江苏省2022中考数学冲刺复习-21解答题基础必刷60题③

21解答题基础必刷60题③

二十四.圆的综合题(共3小题)

41.(2022•玄武区一模)旋转的思考

【探索发现】

(1)已知AABC,将AABC绕点A逆时针旋转得到△WC.小美，小丽探索发现了下列

结论.

小美的发现如图①，连接对应点明，CC,则0竺=逆.

CCAC

小丽的发现如图②，以A为圆心，边上的高A£＞为半径作0A,则厅。与GM相切.

(i)请证明小美所发现的结论.

(ii)如图②，小丽过点A作夕。，垂足为。.证明途径可以用下面的框图表示，

请填写其中的空格.

【问题解决】

(2)在RtAABC中，Z4=9O°,AB=&AC=2也,M是AC的中点，将A48C绕点M

逆时针旋转得到^AB'C.

(i)如图③，当边B'C'恰好经过点C时，连接BB',则S3'的长为—.

(ii)在旋转过程中，若边8'C'所在直线/恰好经过点3,请在图④中利用无刻度的直尺和

圆规作出直线/.(保留作图痕迹，不写作法)

【拓展研究】

(3)在(2)的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线88',CC'交于点尸，则BP的最大

值为—.

1/38

42.(2022•中山市二模)如图，点C是以A3为直径的半圆。上的动点，OB=2回,连接

BC,OC,AC,点。是BC上一动点，连接C£>,,且4)与OC相交于点F,过点C

作CE与84的延长线交于点E，使得ZEG4=ACDA.

(1)求证：CE是的切线；

(2)当四边形CE4D是平行四边形时，判断A4OC形状，并说明理由；

(3)当点F为OC中点且NCA£>=45。时，求AF的长.

43.(2022•平乐县模拟)在RtAABC中，ZACS=90°,OA平分N8AC交8c于点O,以O

为圆心，OC长为半径作圆交BC于点£).

(1)如图1,求证：为0。的切线；

(2)如图2,他与OO相切于点E,连接£>£.求证：DEHAO-,

(3)连接CE,交于点若OF:FC=1:2,求tanB的值.

2/38

二十五.作图一复杂作图（共2小题）

44.（2022•蜀山区二模）如图，RtAABC内接于OO,ZACB=90°,直线/与OO相切于点

C.

（1）尺规作图：求作直线机，使得直线交劣弧于点交弦8c于点E,交直

线/于点尸；（保留作图痕迹，不写作法）

3C=8,DE=2,求Z)p的长.

45.（2022•扬州一模）（1）①如图1,AABC中，点P在他上，请用无刻度的直尺和圆规

在AC上作一点。，使得点。到尸、C两点的距离相等（保留作图痕迹）;

②在所作的图中，若Z4C8=120。，CP平分NAC8,CP=\,NA、N3所对的边记为a、

b,试说明a+Z?=a〃；

（2）如图2,AABC中，ZACB=90°,CP平分NAGB,点。到P、C两点的距离相等,

若CP=2应,AC=6,求AABC的周长.

3/38

二十六.命题与定理（共1小题）

46.（2022•兰州模拟）如图，3。平分NABC,点E在比）上.从下面①②③中选取两个作

为已知条件，另一个作为结论，构成一个命题，判断该命题真假并说明理由.

①ZA=ZD；②BA=BD；®AE=DC.

你选择的已知条件是—，结论是—（填写序号）；该命题为—（填“真”或“假”

）命题.

二十七.旋转的性质（共1小题）

47.（2022•相城区一模）如图，等腰RtAABC中，AC=BC,ZACB=9O°.点。为斜边AB

上一点（不与A,3重合）连接CD,将线段CD绕点C顺时针方向旋转90。至CE,连接AE.

（1）求证：AAEC=ABZX7；

(2)若AD:BD=6：1,求NAEC的度数.

二十八.中心对称（共1小题）

48.（2022•泗水县一模）有一张矩形纸片438,E,尸分别是边BC,AD上的点（不与

顶点重合），如图所示，若EF将矩形AfiCZ）分成面积相等的两部分.求证：AF=EC.

