辽宁省本溪市2022年九年级中考数学二模试题（含答案与解析）

2022年辽宁省本溪市中考二模试卷

数学

注意事项：

1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.

2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清

楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内.

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草

稿纸、试题纸上答题无效.

4.选择题必须使用25铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工

整、笔迹清楚.

5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分）

1.—2022相反数是（）

-------B.C.-2022D.2022

2022--------------------------2022

2.下面是一个几何体的俯视图，那么这个几何体是（）

3.在函数y=J9—3x中,自变量x取值范围是（）

Ax<3B.x<3C.x>3D.x>3

4.下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字.其中，手的对面是口的是（）

勤洗手

A.

戴口罩

5.某次芭蕾舞比赛，甲、乙、丙三个芭蕾舞团各选出10名女演员参加比赛，三个团女演员平均身高都

为1.65机，其方差分别是$2甲=1.5,$2乙=2.5,s2丙=2.1,则参赛演员身高比较整齐的舞团是（）

A.甲团B.乙团C.丙团D.同样整齐

6.四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面

向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是（）

x+2>0

7.不等式组13,八的解集在数轴上表示正确的是（）

-2x+4>0

C.D.-i_1_।——।_।_1_।----->

-3-2-10123-3-2-10123

8.如图，平行四边形43CD对角线AC、8。相交于点O,。七〃AB交AD于点E,若OA=1,的

周长等于5,则平行四边形A8CO的周长等于（）

A.10B.12C.14D.16

9.如图，在中，ZACB=90°,AC=4,将斜边A8绕点A逆时针旋转90。至A8',连接

B'C,则VAH'C的面积为（)

A.6B.8C.8^/2D.6G

10.如图是二次函数ynaf+fcr+c（aW0）图象的一部分，对称轴为x=g,且经过点（2,0）.下列说

法：①“AVO；②-2〃-c=0；③4a+26+cV0；④若（-g，力），（~>”）是抛物线上的两点，贝UV

<72；©-（am+b）（其中；其中正确的是（）

42

A.①④⑤B.0@④C.①③③D.③④⑤

二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）

11.某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm?,0.00000164用科学记数法表示为

12.若关于x的一元二次方程6—l）/+2x-1=0有两个不相等的实数根，则z的取值范围是

13.在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球.这些球除颜色外都相同.若从袋子中随机摸出1个

球，摸到红球的概率为:2，则。=.

14.已知：如图，AB//EF,ZABC=J5°,ZCDF=135°,则ZBC£>=度.

AB

75°

15.若一个正多边形的每一个外角都是40。，则这个正多边形的内角和等于.

1Q

16.如图，点A在反比例函数必=—(x>0)的图象上，过点A作轴，垂足为B,交反比例函数

x

%=9*>0)的图象于点C.点P为y轴上一点，连接PA,PC,则的面积为一.

17.如图，在矩形4BCQ中，AB=5,BC=7,点、E为BC上一动点、,把△ABE沿AE折叠当点8的对应点

?落在/AOC的角平分线上时，则点8'到BC的距离为.

18.如图，点4,8的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点，BC=1,点M为线段

4c的中点，连接OM,则OM的最大值为

三、解答题(第19题10分，第20题12分，共22分)

（\-aA1-a

19.先化简，再求值：------a+1k-一，其中。是关于x的方程f—2x—3=0的根.

<a）a+a

20.某中学全校学生参加了校园安全知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生

的成绩，分为四组：A：60sx<70；B：70<r<80；C：80sx<90；D：90<x<100,其中x表示学生竞赛成

绩，并绘制出如下所示的两幅不完整的统计图.

学生竞赛成绩条形统计图学生竞赛成绩扇形统计图

根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次调查一共随机抽取了名学生，在扇形统计图中，。组所在扇形的圆心角为度；

（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；

（3）若该校有3600名学生，估计这次竞赛成绩在A组的学生有多少名？

（4）。组100分的学生有四名，其中三名男生，一名女生，李老师计划从这四名学生中随机抽取两人去做

宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽中一男一女的概率.

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21.在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款

购买A、B两种防疫物品.如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140兀；如果购买A种物品45

件，B种物品30件，共需840元.

