高中数学第二章第五课时向量的数乘(二)教案苏教版必修4

第五课时向量的数乘(二)教课目的：掌握实数与向量的积的运算律，理解实数与向量积的几何意义，理解两个向量共线的条件，可以运用两向量共线条件判断两向量能否平行并能娴熟运用.教课要点：实数与向量积的运用.教课难点：实数与向量积的运用.教课过程：Ⅰ.复习回首上一节，我们一同学习了实数与向量的积的定义及运算律，并认识了两向量共线的条件.这一节，我们将在上述知识的基础长进行详细运用.Ⅱ.讲解新课［例1］已知ABCD，E、F分别是DC和AB的中点，求证：AE∥CF.证明：由于E、F为DC、AB的中点，→1→→1→∴DE＝2DC，BF＝2BA，由向量加法法例可知：→→→→CF＝CB＋BF＝CB＋

→→→→1→AE＝AD＋DE＝AD＋2DC，→BA.∵四边形为平行四边形，∴→＝－→，→＝－→，ABCDADCBDCBA→→1→→1→→∴AE＝－CB－2BA＝－(CB＋2BA)＝－CF→→∴AE∥CF，∴AE∥CF［例2］已知的对角线AC和BD订交于点，证明＝，ABCDOAOOCBOOD.剖析：此题考察两个向量共线的充要条件，实数与向量积的运算以及平面向量基本定理的综合应用.证明：∵A、O、C三点共线，B、O、D三点共线，→→→→∴存在实数λ和μ，使得AO＝λAC，BO＝μBD.→→→→设AB＝a，AD＝b，则AC＝a＋b，BD＝b－a→→∴AO＝λ(a＋b)，BO＝μ(b－a).→→→又∵AB＋BO＝AO，∴a＋μ(b－a)＝λ(a＋b)，即(1－μ－λ)a＋(μ－λ)b＝0，又∵a与b不共线，由平面向量基本定理，10，0∴μ＝λ＝1，∴＝1，＝1，2AO2ACBO2BD即AO＝OC，BO＝OD.1［例3］已知G为△ABC的重心，P为平面上任一点，求证：PG＝3(PAPB＋PC).证明：如图，设△ABC三条中线分别为AM、BK和CL，则易知AM＝3GM，由向量中线公式有：→＝1(→＋→)，→＝1(→＋→)，GM2GBGCAM2ABAC∴→＋→＝1(→＋→)①GBGC3ABAC→→1→→同理可得GA＋GB＝3(CA＋CB)②→→1→→GA＋GC＝3(BA＋BC)③→→→由式①＋②＋③得：2(GA＋GB＋GC)1→→→→→→＝3(AB＋BA＋AC＋CA＋CB＋BC)＝0→→→∴GA＋GB＋GC＝0→→→→∴3PG＝PG＋PG＋PG→→→→→→＝(PA＋AG)＋(PB＋BG)＋(PC＋CG)→→→→→→→→→＝(PA＋PB＋PC)＋(AG＋BG＋CG)＝PA＋PB＋PC1PG＝3(PA＋PB＋PC).［例4］AD、BE、CF是△ABC的中线，若直线EG∥AB，FG∥BE.求证：AD∥GC.＝证明：如图，由于四边形BEGF是平行四边形.→→因此FB＝GE又由于

D是

BC的中点，因此

→→BD＝DC，→→→→因此AD－AB＝AC－AD，→1因此AD＝2(

→→→→→→→AB＋AC)＝FB＋EC＝GE＋EC＝GC因此AD∥GC.＝［例5］设四边形ABCD的两对角线AC、BD的中点分别是E、F，求证：11｜AB－CD｜≤EF≤2(AB＋CD).→→→证明：如图，∵EF＝EA＋AB＋BF，→→→→EF＝EC＋CD＋DF，→→→→→→→∴2EF＝(EA＋EC)＋(AB＋CD)＋(BF＋DF)∵、F分别是、的中点，∴→＋→＝0，→＋→＝0，EACBDEAECBFDF→1→→∴EF＝2(AB＋CD)→→→→→→又∵｜｜AB｜－｜CD｜｜≤｜AB＋CD｜≤｜AB｜＋｜CD｜，1→→→1→→∴2｜｜AB｜－｜CD｜｜≤｜EF｜≤2(｜AB｜＋｜CD｜)，11即2｜AB－CD｜≤EF≤2(AB＋CD)..讲堂练习课本P68练习1，2，3.Ⅳ.课时小结经过本节学习，要修业生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的简单应用.Ⅴ.课后作业课本P69习题9，10，12，13向量的数乘1．已知D中，点E是对角线上凑近A的一个三平分点，设→＝，ABCACEAa→＝b，则向量BC等于EB（）A.2a＋bB.2a－bC.b－2aD.－b－2a→5e→→→11（）A.平行四边形B.等腰梯形C.菱形D.梯形但两腰不相等→→3．设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC＝a，CA＝b，→1→1→11给出以下命题：①AB＝－2a－b②BE＝a＋2b③CF＝－2a＋2b→→→此中正确的命题个数为④AD＋BE＋CF＝0.（）A.1B.2C.3D.44．若O为平行四边形→→3e2－2e1等于ABCD的中心，AB＝4e1，BC＝6e2，则（）A.→B.→C.→D.AOBOCO→DO5．已知向量a，b不共线，实数x，y知足等式3xa＋(10－y)b＝2xb＋(4y＋7)a，则x＝，y＝.6．在△中，→＝1→，∥交→于点F，设→＝，→＝，用a、bABCAE5ABEFBCACABaACb表示向量→为.BF7．若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则实数k的值为.→1→8．已知随意四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC的中点，求证：EF＝2（AB→＋DC）.BC→→9．在△OAB中，C是AB边上一点，且CA＝λ(λ>0)，若OA＝a，OB＝b，试→用a，b表示OC.→→→→→→10．如图，OA＝a，OB＝b，AP＝tAB（t∈R)，当P是（1）AB中点，（2）AB的三平分点（离→A近的一个）时，分别求OP.向量的数乘答案471611．D2．B3．C4．B5．11116．－a＋5b7．±1→1→8．已知随意四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC的中点，求证：EF＝2（AB→＋DC）.证明：∵

→→→→→→→→EF＋FC＋CD＋DE＝0，EF＋FB＋BA＋AE＝0→→→→→→→→∴EF＝ED＋DC＋CF，EF＝EA＋AB＋BF两式相加，→→→→→→→2EF＝ED＋EA＋DC＋AB＋CF＋BF→→→→∵ED＋EA＝0，CF＋BF＝0→1→→∴EF＝2（AB＋DC）.BC→→9．在△OAB中，C是AB边上一点，且CA＝λ(λ>0)，若OA＝a，OB＝b，试→用a，b表示OC.解：→＝1(b＋λa)OC1＋λ→→→→→→10．如图，OA＝a，OB＝b，A