4/38

二十九.作图-旋转变换(共1小题)

49.(2022•兴宁区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，A4BC的三个顶点坐标分别为

4L3),8(2,5),C(4,2)(每个方格的边长均为1个单位长度)

(1)将AABC平移，使点A移动到点4，请画出AAqG；

(2)作出AABC关于。点成中心对称的△A&C?,并直接写出人，B2,G的坐标;

(3)△A4G与△&约G是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说

明理由.

三十.相似形综合题(共1小题)

50.(2022•沁阳市模拟)在AABC中，AB=AC,44C=c,点P是平面内不与点3,C

重合的一动点，连接PC,将线段PC绕点尸顺时针旋转夕得到线段PQ,连接BQ,CQ,

AP,点M,N分别是线段C8,CQ的中点，连接MN.

(1)【观察猜想】如图1,当点P与点5在直线C4两侧，o=60。时，出的值是，

PA----

直线MN与直线P4所成的锐角的度数是一；

(2)【类比探究】如图2,当点P与点3在直线C4两侧，a=120。时，求皿的值及直线

PA

与直线R4所成的锐角的度数；

5/38

（3）【解决问题】当点P在直线3c上方，a=90°,且点A,P,。在同一条直线上时,

连接成，已知之叱=；5瓯“，请直接写出嗡的值•

三十一.特殊角的三角函数值（共3小题）

51.（2022•常州模拟）计算：2sin6O°+3tan3O°-tan245°.

52.（2022•北京一模）计算:3tan300-tan245°+2sin60°.

53.（2022•淮安区模拟）计算：

(1)2cos300+4sin300-tan60°；

（2）3tan300+tan450-2sin60°.

三十二.解直角三角形的应用（共1小题）

54.（2019•高淳区二模）高淳固城湖大桥采用”型塔型斜拉桥结构（如甲图），图乙是从图

甲抽象出的平面图.测得拉索A3与水平桥面的夹角是45。，拉索8与水平桥面的夹角是

65。，两拉索顶端的距离AC为2米，两拉索底端距离瓦）为10米，请求出立柱A”的长（结

果精确到01米）.

（参考数据：sin65°®0.91,cos65°«0.42,tan65°«2.14）

三十三.解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）

55.（2022•铜仁市模拟）如图（1）是一天桥的梯步图，为了方便残疾人出行，准备对梯步

进行改建降低坡度，绘制了如图（2）的侧面示意图，点A为梯步顶端，点C为梯步底端,

垂直于水平地面3C，并测得NACB=40。，C8=5米.要使改建后的梯步与水平面的夹

6/38

角NADC=36。，求梯步底端向外延伸的长度DC(精确到0.1米，sin36°»0.588,

tan36°»0.727,cos40°®0.766,tan40°«0.839).

图1

三十四.解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）

56.（2022•榆次区一模）一款被称作“小蛮驴”的智能送快递机器人本学期在我省某高校投

入使用，据悉“小蛮驴”兼具人工智能和自动驾驶技术.如图，点A为该校快递收纳站点，

点8,C分别为两处宿舍楼，“小蛮驴”将会从点A出发，沿着A-8-C-A的路径派送快

递.已知点5在点A的正北方向，点C在点A的北偏东20。方向，在点B的北偏东60。方向，

点5与点C相距1000米，求点A到点B的距离.（结果精确到1加，参考数据：sin20°»0.34，

cos20°«0.94,tan20°«0.36,6al.73)

A

三十五.频数（率）分布表（共1小题）

57.（2022•龙华区校级一模）为提高教育质量，落实立德树人的根本任务，中共中央办公厅、

国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》,

为切实减轻学生课后作业负担，某中学教务处随机抽取了七、八、九年级部分学生并对这些

学生家庭作业所用时间进行了调查.现将调查结果分为A、8、C、。、£组.同时，将

调查的结果绘成了两幅不完整的统计图.请你根据以上信息，解答下列问题：

（1）表格中的，〃=，扇形统计图中的〃=.

（2）所抽取的学生完成家庭作业的众数为组别—.