（1）求A、8两种防疫物品每件各多少元；

（2）现要购买A、8两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么4种防疫物品最多购买多少

件？

22.小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图在矩形广场ABC。边A8的中点〃处有一座雕塑.在某一时刻，

小红到达点。处，爸爸到达点。处，此时雕塑在小红的南偏东45。方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，

若小红到雕塑的距离PM=30m,求小红与爸爸的距离PQ.（结果精确到1优，参考数据：V2«1.41.

73»1.73.x/6«2.45)

五、解答题（满分12分）

23.如图，在平行四边形ABCD中，ZD=60°,对角线ACJ_BC,。。经过点A,B,与AC交于点M,

连接AO并延长与。O交于点F,与CB的延长线交于点E,AB=EB.

（1）求证：EC是00的切线；

（2）若AD=2G，求AM的长（结果保留火）.

六、解答题（满分12分）

24.网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进行直播

销售板栗.为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买

者.已知该板栗的成本价格为6元/依，每日销售量y（.kg）与销售单价x（元/必）满足关系式：y=-

100X+5000.经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/依.当每日销售量不低于4000依时，

每千克成本将降低1元.设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）.

（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？

七、解答题（满分12分）

25.如图，AABC是等腰直角三角形，NBAC=90°,点。是8c边的中点.四边形OEFG是正方形，点

A,C分别在0G和。E上，连接AE,BG,将正方形OEFG绕点。逆时针旋转a（0°<aW360°）.

(1)如图1,当a=0。时，请直接写出线段8G与AE的关系：；

(2)如图2,当0°<a<45°时，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由;

(3)在正方形DEFG旋转过程中，DE与直线AC相交于点H,若4c=4&，OE=2而，CH=也,

请直接写出点G到直线A。的距离.

八、解答题(满分14分)

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点M是线段A8上方抛物线上一动点，以A8为边作平行四边形连接OM,若OM

将平行四边形ABMD的面积分成为1：7的两部分，求点M的横坐标；

(3)如图2,点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B-A匀速运动，同时点。从点A出发，以

每秒1个单位长度的速度沿A-O-B匀速运动，当点尸到达点A时，P、。同时停止运动，设点P运动的

时间为，秒，点G在坐标平面内，使以8、P、Q、G为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的r

值.

参考答案

一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分）

1.一2022相反数是（）

A.———B.」一C.-2022D.2022

20222022

【答案】D

【解析】

【分析】由相反数的定义特征即可得到答案.

【详解】解：•/-2022+2022=0

...—2022相反数是2022

故选：D.

【点睛】本题考查相反数的定义特征，熟练掌握相关知识是解题的关键.

2.下面是一个几何体的俯视图，那么这个几何体是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据各个选项中的几何体的俯视图即可解答.

【详解】解：由图可知，

选项B中的图形是和题目中的俯视图看到的一样，

故选B.

【点睛】本题考查由三视图判断几何体，俯视图是从上向下看得到的图纸，熟练掌握是解题的关键.

3.在函数y=j9—3x中,自变量x的取值范围是（）

A.x<3B.x<3C.x>3D.x>3

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次根式有意义，列不等式9-3x20,求出x的取值范围即可.

【详解】解：根据二次根式有意义，

所以，9-3x20,

解得，xW3.

故选：A.

【点睛】本题主要考查函数自变量的取值范围的知识点，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次

根式无意义.

4.下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字.其中，手的对面是口的是()

【答案】B

【解析】

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点逐项判断即可.

【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形,

A、手的对面是勤，所以本选项不符合题意;

B、手的对面是口，所以本选项符合题意;

C、手的对面是罩，所以本选项不符合题意;

D、手的对面是罩，所以本选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了正方体相对面上的文字，属于常考题型，熟知正方体相对两个面的特征是解题的关

键.

5.某次芭蕾舞比赛，甲、乙、丙三个芭蕾舞团各选出10名女演员参加比赛，三个团女演员的平均身高都

为1.65〃?，其方差分别是/中=1.5,S2乙=2.5,s2内=2.1,则参赛演员身高比较整齐的舞团是()

A.甲团B.乙团C.丙团D.同样整齐

【答案】A

【解析】

【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据

分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，根据定义进行判断即可.

【详解】解：；S2甲=1.5,S2乙=2.5,S2丙=2.1,

.••甲的方差最小,

甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐.

故选A.

【点睛】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平

均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均

数越小，即波动越小，数据越稳定.

