与6所成的角(或夹角).

范围为(0,y.

4.空间直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况。

(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况。

三、直线、平面平行的判定与性质

1.直线与直线平行

(1)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行。

(2)定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，

那么这两个角相等或互补。

2.直线与平面平行

(1)直线和平面平行的判定定理

①定义：若直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行；

②判定定理：a0a,bua,且&〃8=>a〃a；

③其他判定方法：a〃/?,aua=a〃/?。

(2)直线和平面平行的性质定理

a//a,au0,aA/?=/=>a//l。

3.平面与平面平行

(1)两个平面平行的判定定理

①定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；

②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，

那么这两个平面平行；

③推论：若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,

则这两个平面平行。

(2)两个平面平行的性质定理

两个平面平行，如果另一■个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。

补充：

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若aJ.a,alp,则a〃夕。

(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若a〃/?,(3//y,则a//y。

(3)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.

(4)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.

四、直线、平面垂直的判定与性质

1.直线与直线垂直

(1)异面直线所成的角

设a,b是两条异面直线，经过空间任一点。分别作直线a'//a,b'//b,

把直线a'与b'所成的南叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)

范围是(0,1]O

(2)如果两条异面直线所成的角是直角，那么说这两条异面直线互相垂直。

2.直线与平面垂直

(1)定义

如果直线1与平面a内的任意一条直线都垂直，则直线2与平面a互相垂直,

记作iJLa,直线/叫做平面a的垂线，平面a叫做直线2的垂面。

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定定一条直线与一个平面内的两条相交1

a,ka、

理直线垂直，则该直线与此平面垂直刁

.aClb=O

>=/_L

/_La

/_L6>

a

性质定垂直于同一个平面的两条直线平行al-a

理Ty>=a//b

b±a

3.直线和平面所成的角

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所

成的角。若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，

或在平面内，它们所成的角是0。的角。范围是[0,1]o

4.平面与平面垂直

(1)二面角的有关概念

①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内

分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角。

③二面角的范围：[0,TT]o

(2)平面和平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

判s

定理

性)\

定理

补充：

(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)垂直于同一条直线的两个平面平行.

(3)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

五、空间向量及空间位置关系

1.空间向量及其有关概念

(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。

(2)相等向量：方向相同且模相等的向量。

(3)共线向量：表示若干空间向量的有向线段所在的直线

互相平行或重合的向量。

(4)共面向量：平行于同一个平面的向量。

2.空间向量中的有关定理

(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，匕(匕。0),a〃b=>

存在唯----个实数4，使a=Abo

(2)共面向量定理：若两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面0

存在唯一的有序实数对(x,y)，使p-xa+yb。

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空

间向量p，存在唯一的有序实数组。,y,z),使得p-xa+yb+zc。

3.两个向量的数量积

非零向量a,b的数量积。•b=|a||b|cos<a,b>0

4.空间向量及其运算的坐标表示

设a=(%,。2,。3),b=(瓦，£>2,坛)»

向量表示坐标表示

加法a+b(%+瓦@+b2,a3+b3)

Q—bi，a—b,%—力3)

减法a-b22

数乘Aa(aQl，AQ，2>入。3)

数量积a•b%%+a2b2+a3b3

共线a=Ab(bh0)Ct]=Ab],Q，2=4^2，。3=几匕3

垂直

Q•b=o(aw0,bw0)。向+a2b2+a3b3=0

模\a\Ja；+Q垓+Q]

夹角<a,b>(a0,匕h0)COS<a,b>=：a血+a3+a3%

Ja"好+a打好+b升国

5、应用

(1)求点到直线的距离

如图，直线1的单位方向向量为a，向量彳？在直线1上的投影向量为而，

则是直角三角形。设向量=a,点P到直线/的距离为PQ=

AQ

Jl研2一|而『=JQ2一（a•a）2o

（2）求点到平面的距离

如图，已知平面a的法向量为71,A是平面a内的定点，P是平面a外一

点。过点P作平面a的垂线2,交平面a于点Q,则九是直线/的方向向量,

且点P到平面a的距离就是而在直线/上的投影而的长度。因此PQ=

|AP-n|

\n\

（3）求线面距离

已知直线Q上一点B（%o，yo，Z0）,平面a内一点

A（xlfyltz1）,平面a的一个法向量九,且可/a,则直线a到平面a的距离为

|n|

（4）求面面距离

已知平面a内一点力（%i，yi，Zi）,平面6内一点B（%o，yo，Zo），平面a（或

平面万）的一个法向量71,则平行平面a邛间的距离为4=卑?o

（5）求两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a,b的方向向量分别为a,b，其夹角为。，则cosp=