（3）已知该校有学生2600人，请你估计该校有多少人的家庭作业时间在1.5小时以内？

7/38

组别人数时间（小时）

A20(1,r<0.5

B400.5„t<1

Cm1„r<1.5

D121.5,,，<2

E82,,t

三十六.条形统计图（共2小题）

58.（2022•开封一模）某市按照《关于切实做好2022年初中毕业升学体育考试工作的通知》，

要求从“立定跳远”、“篮球运球”、“双手正面实心球”、“足球运球”四个项目任选其一报名

考试.某校为了了解九年级学生任选项目的报名情况，把上述四个项目依次记为A,B,C,

D,根据调查统计结果，绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计（部分信息未给出）.

请根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）参与本次问卷调查的总人数为—人，在图（2）中C,。所占的圆心角度数应分别

为—，—

（2）请补全图（2）中的扇形统计图.

（3）若该市九年级有20000名学生，请估计该市九年级选“足球运球”的学生人数.

（4）请根据该校九年级目前的选择情况，对学校的相关部门在购置体育训练器材方面提出

一条合理化建议.

8/38

人数

59.（2022•官渡区一模）为培养学生良好的运动习惯，提高学生的身体素质，我校开展了“花

样跳绳”和“春季长跑”等体育活动.体育老师随机抽取了八年级男、女各60名学生的长

跑成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息:

数据分为A,B,C,。四个等级，分别是：A:96轰上100,B:90„x<96,C:80„x<90,

£>:Q,x<80,

60名男生成绩的条形统计图以及60名女生成绩的扇形统计图如图:

抽取的女生成绩扇形统计图

95,94,94,94,92,91,90,90.

60名男生和60名女生成绩的平均数，中位数，众数如表:

性别平均数中位数众数

男生94a96

女生959496

根据以上信息，解答下列问题:

填空：a

(2)计算抽取的男生成绩在3等级的人数，并补全条形统计图.

(3)根据以上数据，你认为在此次活动中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由（说

9/38

明一条理由即可）.

（4）若该年级有800名学生，估计成绩为A等级的学生约为一人.

三十七.统计图的选择（共1小题）

60.（2022•鼓楼区一模）2022年2月6日，中国女足在决赛落后2球的不利局面下，顽强

拼搏，最终3:2战胜韩国队，勇夺亚洲杯冠军！

晋级女足世界杯决赛圈3次及以上的国家队在女足世界杯决赛阶段的比赛结果统计

国家胜场数平局数负场数比赛总场数进球数丢球数

美国40645013838

德国30594412139

挪威24412409352

瑞典32512497148

巴西20410346640

中国16710335332

日/p>

（1）根据表中数据，要清楚地反映不同国家女足比赛总场数的多少，适合的统计图是

要清楚地反映同一国家女足胜场数、平局数、负场数在比赛总场数中所占的百分比，适合的

统计图是—.（在空格上填写合适的代号）

A.条形统计图

B.折线统计图

C.扇形统计图

（2）结合表中数据，从两个不同的角度简要评价中国女足的水平.

【参考答案】

二十四.圆的综合题（共3小题）

10/38

41.(2022•玄武区一模)旋转的思考

【探索发现】

(1)已知AA8C,将AA8C绕点A逆时针旋转得到△A8C.小美，小丽探索发现了下列

结论.

小美的发现如图①，连接对应点即，CC,则竺1=空.

CC'AC

小丽的发现如图②，以A为圆心，3c边上的高AD为半径作QA,则9。与0A相切.

(i)请证明小美所发现的结论.

(ii)如图②，小丽过点A作垂足为。.证明途径可以用下面的框图表示，

请填写其中的空格.

【问题解决】

(2)在RtAABC中，ZA=90°,AB=非,AC=245,V是AC的中点，将AABC绕点M

逆时针旋转得到4A!B'C'.

(i)如图③，当边8'C'恰好经过点C时，连接89，则88'的长为_4丘

(ii)在旋转过程中，若边3'C'所在直线/恰好经过点5,请在图④中利用无刻度的直尺和

圆规作出直线/.(保留作图痕迹，不写作法)

【拓展研究】

(3)在(2)的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线BB',CC'交于点P,则3P的最大

值为—.

11/38

.\AB=AB,,AC=AC,ZBAB,=ZCAC,

.ABAg

-AC~AC*

・・・NBAB=ZC4C,

...AAB笈SAAC。.

.BB'_AB

~CC~~AC'

(ii)证明：・.・A4BC=△AB'。，

:.AB=AB.NB=/B

\-ZADB=ZADB,=90°,

:.AD=AD,

・・・47是G)A的半径，A〃_L9C,

「.笈。是OA的切线.