6.四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面

向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是（）

1।3,

A.-B.-C.—D.1

424

【答案】C

【解析】

【分析】由四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等腰三角形、圆、平行四边形、正六

边形四个图案.中心对称图形的是圆、平行四边形，正六边形，直接利用概率公式求解即可求得答案.

【详解】解：•••四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等腰三角形、圆、平行四边形、

正六边形四个图案.中心对称图形的是圆、平行四边形，正六边形，

3

...从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为：一.

故选：C.

【点睛】此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

x+2>0

7.不等式组《C,八解集在数轴上表示正确的是（）

-2x+4>0

D.।j?_।_।_।_l-।--->

-3-2-10123

【解析】

【分析】本题分别求解两个不等式解集，继而求其公共解集，最后在数轴上表示即可.

【详解】Vx+2>0,

x>-2.

V-2x+4>0,

•"«—2x2—4>

x<2,

故综上公共解集：-2<x<2,在数轴上表示C选项符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查不等式组的求解以及解集在数轴上的表示方法，按照移项、合并同类项、变号等原则求

解不等式，数轴标注时注意实心与空心的区别.

8.如图，平行四边形ABC。的对角线AC、相交于点O,OE〃AB交AD于点E,若OA=1,ZVIOE的

周长等于5,则平行四边形ABC。的周长等于（）

AED

A.10B.12C.14D.16

【答案】D

【解析】

【分析】由平行四边形的性质得AB=CQ,AD=BC,OB=OD,证OE是△AB。的中位线，贝ijAB=2OE,

AD=2AE,求出AE+OE=4,则A8+AC=2AE+2OE=8,即可得出答案.

【详解】解：•••四边形A8C。是平行四边形，

：.AB=CD,AD=BC,OB=OD,

■：OE//AB,

、DEOD、

\-----="-=1,

AEOB

是△ABO的中位线，

：.AB=2OE,AD=2AE,

,：△4OE的周长等于5,

OA+AE+OE=5,

，AE+OE=5Q=5-1=4,

AB+AD=2AE+2OE=S,

."ABC。的周长=2x(AB+AD)=2x8=16；

故选D.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例，三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行

四边形的性质和三角形中位线定理，求出A8+AO=8是解题的关键.

9.如图，在Rr^ABC中，NACB=90°,AC=4,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至A8',连接

B'C，则VAB'C的面积为()

B

A.6B.8C.80D.6G

【答案】B

【解析】

【分析】过点B'作8'ELAC于点E,由题意可证VA5C纣3办£,可得AC=6'E=4,即可求

NABC的面积.

【详解】解：如图：过点B'作于点E

•••旋转，

AB=ABj?BAB90?,

...N8AC+N3'AC=90°,且？BMC2ABE90?,

/.ABAC=ZAB'E,且？AE济2ACB90?,AB=AB',

：.NABC^IB^AE（A4S）

AC=B'E=4,

•••SvA8t=；4C?B!fc；仓也4=8.

故选：B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用旋转的性质解决问题是本题的关键.

10.如图是二次函数丫=加+以+。（4*0）图象一部分，对称轴为x=g,且经过点（2,0）.下列说

法：①abc<。；②-2〃-c=0；③4a+2〃+cV0；④若（-g，力），（~'»）是抛物线上的两点，贝!Iyi

<丫2；⑤（am+b）（其中〃?#［）.其中正确的是（）

42

A①④⑤B.①②④C.@@③D.③④⑤

【答案】A

【解析】

【分析】根据抛物线开口方向得到〃<0,根据抛物线的对称轴得6=-4>0,则2〃4=0,根据抛物线与y轴

的交点在x轴上方得到c>0,则〃儿<0,于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与x轴的交点，求得另

一个交点，由根与系数的关系即可得出c=-2a,则得到-2b+c=0,于是可对②进行判断；由于经过点（2,

0）,则得到4〃+2M0,则可对③进行判断；通过点祐,y,，,为离对称轴的远近对④进行判

断.根据抛物线的对称轴为直线开口向下，得到当x时，y有最大值，所以

22

-，由代入则可对⑤进行判断.