'COS0I=S（其中8为异面直线a，b所成的角）。

（6）求直线和平面所成角的求法

如图所示，设直线I的方向向量为e，平面a的法向量为九，直线1与平面a

所成的角为（p,向量e与71的夹角为。，则有sinR=|cos0|='^高。

(7)求二面角的大小

二面角a-/-£为6或n—6.设二面角大小为

>cI",然I

则|cos(p|=cos6=~\—n—r

I"lIII

补充：最小角定理

如图，若如为平面a的一条斜线，0为斜足，为在平面a内的射影,

0c为平面a内的一条直线，其中6为。1与0c所成的角，&为）与。B所成的

角，即线面角，氏为。8与0c所成的角，那么cos0=cos6icos02.

【例耍神解】

一、表面积

例1.己知正四棱锥P-ABCD的底面正方形的中心为。，若高P0=0,/24。=45°，

则该四棱锥的表面积是

A.4+20B.4+4近C.4+2百D.4+4百

【答案】D

【解析】依题意，正四棱锥的高产。1•底面A8CD,且NR4O=45°,知AE40为等腰直

角三角形，则侧棱PA=—―—=^—=2,且4O=PO=J5，

sin/PAOsin45°

则底面正方形ABC。的对角线AC=240=2y/2=6AB，得正方形的边长AB=2，

从而知正四棱锥的4个侧面均是边长为2的正三角形；

所以底面积为；侧面积为4SApA8=4xgx2x2xsin60°=4石

故正四棱锥的表面积为4+46.故选D

二、体积

例2.已知球。是正四面体S4BC的外接球，E为线段8。的中点，过点E的平面a与球。

形成的截面面积的最小值为6%,则正四面体S4BC的体积为

A.9百B.1273C.6GD.8百

【答案】D

【解析】如图所示：易知EO_L平面a时，截面面积最小.

设外接球的半径为R,截面面积最小时截面圆的半径为厂，AB=a,AABC外接圆的圆心

为。则R?=0'02+0右2，OE2=（7O2+O'E2

所以，=R2—OE，=OB1—O'E2-由71rl=6兀，解得r--^6，

"Y"丫

则6=—a--a,解得。=2指.

I3JI6J

又正四面体的高为力=S0'=」"—j且a]=凡，所以正四面体£4BC的体积

VI3J3

V--xSh--x^-a2x^-a-^-a'=^-X（2A/6）=8百，故选D.

33431212、/

例3.运用祖眼原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两

个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，构造一个底

面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内

挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），

用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明

22

新几何体与半球体积相等.现将椭圆二+匕=1绕y轴旋转一周后得--橄榄状的几何体（如

49

图③），类比上述方法，运用祖晒原理可求得其体积等于.

A.8兀B.16TIC.24KD.32K

【答案】B

【解析】构造一个底面半径为2,高为3的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶

/?r

点的圆锥，则当截面与顶点距离为M噫出4）时，小圆锥的底面半径为，则一=一，

32

:.r=-h,故截面面积为4万一改々，把y=//代入椭圆工+.=1可得彳=±2的-1,

39493

4/72TT

二橄榄球形几何体的截面面积为力无2=4万一丝2,由祖胞原理可得橄榄球形几何体的体

9

积丫=2（%柱一%椎）=21乃x22x3—gx；rx22x3）=16%.故选B.

三、外接球

例4.在三棱锥A—3CD中，侧棱AB，AC,AT）两两垂直，△ABC、△ACD、^ABD

3

的面积分别为1、一、3,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为

2

,47兀49万7而力

A.14%B.--C.---D.-----

243

【答案】A

【解析】：.棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC，AO两两垂直，补成长方体，两者的外接

球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径，

设长方体的三度为。，h,。由题意得。6=2，ac=3,be=6,

解得a=l,h=2,c=3.所以球的直径为JF+22+32=JJ4,

J]4

它的半径为力，球的表面积为4乃=14乃；故选A.