故答案为：ZB=Z^,AD=AD；

(2)解：(i)如图3中，连接BW,MB,过点M作M〃_LCC于点

12/38

cz

/.BM=贬AB=Vio,

・；MC=MC=y5,tanC=-=^~,

2CH

=HC=CH=2,

；.CC=2CH=4,

由旋转变换的性质可知，MB=MB,ABMB=/CMC,

:.gMBs/^cC,

.BB，BM

~CC~~CM，

BB，_屈

--=--7=~，

475

:.BB'=4y/2.

故答案为：4&；

(ii)如图④中，直线/即为所求.

图④

(3)如图⑤中，连接MB,MB.

13/38

图⑤

，ZMBB=ZMCC,

•・•NMBB+NPBM=180°,

/.ZMCC+NPBM=180°,

.\ZBA/C+ZCPB=180°,

・・・AM=A3,ZAz=90°,

.♦.Z/VM3=45。，

/.ZBMC=135°,

;.NCPB=45。,

・・・BC=JAC2+AB?=J(6y+(26)2=5=定值,

点。的运动轨迹是圆，假设圆心为O,连接08,OC,OP.

ZBOC=24cpB=90°，

：.OB=OC=OP=迫,

2

・.・PB„OB+OP=5叵,

尸的最大值为5夜.

故答案为：5夜.

42.(2022•中山市二模)如图，点。是以AB为直径的半圆O上的动点，OB=2M，连接

14/38

BC,OC,AC,点。是BC上一动点，连接CO,AO,且"＞与冗相交于点尸，过点。

作CE与的延长线交于点£,使得NEC4=NCa4.

(1)求证：CE是G)O的切线；

(2)当四边形CE4O是平行四边形时，判断AAOC形状，并说明理由;

(3)当点尸为OC中点且NC4D=45。时，求AF的长.

【解析】（1）证明：・・••为OO的直径,

/.ZACB=90°f

..NOCA+NOCB=90。,

•;OB=OC,

:.NOCB=ZABC,

ZOCA^ZABC=90°f

・.・NABC=NCZM,

.­.ZOC4+ZC7M=90°,

•・・N£C4=NCA4,

.­.ZOC4+ZEC4=90°,

/.ZOCE=90°,

・・・OC为oo的半径，

，C£是G）O的切线；

(2)解：AAOC是等边三角形；理由：如图1,图1

・・,四边形CE4O是平行四边形,

:.CE//AD,CD//AB,

15/38

.\ZCDA=ZDAB,

•.­ZECA=ZCDA,

ZECA=ZDAB,

rCE/IAD,

,\ZECA=ZDAC,

.\ZDAB=ZDAC=ZCDA,

AC=DC,

•・・OC_LAD,

/.ZAFC=ZAFO=90°,

\-AF=AF,

:.\AFC=\AFO{ASA),

/.AC=OA,

・・・OA=OC,

OA=OC—AC，

A40c是等边三角形；

(3)解：如图2,

连接8,

:.OC=OB=OA=OD=2回,

•.•点/是OC的中点，

:.OF=-AC=-OD,

22

-.-ZDAC=45°,

NCOD=9Q。,

过点/作FH_LQ4于〃，

16/38

•/OA=OD，

：.ZOAD=ZODA,

OF1

在RtADOF中，tanZODA=—=一，

OD2

tanZOAD=—,

2

FH1

在RtAHAF中，tanZOAD=—=一，

AH2

设FH=/n,则A4=2〃z,

:.OH=OA-AH=2-J10-2m,

在RtAFHO中，根据勾股定理得，FH1+OH2=OF1,

nr+(2V10-2m)2=(>/io)2,

m=y/lO或m=3^^,

.OF>OH,

m3屈

/.FH=m=------,

5

AH=-6--V--i-o-,

5

根据勾股定理得，AF=y/FH2+AH2=J(粤)？+(缙产=3五.

43.(2022•平乐县模拟)在RtAABC中，ZACB=90°,平分NfiAC交BC于点O,以O

为圆心，OC长为半径作圆交BC于点。.