【详解】解：抛物线开口向下,

：.a<0,

b1

V抛物线对称轴为直线x=-一=-,

2a2

b=-a>0f

:抛物线与y轴的交点在x轴上方，

：.ahc<0,所以①正确；

:对称轴为％=且经过点（2,0）,

2

.•.抛物线与x轴的另一个交点为（-1,0）,

・工£=-1x2=-2,

a

-2h-c=2a+2a=4a<0,所以②错误；

・・,抛物线经过点（2,0）

；・1x=2时,j=0,

.\4a+2b+c=09所以③错误；

:点（-3,yJ离对称轴要比点）离对称轴要远,

，yiVy2,所以④正确.

•••抛物线的对称轴为直线x=-,

2

.•.当X时，y有最大值,

—a+—b+c>am2+bm+c^i?

42楸2

—a+—b>am2+bm^i<l

42赫2

•；a=-b

>〃2(a/"+b),

£

b>m(atn+b),所以⑤正确;

4

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数产渥+少计。（a#0）,二次项系数”决定抛物

线的开口方向和大小，当。＞0时，抛物线向上开口；当4＜0时，抛物线向下开口；一次项系数。和二次

项系数。共同决定对称轴的位置：当。与b同号时（即外＞0）,对称轴在y轴左；当。与b异号时（即劭

＜0）,对称轴在y轴右.（简称：左同右异）.抛物线与y轴交于（0,c）.抛物线与x轴交点个数：△=◎

4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=〃-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=/{4或＜0时，抛物

线与x轴没有交点.

二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）

11.某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2,0.00000164用科学记数法表示为

【答案】1.64x106

【解析】

【分析】根据科学记数法的要求，将一个数字写成4X10"的形式，其中理同＜10,〃为整数.

【详解】解：0.00000164=1.64x10-6,

故答案是：1.64x106.

【点睛】本题考查了小数的科学记数法表示，熟记指数”是左边第一个非零数字前面数字零个数的相反数

是解题的关键.

12.若关于x的一元二次方程仅一l)/+2x-1=0有两个不相等的实数根，则Z的取值范围是

【答案】%>0且无

【解析】

【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式建立关于火的不等式组，解之即可得出答案.

【详解】解：•.•关于X的方程(左一1)%2+2%-1=0是一元二次方程且有两个不相等的实数根，

.%-1。0

22-4(^-1)X(-1)>0，

解得，女〉0且AK1.

故答案为2>()且4N1.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式.牢记一元二次方程二次项系数不等于零及根的判

别式的性质是解题的关键.

13.在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球.这些球除颜色外都相同.若从袋子中随机摸出1个

球，摸到红球的概率为：2，则。=.

【答案】8

【解析】

【分析】直接利用概率公式列出概率计算式，即可求出a的值.

【详解】解：由题意可知从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为“一，

4+4

a2

••=,

。+43

a=8>

故答案为：8.

【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出

m

现m种结果，那么事件A的概率P(A)=—.

n

14.已知：如图，AB//EF,ZABC=15°,ZCDF=135°,则N8C£>=度.

【答案】30

【解析】

【分析】本题可利用两直线平行，同位角相等求解NEGC,继而根据邻补角定义求解/CDE,最后根据外

角定义求解NBCD.

【详解】令BC与EF相交于G点，如下图所示：

ABHEF/ABC=15\ZCDF=135°,

NEGC=NABC=75°,ZEDC=180°-ZCDF=180°-135°=45°,

又•/ZEGC=ZBCD+ZEDC,

Z.ZBCD=75°-45°=30°,

故答案：30.

【点睛】本题考查直线平行的性质，外角以及邻补角定义，难度一般，掌握一些技巧有利于解题效率，例

如见平行推角等.

15.若一个正多边形的每一个外角都是40。，则这个正多边形的内角和等于一.

【答案】1260。

【解析】

【详解】•••一个多边形的每个外角都等于40。，

,多边形的边数为360。+40。=9,

，这个多边形的内角和=180。、(9-2)=1260。

1Q

16.如图，点A在反比例函数以=—(x>0)的图象上，过点A作A5_Lx轴，垂足为B,交反比例函数

x

必=9(x>0)的图象于点C.点P为y轴上一点，连接PA,PC,则的面积为一.

X

【答案】6

【解析】

【分析】连接OA和0C,利用三角形面积可得AAPC的面积即为△AOC的面积，再结合反比例函数中系

数k的意义，利用SAAOC=SAOAB-SAOBC,可得结果.

