华师大版九年级数学上册第24章 解直角三角形 阶段强化专训

5542255422阶强专一求角角数的用法名师点金锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系于斜三角形要把它转化为直角三角形求解在求锐角的三角函数值时首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．直接用锐角三角函数的定义(第1)1．如图，Rt△ABC中，斜边AB的中线，若CD5，＝，则tanB的值是()

4C

34

D

432△ABCAD⊥BC是D＝AD＝12∠3＝，求sin的值．第2)133．如图，线y＝x＋与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.求点B坐标；求sin∠BAO值．

2C.D1325345522C.D132534552第3题利用同角或互余两角三角函数间的关系34．若∠A锐角，且A＝，则A＝()．1B.

32125．若α为锐角，且α＝，则(90°－＝()5512...131256．若α为锐角，且sin巧设参数

2

α＋cos30°＝1，则α＝______．47．在Rt△中，∠＝90°，若A＝，则B的为()

4..8．已知，b是△ABC的三边长，且ab满足b＝＋a)(c－a)．若5b4c＝0，求sinA＋sin值．

22cos22cos利用等角来替换9．如图，Rt△ABC中，ACB＝90°，是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥AE分别与CD相交于点HE且＝求值．第9)阶强专二同或余角三函关的用名师点金：sinα1.同角三角函数关系：sinα＋＝1α＝；2．互余角的三角函数关系：α＝cos(90°－，＝sin－，tanα·－α)＝1.)同角间的三角函数的应用sinAA－3cosA1．已知＝4，求的值．cosAA＋cosA

2222222252222222225222．若α为锐角，－α＝，求α＋cosα的值．余角间的三角函数的应用3．若－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是()．－α)＝sin(45°＋α)．(45°－＋(45°＋＝1C．(45°－＋sin(45°＋＝1D．cos(45°－＋(45°＋＝14．计算tantan2°·tan3°·…88°·tan89°的值．同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用125．已知α·α＝(α锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为sin和α.6α为锐角且α是方程2x－7x＋3＝0的一个根1－2αcosα的值．

阶强专三解角角的种见型名师点金解直角三角形是中考的重要内容之一直角三角形边角关系的知识是解直角三角形的基础解直角三角形时要注意三角函数的选取避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．已知两直角边解直角三角形1．如图，Rt△ABC中，＝，，bc别为∠A，B，∠的对边，＝23，b＝6，解这个直角三角形．(第题)已知一直角边和斜边解直角三角形2如图ACB＝90°AB＝13AC∠＝∠BAC求∠BAC的值和点B直线距离．第2)

已知一直角边和一锐角解直角三角形3．如图，△ABC中，∠＝，∠C＝30°AB＝3.求AC的长；求的长．第3)4．如图，eq\o\ac(△,Rt)ABC，＝，∠＝，BC＝3D为AC边上一点，∠BDC＝45°，求AD的长．第4题)

已知斜边和一锐角解直角三角形5如图在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠＝90°∠B分别为∠A∠B，∠C的对边，＝，解这个直角三角形．第5)6．如图，ABC中，∠＝90°，B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与相交于点，且AB＝4，求AD的长．(第6题)

类型1

已知非直角三角形中的边和角解直角三角形化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)17．如图，△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥，且tanBCD＝3求∠A的三角函数值．(第7题类型2

化解四边形问题为解直角三角形问题8中考·北京)如图四边形中角线ACBD交点∠BAC＝90°，∠CED＝45°∠DCE＝，DE＝2，＝2.求的长和四边形ABCD面积．(第8)

22．．．．．22．．．．．类型3

化解方程问题为解直角三角形问题9．已，bc分别是△ABC中∠A∠，∠C的对，关x的一元二次方程－x＋2bx＋＋x)＝0有两个相等的实数根，且＝＋判断△ABC形状；求sinA＋sinB值．阶强专四用角数实问中几数模名师点金利用锐角三角函数解决实际问题关键是构造直角三角形在构造时依据角(视角和方位角)或线进行构造，一般都是作垂线构造一个甚至个直角三角形．“背靠背”型(第1)1．襄阳)如图，在建筑平台的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°得大树AB底部B俯角为知平台的高度为m，则大树的高度为_结果保留根号)．2．资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B测得A在B的北偏东30°的方向后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得AC的北偏西的方向上(其中AB，C在同一平面)．求

这个标志性建筑物的底部A到边的最短距离．(第2题“母抱子”型3车安全是近几年社会关注的重大问题安全隐患主要是超速和超载中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验如图先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点，使CDl垂直，测得CD的长等于21，在l点D的同侧取点A，，使∠CAD＝30°，∠CBD＝求AB的长；(精确到米，参考数据：≈1.73，2≈1.41)已知本路段对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A到用时秒，这辆校车是否超速？请说明理由．第3)“拥抱”型4．如图，刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进6米到达处，又测得该屏幕上端处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE＝米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD(结果保留根号)．