(1)如图1,求证：为OO的切线；

(2)如图2,与OO相切于点E,连接DE.求证：DE//AO；

(3)连接CE,交OA于点F.若OF:FC=1:2,求tanB的值.

B

图1图2

17/38

【解析】(1)证明：如图1,过点O作于点E,

平分NS4C,OEYAB,ZACB=90°,

OE=OC,

•••oc是00的半径，

.•.A3为。。的切线；

(2)证明：如图2,连接DE,

vZACB=90°,OC是半径,

.〔AC是OO的切线，

•.,/归是。。的切线，

AC=AE,

\-OE=OC,

二.AO垂直平分石C,

•••8是OO的直径，

.\DEA-EC,

:.DE//AO；

18/38

（3）解：如图3,

图3

由（2）可知，AE=AC,AOA.EC,OE=OC,

.OF:FC=i:2,

..设OF=a,则FC=加，OC=ylOF2+FC2

-.-ZFOC=ZCOA,ZOCA=ZCFO=90°,

:.\FOC^\COA,

OCOFan岛1

ACFCAC2

/.AC=2亚a，

:.AE=AC=2岛,OE=OC=y/5a,

由（1）可知AB为OO的切线,

:.OELAB,

.\ZBEO=ZBCA=90°，

..ABEO^ABCA,

BOBEOE.BOBE1

—=—=——,即Hl

ABBCACBE+2喝-80+氐-2

/.BE+2\/5a=2BO,BO+\[5a=2BE,

:.BE=^~a,BO=­a

33

OE45a3

tanB=----=:

BE4后4

—a

3

二十五.作图一复杂作图（共2小题）

19/38

44.（2022•蜀山区二模）如图，RtAABC内接于0O,ZACB=90。，直线/与相切于点

C.

（1）尺规作图：求作直线〃7,使得直线机//4C交劣弧8C于点。，交弦BC于点E,交直

线/于点尸；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的基础上，若4?=10,BC=8,DE=2f求。尸的长.

C

【解析】解：（1）图形如图所示:

1C1F

（2）如图，过点O作交3C于点£,交0O于点。，交中线/于点尸，连接OC.

\OE±BC,

..EC=EB=4,

•,OB=5,

OE=y]OB2-BE2=^52-42=3,

:.DE=OD-OE=2,

20/38

中线机经过圆心o,

•.•直线/是切线，

:.OCVCF,

-,-ZCOF=ZCOE,NCEO=NOCF=9G°,

NOECs^OCF,

:.OC2=OE-OF,

•••7

:.DF=OF-OD=--5=—

33

45.（2022•扬州一模）（1）①如图1,A48C中，点P在AB上，请用无刻度的直尺和圆规

在AC上作一点。，使得点。到P、C两点的距离相等（保留作图痕迹）;

②在所作的图中，若N4CS=120。，CP平分NACB,CP=1,NA、所对的边记为a、

b.试说明a+b=a6：

（2）如图2,A48C中，ZACB=90°,CP平分NAC8,点Q到尸、C两点的距离相等,

若CP=2夜，AC=6,求AABC的周长.

②证明：如图3中，连接CP,过点P作PT//BC交AC于点T.

21/38

A

图3

\PT//CB,

.\ZATP=ZACB=\20°f

.•./PTC=180°-120°=60°,

•・・CP平分ZACB,

.\ZACP=-ZACB=60°,

2

・•・APCT是等边三角形，

・•.PT=PC=CT=1,

\PT//CB,

.•.AATPSAACB,

.AT_PT

••—,

ACBC

b-\1

/.----=一，

ba

：.a+b=ab；

(2)解:如图2中,

图2

vZACB=90°,CP平分ZAC8,

・•.ZPCg=|ZACB=45°,

・・•QC=QP,

NQCP=NQPC=45。,

.・.NCQP=90。,

22/38

•.•CP=2叵,

：.CQ=QP=2,

AQ=AC—CQ=6—2=4,

/.AP=4AQ。+Q产=@+42=26,

■.■PQ//CB,

.AQPQAP

AC-CB-AB"

.4_2_26

"忆一茄一布‘

:.BC=3,AB=345,

.•.AACB的周长为6+3+34=9+36.

二十六.命题与定理（共1小题）

46.（2022•兰州模拟）如图，8。平分NABC,点E在如上.从下面①②③中选取两个作

为已知条件，另一个作为结论，构成一个命题，判断该命题真假并说明理由.