2

四、内切球

例5.已知四面体P-ABC中，PA=4,AC=2币,PB=BC=25Q4_L平面P8C,

则四面体P-ABC的内切球半径与外接球半径的比

a30372D.显

A.V2r

178168

【答案】c

【解析】由已知及勾股定理得，AB=，PC=26"PBC为等边三角形,

△ABC为等腰三角形，且易得底边的高为5.

—X2V3X2V3X—

所以,1S/Bc.P"=]X4=4A/3,

22

3（2@楞

表面积s—x2\/3x4x2++5x26x5=16百，

2

设内切球半径为r,V=-S-r,所以，4出=X16后,r=-

334

如图，取APBC的外接圆圆心为a,三棱锥的外接球球心为0,

由2PQ=-^v=4,PQ=2,00=PA=2,

sin602

因此外接球半径尺=方方=2血,故内切球半径与外接球半径的比为故选C.

五、截面问题

例6.（多选）如图，在长方体A5Cr>—44GA中，AB=4,BC=BB]=2,F分别为

棱A3、4。的中点，则下列说法中正确的有

Q

A.DB±CEB.三棱锥O-CM的体积为一

t3

C.若P是棱GA上一点，且。7=1,则E、C、P、F四点共面

D.平面C即截该长方体所得的截面为五边形

【答案】BCD

【解析】连接。E，3E,如图所示，

因为£为A8的中点，所以EB=BC=2,

所以CEMJBE'+BC?=2及，同理OE=CE=20，又DC=4,

所以。石2+后。2=。。2,即。E_LEC,

因为。A_L底面ABCD,CEU底面ABCD,所以，CE,

所以CEL平面。。乃，即CEL0E,乂DiEcQB=Di，即RE与。田不平行，

所以CE不垂直0B,故A借误；

11Q

由等体积法可得三棱锥D-CEF的体积%CEF=/CEO=-X-X4X2X2=-，故B正确:

作出P,使2尸=1,取GA中点G,则P为2G中点，连接FP,CP,4G,

因为F,p分别为49，中点，所以FPA,G,

又AA℃空ACBE,且AABC,DtGEB

所以AGEC,所以EPEC，所以E、C、p、F四点共面，故C正确；

由选项c可得人C、P、F四点共面，平面CEF即为平面CEFP,

作EHCP,交AR于“，如图所示:

所以E、H、P、C在同一平面内，即，点在平面ECP内,

所以E、C、P、F、，在同一平面内，

所以平面CM截该长方体所得的截面为五边形，故D正确.故选BCD

例7.（多选）如图，在棱长为1的正方体ABC。—4&GO中，p，M，N分别为棱CG，

CB,CO上的动点（点P不与点C,G重合），若CP=CM=CN,则下列说法正确的是

4

A.存在点P,使得点A到平面PMV的距离为§

B.用过尸，M,，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形

C.BD]〃平面PM/V

D.用平行于平面丽的平面a去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定

为3后

【答案】ABD

【解析】A.连接AG，6G，AA5D，G£＞，AO,pc,如图所示:

因为CP=CM=CN,所以易知MN//BD,NP〃C\D,MP〃BC\,且平面肱VP//平面

BCQ,又已知三棱锥A-各条棱长均为0.所以三棱锥A-BCQ为正四面体,

所以A到平面BCQ的距离为/等x&x|=苧，

因为44,平面BCC4,所以又且A,gngC=g,

所以8G_L平面A4C,乂ACu平面44C,所以3aA\C,

同理可得G。，AC,且5acGO=£,所以A。，平面BG。，

因为4。=百，所以A到平面PMN的距离€（¥，百，且¥<\<班，故正确；

B.如图所示，连接AP并延长交DC的延长线于。点，连接QM并将其延长与AD相交于

A，因为CP=CM,a.CP//DD,CM//AD,则=焉，所以DA'=DD,,

tDD\£z/iDy.