第4)“斜截”型5某片绿地的形状如图其中∠A＝AB⊥BCAD⊥AB＝m＝100．求，长(结精确到1，31.732)．第5题)

阶强专五作助构直三形方名师点金锐角三角函数是在直角三角形中定义的解直角三角形的前提是在直角三角形中进行对于非直角三角形问题要注意观察图形特点恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解．无直角、无等角的三角形作高1．如图，△ABC中，已知＝1＋3，∠B＝60°，∠C＝，求的长．第1题有直角、无三角形的图形延长某些边2如图四边形中＝2CD＝1∠A＝60°∠＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．第2)

33有三角函数值不能利用时作垂线13．如图，△ABC中，D为AB中点，⊥AC，sin∠＝，求tanA的值．(第3)求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形14△ABC＝AC5＝8.若∠＝∠BAC∠BPC2的值．第4)

AD4412222AC13x＝，13222x，222AD4412222AC13x＝，13222x，222AB5222222答阶段强化专训一1．CBD2．解：⊥BC，∴tan∠BAD＝.3BD∵tan∠BAD＝，AD＝12∴＝，∴BD9.∴CDBCBD145，∴在Rt△中AC＝AD＋CD＝AD1212＋5＝，∴C＝＝.x＋，3．解：解方程组得，所以B坐标为(1，2)；(第3)13过点B作BCx轴于C如图，当y＝0，x＋0，解得x－3，则A(－3，0)，∴OA3，∴AB＝AC＋BC＝，∴sin∠＝＝＝，25即sin∠BAO＝.4．DB7.B8．解：b＝(c＋－，∴b＝c－，即c＝a＋，∴△ABC是直角三角形．∵5b4c＝0，∴＝4c，

5k5k55cosA－3＋1cosA17cosA5k5k55cosA－3＋1cosA17cosAb4则＝，c设b＝4k，＝5k，那么＝3k.3k4k7∴sinA＋B＝＋＝.9．解：CD是斜边的中线，∴＝AD＝∴∠DCB＝∠∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∠ACD∠CAH＝90°，∴∠DCB＝∠∴∠B∠CAH.在Rt△中，AH＝2CH，∴AC＝5CH.∴sinB＝∠CAH＝

5＝5CH阶段强化专训二sinA1分析本题可利用求解在原式的分子分母上同时除以AsinAA把原式化为关于的代数式整体代入其值求解即可也可直接由cosAA＝4，得到AA之间的数量关系，代入式子中求值．解：方法1)原式＝

sinA（sinA－3cosA÷AcosA＝.（4A＋cosA÷cosAAcosAsinA4－31∵＝4∴原式＝＝.4×4＋1sinA方法2)∵＝4，∴A＝4A.4A3cosAA1∴原式＝＝＝.4×4A＋cosAA172分析：要求sinα＋cos它与已知条件的关系再求解．

α的值，必须利用锐角三角函数之间的系找出

222222222222222222222525522552522224222222222222222222222252552255252222422解：∵sinα－α＝，∴(sinα－cosα)＝.即sin

2

α＋cos

1α－αcosα＝1∴1－2sinαα＝，即2αcosα＝13∵sinα＋α)＝sin＋＋2αcosα＝1＋＝，又∵α为锐角，∴＋α＞0.6∴sinα＋cosα＝.3C

点拨：∵(45°(45°90°，sin(45°＋α)．(45°－＋sin＋α)＝(45°＋(45°＋＝4分析因为1°·tan89°＝1tan＝…tan44°·tan46°＝1，所以运用乘法的交换律后，本题易求．解：tantan2°·tan…·88°·tan89°＝(1tan89°)·(tantan…tan44°·tan45°＝1.点拨：互余的两角的正切值的积为1，即若α＋＝，则tanα·tan＝5．解：sin

2

α＋cos

12α＝1，sinα·cos＝，25∴sinα＋α)

＝sin

2

α＋cos

1249＋2αα＝1＋2×＝.∵α为锐角，∴α＋cos

α＞0.∴sinα＋cos

7α＝.12又∵sinα·cosα＝，∴以sinα，α为根的一元二次方程为x－x12＋＝0.点拨：此题运用到两个方面的知识：公式α＋＝1与完全平方公式的综合运用；(2)若x＋x＝，xx＝，则以x，为两根的一元二次方程为121x－px＋q＝0.6．解：sin是方程2x

2

－7x＋30一个根，∴由求根公式，得sinα＝

－（－7（－）－4×2×3＝.2×21∴sinα＝或sinα＝不符合题意，舍去)．

222222222b22AB13513AC2AC3BC222222222b22AB13513AC2AC3BC∵sin

2

α＋cos

α＝1，∴cos

α＝1－＝.又∵cosα＞0，∴cos

3＝.∴1－2sinαα＝sin＋α－αcosα＝（α－α）

231＝sinα－cosα|＝－.阶段强化专训三1．解：＝，b＝6，∴c＝＋b＝1236＝43.a233∵tanA＝＝＝，∴∠A＝30°∴∠＝60°.2．解：AB＝13，＝，∠ACB＝，∴BCAB－＝169－144＝＝5∴sin∠＝＝设点B直线距离为d，∵∠BCM＝∠BAC，∴∠BACsin∠BCM.d5∵sin∠BCM＝，d525即＝，∴d＝.即点B直线距离为

2513

.AB133．解：由题意知C＝，即＝，则AC＝AB由题意知tan＝，即＝，则BC＝34．解：∠＝，BC3，∴＝3.