®ZA=ZD：②BA=BD；®AE=DC.

你选择的已知条件是①②，结论是—（填写序号）；该命题为—（填“真”或“假”

）命题.

【解析】解：已知条件是①②，结论③，为真命题,

证明：♦.•班）平分Z48C,

:.ZABE=ZDBC,

•.Z4=ZD，BA=BD,

:.^ABE=\DBC{ASA),

：.AE=DC,

故答案为：①②，③，真.

23/38

二十七.旋转的性质（共1小题）

47.（2022•相城区一模）如图，等腰RtAABC中，AC=BC,NAC3=90。，点。为斜边AB

上一点（不与A,3重合）连接CD,将线段CD绕点、C顺时针方向旋转90。至CW,连接AE.

（1）求证：AAEC二ABDC；

(2)若AD:BD=g:l,求NAEC的度数.

【解析】解：・.•将线段CO绕点。顺时针方向旋转90。至CE,

.\ZACB=ZDCE=90°fDC=CE,

:.ZBCD=ZACE

而8C=AC,

:.MCE鼠岫CD(SAS)；

(2)连接。石，

•・・NDCE=90。，DC=CE

/.ZDEC=45°,

由(1)知A4C£3ABC。，

:.BD=AE,ZB=ZC4E=45°,

/.ZBAE=ZBAC4-ZC4E=45°+45°=90°,

AD:BD=y/3:l,

/.AD:AE=

A。r-

tan^J\ED=----=>/3,

AE

.•.NA£D=60。，

.•.ZAEC=ZAED+ZD£C=60。+45。=105。.

二十八.中心对称(共1小题)

24/38

48.(2022•泗水县一模)有一张矩形纸片ABC。，E,尸分别是边3C,AD上的点(不与

顶点重合)，如图所示，若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分.求证：AF=EC.

【解析】证明：•.•四边形ABCD是矩形，

:.AB=CD,AD=BC,DF=AD-AF,BE=BC-EC,

S梯形A0£F=S梯形ABEF，

-AB(AF+BE)=-CD(CE+DF),

22

/.AF+BE=EC+DF,

AF+(BC-EO=EC+(AD-AF),

:.AF-EC=EC-AF,

AF=EC.

二十九.作图-旋转变换(共1小题)

49.(2022•兴宁区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，A4BC的三个顶点坐标分别为

4L3),8(2,5),C(4,2)(每个方格的边长均为1个单位长度)

(1)将AABC平移，使点A移动到点4，请画出AAqG；

(2)作出AABC关于O点成中心对称的△A&C?,并直接写出右，B2,.的坐标；

(3)△A4G与是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说

明理由.

25/38

【解析】解：(1)如图，△ABC为所作;

(2)如图，△A82G为所作；点儿，B”G的坐标分别为(-1,-3),(-2,-5),(-4,-2)；

(3)△AAG与△A&c2关于点p中心对称，如图，

对称中心的坐标的坐标为(-2,-1).

三十.相似形综合题(共1小题)

50.(2022•沁阳市模拟)在A48C中，AB=AC,N84C=a,点尸是平面内不与点B,C

重合的一动点，连接PC,将线段PC绕点P顺时针旋转a得到线段PQ,连接BQ,CQ,

AP,点M,N分别是线段CB,CQ的中点，连接MN.

(1)【观察猜想】如图1，当点P与点3在直线C4两侧，。=60。时，岖的值是-,

PA-2~

直线MN与直线公所成的锐角的度数是一；

(2)【类比探究】如图2,当点P与点8在直线CA两侧，a=120。时，求—的值及直线MN

PA

与直线P4所成的锐角的度数;