所以A'即为A,连接A，，所以过P,M，。的截面为四边形AOfM，

由条件可知MP//8G，5C"/AA，且|明。1MI，所以四边形A2PM为梯形，故正

确；

C.连接8口，由A可知平面MNP//平面BCQ,因为8e平面BCQ,D,£平面BC,D,

所以5"不平行于平面BC]D,所以BDJ!平面PMN不成立，故错误；

D.在上取点片，过点《作利HMP交4G于巴，过外作P.NJ/MN交G。于2,

以此类推，依次可得点N2，M1,M2，此时截面为六边形，根据题意可知平面

PRNN2MlM//平而MNP，不妨设明=》，所以片弧=鸟乂=N2M=0x,

所以6£=可乂=血（1一力，所以六边形的周长为3卜历1+、/爹（1一力]=3板,

故正确；故选ABD.

六、轨迹问题

例8.在棱长为2夜的正方体ABCD-ABGQ中，£、R、G分别为棱43、AD.D£的

中点，则以下结论正确的为

A.VR_DEF=2叵

B.平面REF与正方体—的交点轨迹长度为6+JT5

C.DG//平面REF

D.正方体A8CO-ABCQ|外接球表面积为6%

【答案】C

【解析】V„DFA.=-xlx^xV2x2V2=-＞故A选项错误；

D'-DEF323

•••E、/分别为棱AB、A。的中点，二砂/AB。，EF^BD,

,/正方体ABCD-A{B}CyD},.tBRUBD，.tEF//B}Di,

故平面Q|E尸与正方体ABCO-AAG，的交点为£、用、R、F,

4A=J(20『+(20『=4;EF=2；RF=EB]={(q+(2用=而;

•••平面与正方体ABCD-ABCR的交点轨迹长度

FE+石4+BR+FDi=6+2V10,故B选项错误；

•.£、G为A8和GR的中点，二。G//EB-

DJ_____GCi

AEB

乂EB]U面D]EF,OGZ面Q£F，.〔DG//面REF，故C选项正确；

正方体ABCD-A^B^D,的外接球半件为苴x2播=娓，

2

则其表面积为4乃x(C『=247，故D选项错误.故选C.

例9.在棱长为2夜的正方体ABC。一4四6。中，E、F分别为棱AB、AO的中点,

则平面D.EF与正方体ABC。—AgGR外接球的交点轨迹长度为

A.2&B.5兀C.生叵乃D.4乃

3

【答案】C

【解析】如图所示，连接4A，4E,取42的中点N,EE的中点M，8。的中点。,

连接MN,MQ,NQ,其中0为正方体ABCD-A鼻的中心，作OP_LMN,垂足为P,

因为NQJ_平面ABC。，EFu平面ABCD，所以NQLEF,

因为四边形AB8为正方形且£,E为AB,A。的中点，M,Q为FE,DB的中点，

可得FE工MQ.因为EE，NQ,MQnNQ=Q，且MQ,NQu平面MNQ.

所以放J_平面MNQ,因为OPu面MNQ,所以即_LOP，

又由0PLMN,MNCFE=M，且MN,FEu平面RBWF,所以OP,平面〃用EF,

因为面RB,EF和面AEF是同一面，所以。P_L平面〃EF,

在直角△MNQ中，MQ=1,NQ=2五,可得MN=JMQ?+NQ?=3，

1/?

所以sinNMNQ=Q,因为QV=夜，在△NPO中，可得OP=NO-sinNMNQ=*-，

33

由平面截球的轨迹为圆，其中。是截面圆的圆心，。为球心，

因为正方体ABCO—4用££＞］的棱长为2忘，所以外接球的半径OS=指，

根据截面圆的性质，可得ps=后研=彳=冬叵，

3

所以截面的周长为2万-PS=t叵.故选C.