【详解】解：连接0A和0C,

•••点P在y轴上，ABLx轴，

；.AB〃y轴，

则4AOC和4APC面积相等，

।o6

,.,人在必=—（x>0）±,C在％=—（%>。）上，ABJ_x轴，

xx

SAAOC-SAOAB-SAOBC=9-3=6,

...△APC的面积为6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键.

17.如图，在矩形A8CD中，AB=5,BC=7,点E为BC上一动点、,把aABE沿AE折叠当点B的对应点

5'落在NAOC的角平分线上时，则点9到BC的距离为.

【答案】2或1##1或2

【解析】

【分析】连接B'D，过点3'作EM_L49于相设0M=B'M=x,贝IAM=7-x,根据等腰直角三角形

的性质和折叠的性质得到：（7-x）2=254,通过解方程求得x的值，易得点8'到BC的距离.

【详解】解：：矩形ABCC,

\AB=CD,AD=BC,?ADC90?,

连接8'。，过点"作8'M_LAD于M.

D

点B的对应点5'落在N4OC的角平分线上，

\?ADB45??MB^D,

\DM=B^M,

...设0M=8'M=x,贝UAM=7-x,又由折叠的性质知AB=A3'=5,

二在直角△AMB'中，

由勾股定理得到：AM2=AB^-BM2<即(7-x)2=25-/,

解得：xi=3,X2=4,

则点B'到BC的距离为5-3=2或5-4=1.

故答案为：2或1.

【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的

形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键.

18.如图，点4,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点，BC=1,点M为线段

AC的中点，连接OM,则OM的最大值为

【解析】

【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的。B上，通过画图可知，C在8。与圆B的交点

时，OM最小，在。8的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论.

【详解】解：如图，

•点C为坐标平面内一点，BC=\,

••.C在。B上，且半径为1,

取03=04=2,连接CO,

：.OM^-CD,

2

当。例最大时，即CO最大，而。，B,C三点共线时，当C在OB的延长线上时，。例最大，

'：OB=OD=2,NBO£>=90°,

：.BD=2yf2，

.•.8=20+1,

OM——CD—H—,

22

即OM的最大值为行+,；

2

故答案为V2H—.

2

【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定0M为最大值时点C的位置是

解题的关键，也是难点.

三、解答题(第19题10分，第20题12分，共22分)

(\-、\-a

19.先化简，再求值：----a--a+\k-一，其中。是关于x的方程公―2x—3=0的根.

IQJa~+a

【答案】a2+2a+l；16

【解析】

【分析】首先将括号里面通分，进而因式分解各项，化简求出即可.

(\-a八1-a

［详解］解:------Q+1—

VaJa+a

1-a—1)Q(Q+1)

aa1-a

+Q(Q+1)

a1-

=（a+1）-

=a2+2a+1

是关于x的方程x2—2x—3=0的根，

a2-2a-3=0,

/.a=3或a=-l,

Va2+a^0,

/.a#-l,

a=3,

原式=9+6+1=16.

【点睛】此题主要考查了分式的化简求值以及一元二次方程的解，正确化简分式是解题关键.

20.某中学全校学生参加了校园安全知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生

的成绩，分为四组：A：60<r<70；B：70<r<80；C：80<x<90；D：90<r<100,其中x表示学生竞赛成

绩，并绘制出如下所示的两幅不完整的统计图.

学生竞赛成绩条形统计图学生竞赛成绩扇形统计图

根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次调查一共随机抽取了名学生，在扇形统计图中，。组所在扇形的圆心角为度；

（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；

（3）若该校有3600名学生，估计这次竞赛成绩在A组的学生有多少名？

（4）。组100分的学生有四名，其中三名男生，一名女生，李老师计划从这四名学生中随机抽取两人去做

宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽中一男一女的概率.

【答案】（1）200；198

（2）见解析（3）288名

（4）y

【解析】

【分析】（1）根据8组的人数和B组的人数占比即可求出调查的总人数；再利用360度乘以。组的人数占

比即可得到。组所在扇形的圆心角度数;

（2）先求出C组的人数，然后补全统计图即可；

（3）用3600乘以样本中A组人数的占比即可得到答案；

（4）先列表找到所有的等可能的结果数，然后找到恰好选中一男一女的结果数，最后根据概率计算公式

求解即可.