26/38

（3）【解决问题】当点P在直线3c上方，a=90°,且点A,P,。在同一条直线上时,

连接成，已知之叱=；5瓯“，请直接写出嗡的值•

【解析】解：（1）如图1,延长BQ,AP交于点石，延长MN交AP的延长线于尸，

图1

­.AB=AC,4AC=60。，

/./SABC是等边三角形，

:.AC=BC.ZACB=60°,

・・・将线段PC绕点尸顺时针旋转60。得到线段PQ,

PC=PQ,ZCPQ=60°,

APCQ是等边三角形,

:.CP=CQ,/尸。2=60。=44。8,

4BCQ=ZACP,

:.AACP=ABCQ(SAS),

AP=BQ,/CAP=4CBQ,

vZABC+ZBAC=120°,

ZABE+ABAC+ZCAP=120°f

:,ZAEB=6O0,

・・•点M,N分别是线段C8,。。的中点，

:.MN//BQ,MN=；BQ=；AP,

27/38

r.ZAEB=ZAFM=60°,—=-,

AP2

故答案为：—,60°；

2

（2）如图2,设MN交C4于点H,延长MN交Q4于点/,连接AM,

ZCPe=ZC4B=120°,

ABAC

/.ZPCQ=ZACB=30°,

~PQ~~PCy

AAC5sApcQ,

.CPCQ

CACB

•;CM=MB,CN=NQ,

.CQCN

..----=------,

CBCM

,CPCN

•.=-----9

CACM

・・・ZPCe=ZACZ?=30°,

:"PCA=AMCN,

:.^CAP^\CMN，

；…MN,篝=詈

\AB=AC,CM=BM,

:.AMA.BC,

,_CM_G

..cosNACB=------=—,

AC2

.MN__y/3_

"'PA~^29

•;ZAHI=/CHM,〃AH=/CMH,

.・.ZA/M=ZACW=30°,

.•・直线MN与直线PA所成的锐角为30°；

28/38

(3)如图3,连接延长AP,3c交于点尸，过点尸作PEL叱于E,

图3

同理可证：△CMVsACAP,

MNCM42

-----=-----=----，

APAC2

72

：.MN=JAP,

2

•、瓯P=2，

/.—BCxAM=2x—BCxPE,

22

.\AM=2PE,

设PE=a,CE=b,

.\AM=2a=BM=CMfME=2a+b,

\-AM//PE,

APEF^MMF，

.PEEFPF

"AM-AF_2'

:.AF=2AF,MF=2EF,

：.AP=PFfEF=ME=2a+b,

・.・/CPF=90°=4PEF=APEC，

:"PCE=NEPF,

/.APCE^AFPE,

.PEEFPF

~CE~~PE~~PCf

..PE1=CEEF,

a1=b(2a+b),

a=(6+\)b，

29/38

:.PC=-^—=(,42-V)PA,

V2+1

.MN2+y[2

••二♦

CP2

如图4,设AQ与3c的交点为尸，连接AM,过点P作「EJL3C于£,

图4

同理可求："»=三色，

CP2

综上所述：名»=三旦或立正.

CP22

三十一.特殊角的三角函数值（共3小题）

51.（2022•常州模拟）计算：2sin600+3tan300-tan245°.

【解析】解：原式=2X@+3X@-F=V5+括一1=26一1.

23

52.（2022•北京一模）计算：3tan300-tan245°+2sin60°.

【解析】解：3tan30°-tan245°+2sin60°

=3Ax-也---1、+2、x——6

32

=^3-1+\/3

=25/3-l.

53.(2022•淮安区模拟)计算：

(1)2cos300+4sin300-tan60°；

(2)3tan300+tan450-2sin60°.

【解析】解：(1)原式=2x且+4X1-G

22

=6+2一0

=2；

30/38

(2)原式=3x且+「2x且

32

=+1—\!?)

=1.

三十二.解直角三角形的应用（共1小题）

54.（2019•高淳区二模）高淳固城湖大桥采用〃型塔型斜拉桥结构（如甲图），图乙是从图

甲抽象出的平面图.测得拉索4?与水平桥面的夹角是45。，拉索CD与水平桥面的夹角是

65°,两拉索顶端的距离AC为2米，两拉索底端距离8。为10米，请求出立柱AH的长（结

果精确到。1米）.

（参考数据：sin65°®0.91,cos65°®0.42,tan65°«2.14）

【解析】解：设A”的长为x米，则CH的长为（x-2）米.

在RtAABH中，AH=3/Atan45。，

BH=x，

.\DH=BH-BD=x-\0；

在RtACDH中，CH=£>H.tan65°,

.1.x-2=2.14（x-10）,

解得：x=17.01®17.0.

答：立柱AH的长约为17.0米.

