2023年安徽省铜陵市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2023年安徽省铜陵市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.设y=sinx，则y'|x=0等于()．A.1B.0C.-1D.-2

2.A.eB.e-1

C.e2

D.e-2

3.

4.

5.微分方程y′-y=0的通解为()．

A.y=ex+C

B.y=e-x+C

C.y=Cex

D.y=Ce-x

6.

7.

8.

9.A.A.

B.e

C.e2

D.1

10.当x→0时，x是ln(1+x2)的

A.高阶无穷小B.同阶但不等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小

11.设f(x)在点x0处连续，则下面命题正确的是()A.A.

B.

C.

D.

12.

13.微分方程y'+y=0的通解为y=A.e-x+C

B.-e-x+C

C.Ce-x

D.Cex

14.

15.

16.当x→0时，x2是2x的A.A.低阶无穷小B.等价无穷小C.同阶但不等价无穷小D.高阶无穷小

17.

18.

19.设z=x2y，则等于()。A.2yx2y-1

B.x2ylnx

C.2x2y-1lnx

D.2x2ylnx

20.曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为()

A.-1B.-2C.-3D.-4

二、填空题(20题)21.设，则y'=______。

22.

23.

24.

25.过点M0(1，-2，0)且与直线垂直的平面方程为______．

26.设z=tan(xy-x2)，则=______．

27.

28.

29.

30.

31.当x=1时，f(x)=x3+3px+q取到极值(其中q为任意常数），则p=______.

32.

33.

34.

35.

36.

37.设y=f(x)在点x=0处可导，且x=0为f(x)的极值点，则f'(0)=______．

38.设函数y=y(x)由方程x2y+y2x+2y=1确定，则y'=______．

39.过点Mo(1，-1，0)且与平面x-y+3z=1平行的平面方程为_______.

40.过原点且与直线垂直的平面方程为______．

三、计算题(20题)41.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

42.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

43.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

44.

45.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

46.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

47.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

48.

49.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

50.

51.证明：

52.

53.

54.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

55.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

56.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

57.

58.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

59.

60.求微分方程的通解．

四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.求微分方程xy'-y=x2的通解．

65.

66.某厂要生产容积为Vo的圆柱形罐头盒，问怎样设计才能使所用材料最省?

67.

68.

69.

70.求曲线y=在点(1，1)处的切线方程．

五、高等数学(0题)71.zdy一ydz=0的通解_______。

六、解答题(0题)72.求y=xex的极值及曲线的凹凸区间与拐点．

参考答案

1.A由于

可知应选A．

2.C

3.B

4.B解析：

5.C所给方程为可分离变量方程．

6.C

7.B

8.B解析：

9.C本题考查的知识点为重要极限公式．

10.D解析：

11.C本题考查的知识点有两个：连续性与极限的关系；连续性与可导的关系．

连续性的定义包含三个要素：若f(x)在点x0处连续，则

(1)f(x)在点x0处必定有定义；

(2)必定存在；

(3)

由此可知所给命题C正确，A，B不正确．

注意连续性与可导的关系：可导必定连续；连续不一定可导，可知命题D不正确．故知，应选C．

本题常见的错误是选D．这是由于考生没有正确理解可导与连续的关系．

若f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处必定连续．

但是其逆命题不成立．

12.C

13.C

14.A

15.D

16.D

17.C

18.D解析：

19.A本题考查的知识点为偏导数的计算。对于z=x2y，求的时候，要将z认定为x的幂函数，从而可知应选A。

20.C由导数的几何意义知，若y=f(x)可导，则曲线在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且该切线的斜率为f"(x0)。由于y=x-3，y"=-3x-4，y"|x=1=-3，可知曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为-3，故选C。

21.本题考查的知识点为导数的运算。

22.

23.(-22)(-2，2)解析：

24.

解析：

25.3(x-1)-(y+2)+z=0(或3x-y+z=5)本题考查的知识点为平面与直线的方程．

由题设条件可知应该利用点法式方程来确定所求平面方程．

所给直线l的方向向量s=(3，-1，1)．若所求平面π垂直于直线l，则平面π的法向量n∥s，不妨取n=s=(3，-1，1)．则由平面的点法式方程可知

3(x-1)-[y-(-2)]+(z-0)=0，

即3(x-1)-(y+2)+z=0

为所求平面方程．

或写为3x-y+z-5=0．

上述两个结果都正确，前者3(x-1)-(y+2)z=0称为平面的点法式方程，而后者3x-y+z-5=0称为平面的一般式方程．

26.

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

z=tan(xy-x2)，

27.

28.

29.3yx3y-1

30.

31.-1f'(x）=3x2+3p，f'(1)=3十3p=0,所以p=-1.

32.

解析：

33.

34.

本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

注意此处幂级数为缺项情形．

35.(-∞0]

36.

37.0本题考查的知识点为极值的必要条件．

由于y=f(x)在点x=0可导，且x=0为f(x)的极值点，由极值的必要条件可知有f'(0)=0．

38.

；本题考查的知识点为隐函数的求导．

将x2y+y2x+2y=1两端关于x求导，(2xy+x2y')+(2yy'x+y2)+2y'=0，(x2+2xy+2)y'+(2xy+y2)=0，因此y'=

39.由于已知平面的法线向量，所求平面与已知平面平行，可取所求平面法线向量，又平面过点Mo(1，-1，0)，由平面的点法式方程可知，所求平面为

40.2x+y-3z=0本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系．

由于已知直线与所求平面垂直，可知所给直线的方向向量s平行于所求平面的法向量n．由于s=(2，1，-3)，因此可取n=(2，1，-3)．由于平面过原点，由平面的点法式方程，可知所求平面方程为2x+y-3z=0

41.由二重积分物理意义知

42.

列表：

说明

43.

44.

45.

46.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

47.由等价无穷小量的定义可知

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

55.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

56.函数的定义域为

注意

57.由一阶线性微分方程通解公式有

58.

59.

则

60.

61.

62.解

63.

64.将方程化为标准形式本题考查的知识点为求解一阶线性微分方程．

求解一阶线性微分方程常可以采用两种解法：

65.

66.解设圆柱形罐头盒的底圆半径为r，高为h，表面积为S，则

67.

68.

69.解

70.由于

所以

因此曲线y=在点(1，