七、动态问题

例10.（多选）如图，在棱长为1的正方体ABC。-A禺GR中，p为棱CG上的动点（点

P不与点c,C1重合），过点P作平面a分别与棱BC,CD交于M,N两点，若CP=CM=CN,

则下列说法正确的是

A.AiC_L平面a

B.存在点P,使得AG〃平面a

C.存在点P,使得点4到平面a的距离为|

D.用过点P,M,D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形

【答案】ACD

【解析】连接BC},BD,DC,,AR,DF

CMCN

因为CM=CN,CB=CD,所以----=,所以MN//BD

CBCD

又MNU平面C/。，BDu平面G8。，所以MN〃平面

同理可证MPHBC,,MPH平面GBD

又MPcMN=M，MN、MPu平面。，所以平面〃平面a

易证AC,平面GB。，所以4c，平面a，A正确

乂AC；c平面GBO=G，所以AC】与平面a相交，不存在点P,使得AG〃平面a,B

不正确.

因为1=V1+1+1=G，点C到平面c,BD的距离为日

所以点4到平面a的距离的取值范围为

又更<2<6，所以存在点P,使得点4到平面。的距离为3,C正确.

333

因为AR//BG，所以A0//MP,所以用过点P,M,Di的平面去截正方体得到的截面是四

边形AAPM

又ADJIMP,且所以截面为梯形，D正确，故选ACD.

八、翻折问题

例11.（多选）在直角梯形ABCD中，AD=CO=2,ABIICD,NABC=30。，点M

为直线AB上一点，且AM=2,将该直角梯形沿AC折叠成三棱锥。-ABC,则下列说

法正确的是（）

A.存在位置。，使得BDLAC

B.在折叠的过程中，始终有

C.三棱锥。-ABC体积最大值为2（夜+指）

3

D.当三棱锥£>—ABC体积最大时，BD2=16+473

【答案】BCD

【解析】如图所示，仪从。翻折过程中，点。在平面A5C内射影H始终落在直线DM上,

假设存在位置£>，使得BDJ_AC，又。〃_L平面ABC.

所以O〃_LAC,所以ACJ_平面友比，

因此AC_L3”，与题意不符，选项A错误；

因为四边形ADCM为菱形，所以AC，DM,

乂。HLAC，所以AC,平面。HM，所以。MLAC，故B选项正确；

当平面ACD1.平面ABC时，三棱锥D-ABC体积最大，此时的体积为

V=gx；x2x（2+2省卜正=4同佝,故C选项正确；

当三棱锥O—4BC体积最大时，。在A8C上的投影为。，

则BD2=BO2+OD2=BO2+2，

在△BCO中，BC=4,CO=6,ZBCO=105°,

由余弦定理得50?=14+4>”，所以BO?=16+4百.故选BCD

九、立体几何大题——角度

例12.如图，四棱锥P—ABC。中，底面AB8为菱形，平面ABC。，E为PD的

中占

I/、、、•

（1）证明：PB〃平面AEC；

R

（2）设PA=1,ZA6C=6O,三棱锥E-AC£＞的体积为“,

8

求二面角O—AE-C的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵.

13

【解析】（1）连接BD交AC于点。，连接OE,则。为5。中点，

E为PD的中点，所以PB//OE,0£匚平面4。瓦「80平面4。七，

所以PB〃平面AEC-.

（2）设菱形AB8的边长为。，V„ABCD=2V„ACD=4VE.CD=-1

1I（M、6

%-ABCO=5S。"。，PA=§x2x~^-q-xl="^~,则q=百.

取BC中点M，连接AM.以点A为原点，以AM方向为x轴，以AD方向为V轴，

以AP方向为z轴，建立如图所示坐标系.。（0,后,0）,A（0,0,0）,E0,冬;

(3后力"V3[

C一,—,0,AE=0,,AC

22

\/\

设平面ACE的法向量为Hy=(x,y,z),由“_LAE,n^_LAC,

61n

——y+—z=0

得厂,令x=l,则y=-g,z=3,=0,一6,31

—x+—y=0

122

%・%1

平面ADE的一个法向量为M=（1,0,0）,cosv屋后,叵

研同-J1+3+9—13，

即二面角。一AE—C的余弦值为姮.

13

例13.直三棱柱A8C-4耳£被平面48。截去一部分后得到如图所示几何体,

ZABC=90°.BC=BB]=2,E是80中点.

（1）求证：平面ABEJL平面A8C；

（2）若三棱锥E-A3C体积为立，

求二面角A-AE-C的正弦值.