【小问1详解】

解：44+22%=200名，

...此次调查一共随机抽取了200名学生，

，在扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角为360。x黑=198°,

故答案为：200；198；

【小问2详解】

解：C组的学生为200-16-44-110=30名，

补全统计图如下：

学生竞赛成绩条形统计图

【小问3详解】

解：3600x也=288名,

200

.••估计这次竞赛成绩在A组的学生有288名;

【小问4详解】

解：列表如下:

女男1男2男3

女（男1,女）（男2,女）（男3,女）

男1（女，男1）（男2,男1）（男3,男1）

男2（女,男2）（男1,男2）（男3,男2）

男3（女，男3）（男2,男3）（男2,男3）

由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好孑由中一男一女的结果数为6种，

...恰好抽到一男一女的概率为刍=’.

122

【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概

率，正确读懂统计图是解题的关键.

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21.在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款

购买A、8两种防疫物品.如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45

件，8种物品30件，共需840元.

（1）求4、B两种防疫物品每件各多少元；

（2）现要购买A、8两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么4种防疫物品最多购买多少

件？

【答案】（1）购买A、8两种防疫物品每件分别为16元和4元；（2）最多购买A种防疫物品383件.

【解析】

【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“拟用这笔捐款购买A、8两种防疫物

品.如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，3种物品30件，

共需840元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设A种奖品购买〃件，则B种奖品购买（600-«）件，根据总价=单价X购买数量结合总费用不超过

7000元，即可得出关于。的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论.

【详解】（1）设购买A、B两种防疫物品每件分别为x元和y元，根据题意，得：

-60x+45y=1140

'45x+30y=840

答：购买A、B两种防疫物品每件分别为16元和4元.

（2）设购买A种防疫物品。件，根据题意，得：

16«+4（600-«）„7000解得，«<3831,因为〃取最大正整数，所以。=383

答:最多购买A种防疫物品383件.

【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关

系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，找出关于。的一元一次不等式.

22.小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图在矩形广场A8CD边A3的中点〃处有一座雕塑.在某一时刻，

小红到达点P处，爸爸到达点。处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，

若小红到雕塑的距离PM=30〃?，求小红与爸爸的距离PQ.（结果精确到1例，参考数据：必1.41，

621.73，V6«2.45）

【答案】PQ=49根.

【解析】

【分析】过点P作PELBC,则四边形ABEP是矩形，由解直角三角形求出4P=AM=8M=150，则

PE=30也，然后求出PQ即可.

【详解】解：过点P作PE_LBC,如图：

根据题意，则四边形ABEP是矩形，

:.PE=AB，

在Rt^APM中，PM=30,ZAPM=45°,

AP=AM=15y/2>

,••点M是AB的中点，

4P=AM=8M=150，

PE=AB=30也,

在RtZiPEQ中，ZPQE=60°,PE=30亚，

,••止蒜=喈=2。尺49

2

小红与爸爸的距离PQ=49m.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，方位角问题，等腰直角三角形的性质，解题的关

键是利用解直角三角形正确求出各边的长度.

五、解答题(满分12分)

23.如图，在平行四边形ABCD中，ZD=60°,对角线ACJ_BC,G)O经过点A,B,与AC交于点M,

连接AO并延长与。O交于点F,与CB的延长线交于点E,AB=EB.

(1)求证：EC是。0的切线；

(2)若AD=26，求AM的长(结果保留兀).

【答案】（1）见解析；（2）----

3

【解析】

【分析】（1）证明：连接OB,根据平行四边形的性质得到NABC=ND=60。，求得NBAC=30。，根据等

腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到NABO=NOAB=30。，于是得到结论；

（2）根据平行四边形的性质得到BC=AD=26,过O作OH_LAM于H,则四边形OBCH是矩形，解

直角三角形即可得到结论.

【详解】（1）证明：连接0B,

・・・NABC=ND=60。，

VAC±BC,

.,.ZACB=90o,

.\ZBAC=30°,

VBE=AB,

AZE=ZBAE,

NABC=ZE+ZBAE=60°,

AZE=ZBAE=30°,

VOA=OB,

.\ZABO=ZOAB=30°,

.,.ZOBC=30°+60°=90°,

AOB±CE,

・・・EC是。O的切线；

(2),・•四边形ABCD是平行四边形,

・・・BC=AD=2G

过O作OH1.AM于H,

则四边形OBCH是矩形，

.•・OH=BC=25

OH

・・.OA=---------=4,ZAOM=2ZAOH=60°,

sin60

....7的长度60•乃x44〃

【点睛】本题考查了切线的判定，锐角三角函数，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，弧长的计算，

正确的作出辅助线是解题的关键.