ACAC32AD2AD322AD13AD13AC2x2ACAC32AD2AD322AD13AD13AC2x2∵∠A＝30°，＝，∴tanA＝＝＝，即AC＝∴＝AC－CD33－3.5．解：∠B＝45°，∠C＝，＝10∴∠A＝＝b＝56．解：∠＝90°，∠B＝30°AB＝，1∴∠CAB＝，ACAB·sin30°＝4×＝3.又∵AD是∠BAC平分线，∴∠＝30°.AC32∵cos∠CAD＝＝＝，∴＝(第7)7．解：点D作CD的垂线交BC于点E，如图．在Rt△CDE中，∵tan

1DE∠＝＝，∴可设DE＝x，则＝3x.∵⊥AC，∴∥AC.又∵点D为AB的中点，∴点为BC的中点．1∴DEAC.∴AC＝＝2x.在Rt△中，∠ACD＝90°，＝，CD＝，∴＝AC

2

＋CD

2

＝

2

＋9x

＝13x.3x13∴sinA＝＝＝，13xAC2xcosA＝＝＝，13x3x3tanA＝＝＝

32tan30°sin22222222222222232tan30°sin222222222222222225方法技巧：本题中出现

1∠BCD＝，由于∠BCD所在的三角形并非直角三角形因此应用正切函数的定义构造出一个与之相关的直角三角形进行求解．(第8)8．解：图，过点D作DH⊥AC于H.∵∠CED＝45°，DH，DE＝，2∴EHDE·cos45°＝2＝，∴DH1.又∵∠DCE＝30°，DHDH∴＝＝，＝＝∵∠AEB＝，∠90°，＝，∴AB＝AE＝2，∴AC＝＋＋3＝3＋，∴

13＋＝×23)＋×1×(3＋3)＝四边方法技巧：题目中所给的有直角和角因此我们可以通过构造另一个直角三角形然后运用特殊角的三角函数值求出某些边的长进而求出四边形的面积．9．解：将方程整理，得(－a)x＋2bx＋＋＝0则＝(2b)－4(ca)(a＋c)＝＋a－c)．∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0即b＋＝c∴△ABC为直角三角形．由3c＝＋3b，得3c－3b.①将①代入a＋b＝，得3c＋＝c.∴4c

－＋5b

2

＝0，即(－5b)(c－b)＝0.4由①可知，b≠，∴5b.b②

5c5BDBDtan60°3tan30°tan60°5c5BDBDtan60°3tan30°tan60°3将②代入①，得＝c.a∴在Rt△中，＋sinB＝＝＋＝.点拨决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系得到一个关于，b，c等式．从解题过程可以看出，求三角函数时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求出其值．阶段强化专训四1．(5＋53)(第2)2解过点A作⊥BC于点D则AD的长度即是点A到岸边最短距离．在Rt△中，∠ACD＝45°，设＝x公里，则＝AD＝公里．ADx在Rt△ABD中，ABD＝，∠ABD＝，tan＝，BDx＝＝x公里．3又BC4里，所以x＋x＝4解得x6－2即这个标志性建筑物的底部A到岸边的最短距离为6－23)公里．CD213由题意得△ADC中＝＝＝213≈米)．33在Rt△中，BD＝

21＝＝≈12.11(米，3所以AB＝AD－≈36.33－12.11＝≈米．

3cos60°AB3cos60°AB校车从A到B用时2秒，所以速度约为24.2÷2＝米/秒)，因为米/秒43.56千米/，大于千米/，所以这辆校车在AB路段超速．4．解：∠CBE＝45°，⊥AE，∴＝∴＝米，∴AE＝AB＋BE＝6＋)．在Rt△ADE中，∵∠DAE＝30°，3∴DEAE×tan30°＝×＝9米)，∴＝－DE(21－93)米．即该屏幕上端与下端之间的距离CD(21－93)米．(第5)5．解：长，交于点在Rt△ABE中，由AB＝200m，∠＝60°，得＝AB·＝200m)．ABAE＝＝(m)．在Rt△CDE中，∵CD＝100m，∠＝90°－∠A，∴＝＝200(，＝＝3(m)，tan∠CED∴＝AE－DE400－1003≈m，BC－＝3－200≈m)．阶段强化专