3

小当

B

【答案】（1）证明见解析；（2）75

3

【解析】(1)因为BC=BB],EBi=EC,所以

在直三棱柱中，由BB、，平面ABC可得BB、1AB,

又AB_L3C,5CA5B.=B,所以A8_L平面880,所以43，月。，

因为ABnBE=8,所以平面ABE,

由B、Cu平面A8C可得平面A^Cl平面ABE；

(2)由题意，V=-S^-BB=-x2ABxi=—,解得AB=&，

EABC3ABC2163

以8为原点，8A,8C,84分别为x,y,z轴建立直角坐标系，如图，

则A(0,0,0),C(0,2,0),A(V2,0,2),旦(0,0,2),E(0』」)，

设面A41E的一个法向量为云=(x,y,z),A4,'=(0,0,2),A.E=(-72,1,-1),

m-AA^=2z=0

则＜取x=0,m=(>/2,2,0),

m-AiE=-y[lx+y-z=0

设面CAXE的一个法向量为3=(%,y,%),CE=(0,-1,1),区=(五2,2),

n-CE=-y,4-z.=0_

则{___厂，取弘=4=1,几=(0,1,1)

m-C4j=J2%-2y{+2zl=0

m-n_2_V3

所以cos"〃•力=

\m\-\n\V2-V63

所以二面角A—AE-C的正弦值sina=_V6

一3

十、立体几何大题——求长度

例14.如图，平面A8CDAD±CD,AB//CD,PQ//CD,

AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,点E,F,M分别为AP,CD,8Q的中点.

(1)求证：上五||平面MPC；

（2）求二面角。一PM-。的正弦值;

【解析】（1）连接因为AB〃CO,PQ//CD,所以AB〃尸。，因为4B=PQ,

所以PABQ为平行四边形.由点£和M分别为AP和6。的中点，可得EM〃A6且

EM=AB，因为AB〃CDCD^2AB,尸为CO的中点，所以C尸〃A3且CF=AB，

可得EM〃。尸且£M=CE,即四边形EFCM为平行四边形，所以EF||MC,乂

跖.平面MPC,CMu平面MPC，所以防〃平面MPC.

（2）因为产。,平面ABC。，ADA.CD,可以建立以。为原点，分别以玩双，丽的

方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系.依题意可得

0（0,0,0）,4（2,0,0）,8（2,1,0）,C（0,2,0）,P（0,0,2）,Q（0,l⑵,M（l,1,1）.

PM=（L1,-1）,①=（0,1,0）,两=（1,一1,1）,定=（0,2,-2）

设]=(x,y,z)为平面PMQ的法向量，

[n,-PM~0{x+y-z=0.

则〈二：八，即《'八，不妨设z=i,可得勺=(i,o,i)

[yPQ=0y=01'7

设石=（尤，y,z）为平面MFC的法向量,

Z-PC=02y-2z=0—.、

则一，即《八，不妨设z=i,可得%=（o,i,i）.

n2-CM=0[x—y+z=02'

cos区,兀=南缸=；，于是sin1%=乎.所以，二面角Q-PM-C的正弦值为半.

(3)设丽=4反(OVOWl),即丽=4诙=(0,九一22),则N(0,2+1,2-22).

从而丽=(0,2+1,2-22).由(2)知平面PMQ的法向量为或=(1,0,1),

乃।_____।\DN-n]1_\2-2A.\

由题意，sinz=gs/W,々卜网同，即片而毋诉不至

整理得3万一10/1+3=0,解得或/1=3,

几=1QN=-QC,QN=-\QC\=—

因为所以3,所以33113.

十一、立体几何大题——求体积

71,

例15.如图所示，AABC中，ZB=-,四棱锥A-BCDE是由AABC沿其中位线DE

2

翻折而成，其中NAE8为锐角，PC=2PA.

（1）证明：A'E〃平面PBD；

（2）若AB=BC=4,二面角。一4。一E的大小为一，求四棱锥A'-BCDE的体积.

o[7

【答案】（1）证明见解析；（2）”

7

【解析】（1）连接CE交3。与点F,连接PR.

因为翻折前，DE为△ABC的中位线，所以DE//BC,且翻折后，平行关

2

系不变，因此