六、解答题（满分12分）

24.网络销售己经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进行直播

销售板栗.为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买

者.已知该板栗的成本价格为6元/依，每日销售量y（总）与销售单价x（元/依）满足关系式：y=-

lOOx+5000.经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/版.当每日销售量不低于4000依时，

每千克成本将降低1元.设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）.

（1）请求出日获利卬与销售单价x之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？

--100%2+5500%-27000（6<x<10）

【答案】（1）W=<2;（2）当销售单价定为28元时，销售这种板栗日

-100x2+5600%-32000（10<x<30）

获利最大，最大利润为46400元.

【解析】

【分析】（1）分两种情况讨论，由日获利=销售单价X数量，可求解；

（2）分两种情况讨论，由二次函数的性质，分别求出6WxW10和10VxW30时的最大利润，即可求解.

【详解】解：（1）当y24000,即-100x+500024000,

当6<xW10时，W=（x-6+1）（-lOOx+5000）-2000=-100^+5500%-27000,

当10<xW30时，W=（x-6）（-100x4-5000）-2000=-lOOr2+5600x-32000,

.\-1OOx2+5500%-27000（6<x<10）

综上所述.w=4,

-100X2+5600X-32000（10<X<30）,

(2)当6WxW10时，W=-100^+5500%-27000--100(x--)2+48625,

2

Va=-100<0,对称轴为x=—>

2

.•.当6WxW10时，)，随x的增大而增大，即当x=10时，卬最大假=18000元,

当10<xW30时，W=-100x2+5600x-32000=-100(x-28)2+46400,

'：a=-100<0,对称轴为x=28,

.•.当x=28时，卬有最大值为46400元，

V46400>18000,

.•.当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

七、解答题(满分12分)

25.如图，AABC是等腰直角三角形，/8AC=90°,点。是8c边的中点.四边形QEFG是正方形，点

A,C分别在3G和DE上，连接AE,BG,将正方形。EFG绕点。逆时针旋转a(0°WaW360°).

(1)如图1,当a=0。时，请直接写出线段BG与AE的关系：：

(2)如图2,当0°<a<45°时，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

(3)在正方形。EFG旋转过程中，OE与直线AC相交于点从若AC=4Q,DE=2®,CH=6,

请直接写出点G到直线AO的距离.

【答案】(1)BG=AE,BG八AE

(2)成立，理由见解析

(3)G到4)的距离为2或2叵.

13

【解析】

【分析】(1)在R/aBDG与&△££%；根据边角功定理易得知△BDG丝RrZXAOE；利用全等三角形的性

质可得结论；

(2)连接A。，根据直角三角形与正方形的性质可得心△BOGgMZXEZM；再利用全等三角形的性质结合

三角形的内角和定理可得结论；

(3)分两种情况讨论，①如图，连接AO并延长，过G作GMLAO于M,过AC,OE的交点H作

HK_LDC于K,证明tan?GOM如图，连接40,过G作GQLAO于Q,过〃作HK_LOC于

K,证明tan?KOHtan?QDG再利用三角函数可得答案.

【小问1详解】

证明：:△ABC是等腰直角三角形，/BAC=90。，点。是的中点,

：.AD±BC,BD=CD,

：.ZADB=ZADC=90Q,AD=DC=DB,

•••四边形OEFG是正方形，

：.DE=DG,

：.^ADE^ABDG(SAS),

；.BG=AE；?BGD?AED,

如图，延长E4交2G于K,

Q?ADC?ADB90?,

\2BGD1GBD90??AED?GBD,

\?BKE90?,

\AEABG.

【小问2详解】

成立；理由如下：如图2,连接AO,

由（1）知A£>=B。，ADLBC.

ZADG+ZGDB=90a.

•.•四边形EFGO为正方形，

：.DE=DG,且NGDE=90°.

，NAOG+NADE=90°

，ZBDG=ZADE.

在△BOG和△?!£)£■中，

；BD=AD,ZBDG=ZADE,GD=ED,

：./\BDG^/\ADE(SAS)

:.AE=BG；?BGD?AED,

延长E4交BG于K,交。G于M,

Q?GMK?EMD,

\?GKM2G