三十三.解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）

55.（2022•铜仁市模拟）如图（1）是一天桥的梯步图，为了方便残疾人出行，准备对梯步

进行改建降低坡度，绘制了如图（2）的侧面示意图，点A为梯步顶端，点C为梯步底端，

垂直于水平地面3C,并测得N4c8=40。，8=5米.要使改建后的梯步与水平面的夹

角Z4£）C=36。，求梯步底端向外延伸的长度QC（精确到0.1米，sin36°«0.588,

tan36°。0.727,cos40°«0.766,tan40°«0.839）.

31/38

A

解得：ABp4.195,

336。=喘4.195

=0.727,

DB

.•.2）3=5.77（米），

故。C=£）8—8C=5.77—5=»0.8（米），

答：梯步底端向外延伸的长度约为0.8米.

三十四.解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）

56.（2022•榆次区一模）一款被称作“小蛮驴”的智能送快递机器人本学期在我省某高校投

入使用，据悉“小蛮驴”兼具人工智能和自动驾驶技术.如图，点A为该校快递收纳站点，

点、B,C分别为两处宿舍楼，“小蛮驴”将会从点A出发，沿着A-3-C-A的路径派送快

递.已知点B在点、A的正北方向，点C在点A的北偏东20。方向，在点B的北偏东60°方向，

点B与点C相距1000米，求点A到点B的距离.（结果精确到1加,参考数据:sin20°®0.34,

cos200®0.94,tan20O«0.36,6=1.73）

【解析】解：如图，作交A3的延长线于H.

在RtABCH中，•.•ZBHC=90°,NCBH=60°,BC=1000米,

，84=500米，C”=500G米,

在RtAAHC中，■.■ZCAH=20°,

32/38

AH=CHtan20°®500g+0.36«2403（米）,

AB=AH-BH=>2403-500=1903（米）.

故点A到点B的距离大约为1903米.

三十五.频数（率）分布表（共1小题）

57.（2022•龙华区校级一模）为提高教育质量，落实立德树人的根本任务，中共中央办公厅、

国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》,

为切实减轻学生课后作业负担，某中学教务处随机抽取了七、八、九年级部分学生并对这些

学生家庭作业所用时间进行了调查.现将调查结果分为A、3、C、。、E组.同时，将

调查的结果绘成了两幅不完整的统计图.请你根据以上信息，解答下列问题：

（1）表格中的〃?=120,扇形统计图中的〃=___.

（2）所抽取的学生完成家庭作业的众数为组别—.

（3）已知该校有学生2600人，请你估计该校有多少人的家庭作业时间在1.5小时以内？

组别人数时间（小时）

A20Q,r<0.5

B400.5,,fvl

Cm1,,f<1.5

D121.5„t<2

E8

33/38

【解析】解：A组20人占总数的10%,

.-.20-i-10%=200（人），

/.w=200x60%=120（人），

Q

〃％=——xlOO%=4%,

200

.\n=49

故答案为：120,4；

（2）组人数最多故所抽取的学生完成家庭作业的众数组别为C组，

故答案为：C；

（3）2600x（10%+20%+60%）=2340（人），

答:该校有2340人家庭作业时间在1.5小时以内.

三十六.条形统计图（共2小题）

58.（2022•开封一模）某市按照《关于切实做好2022年初中毕业升学体育考试工作的通知》，

要求从“立定跳远”、“篮球运球”、“双手正面实心球”、“足球运球”四个项目任选其一报名

考试.某校为了了解九年级学生任选项目的报名情况，把上述四个项目依次记为A,B,C,

D,根据调查统计结果，绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计（部分信息未给出）.

请根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）参与本次问卷调查的总人数为1000人,在图（2）中C,。所占的圆心角度数应

分别为—，―

（2）请补全图（2）中的扇形统计图.

（3）若该市九年级有20000名学生，请估计该市九年级选“足球运球”的学生人数.

（4）请根据该校九年级目前的选择情况，对学校的相关部门在购置体育训练器材方面提出

一条合理化建议.

34/38

人数

【解析】解：（1）参与本次问卷调查的总人数为180+18%=1000（人）

ann

C所占的圆心角度数为360。*——=108°,

1000

£）所占的圆心角度数为360。*您=144。,