矿大系统动力学考试复习范例

系统动力学(systemdynamics,SD)是系统科学理论与计算机仿真紧密结合、探讨系统反馈结构与行为的一门科学，是系统科学与管理科学的一个重要分支。系统动力学认为：系统的行为与特性主要取决于其内部结构。反馈：Ｘ影响Y，反过来Y通过一系列的因果链来影响X；非线性、高阶次、多重反馈的困难时变系统往往表现出反直观、千姿百态的动态性。12.3模型与系统的关系Q：如何建立一个“好”的模型？Ａ：在不影响模型对所探讨的系统行为仿照的前提下，尽量简化。 建立模型并不是完全重构原现实系统，探讨者要选择一种适当困难程度的模型，依据问题动身选择合适的变量，并依据须要来量化它们之间的关系。 通常从三方面进行考虑：所谓的简化意味着：(1)元素更少，相互关系更简洁； (2)把握关键要素； (3)更低的建模成本。

2近似性牢靠性目的适度2.5模型构成的要素从数学建模的角度来看：此外，系统具有层次性。一个系统可以有多个子系统，子系统还可以包含子系统。事实上，层次结构是人类相识困难系统的一种重要的手段。通过将一个困难系统不断分解为多个可理解的子系统，有助于理解整个系统的行为特征。3模型构成要素变量参数：系统的环境设置函数关系：表示系统内各要素的关系内生变量：系统输出端出现的变量，不行控变量外生变量：可控变量，形成系统的输入状态变量：系统内全体属性的表征量，记录系统的状态4建模的步骤包含的问题和使用的主要工具1.明确问题，确定系统的边界选择问题：问题是什么？为什么它是一个问题？关键变量：关键变量是什么？我们必须考虑的概念是什么？时限：问题的根源应追溯过去多久？我们应考虑多远的将来？参考模式：关键变量的历史行为是什么？将来它们的行为会怎样？2.提出动态假说现有的理论解释：对存在问题的行为现在的理论解释是什么？聚焦于系统的内部：提出一个由于系统内部的反馈结构导致动态变化的假设。绘图：根据初始假设，关键变量、参考模式和其它可用的数据建立系统的因果结构图，这一过程中可以使用的工具包括系统边界图、子系统图、因果回路图、存量流量图、政策结构图以及其它可以利用的工具。3.写方程明确决策规则确定参数，行为关系和初始化条件测试目标和边界的一致性4.测试与参考模式比较：模型能完全再现过去的行为模式吗？极端条件下的强壮性分析：在极端条件下模式的行为结果符合现实吗？灵敏度：模型的各个参数、初始化条件、模型边界和概括程度的灵敏度如何？其它测试……（详见第13章模型测试）5.政策设计与评估具体化方案：可能产生什么样的环境条件？设计政策：在现实世界中我们可以实施哪些新的决策规则、策略和结构？它们怎样在模型中表示？“如果－则”分析：如果实施这些政策，其效果如何？灵敏度分析：不同的方案和不确定性条件下，各种政策的强壮性如何？政策的耦合性：这些政策会相互影响吗？相互抵消吗？步骤：(1)建立参考模式；(2)明确的设定时限(1)建立参考模式系统动力学建模者追求的是动态地定义问题，即作为一种行为模式，随时间绽开，显示出问题如何产生以及在将来如何演化。参考模式：一套图形和其它描述数据显示出问题随时间的发展变更。53.5.2提出动态假说动态假说:说明所探讨问题的行为的假说。动态：因为它必需以内在反馈和系统存量流量图的形式对问题的动态特征提出说明。假说：因为它总是短暂的，随着你从建模过程和现实世界中的学习而随时作出更正或放弃。建模者在早期要做一个有想法的倾听者，运用各种诱导、绘图工具在会谈中激发探讨，以引出人们关于问题缘由的假说。探讨的目标是帮助客户对动态问题给出一个内生性的说明。67因果回路图模型边界图和子系统图显示了模型的边界和体系，但没有显示变量之间的关系。因果回路图(CLD,causalloopdiagrams)是一种定性描述系统中变量之间因果关系的图示模型，即用图的形式描述系统变量之间相互影响和相互作用的关系。是刻画反馈结构的一个敏捷有用的工具，其结构是用因果链构成的简图，因果链是用从缘由到结果的箭头表示。因果链：正因果链：负因果链：因果回路：由两个或两个以上的因果链组成的闭合回路。正因果回路：自身具有加强其变更效果实力的闭合回路。负因果回路：自身具有抑制变量变更和进行调整实力的闭合回路。+表明关系的极性为正，意味着，自变量的增加或削减将导致因变量的同向增加或削减。－表明关系的极性为负，意味着，自变量的增加或削减将导致因变量的反向削减或增加。8正因果回路：负因果回路：在因果关系回路中，负因果链的条数为奇数的，此回路为负因果关系回路；否则，此回路为正因果关系回路。正因果回路负因果回路其中，或回路标识符：正反馈（增加型）回路。或回路标识符：负反馈（平衡型）回路。推断因果关系链的极性及回路类型9工程师试图将项目在截止期前完成的因果回路图10存量流量图存量流量图是在因果关系图的基础上进一步区分变量的性质，用更加直观的符号刻画系统要素之间的逻辑关系，明确系统的反馈形式和限制规律，为深化探讨系统打基础的图形表示法。因果回路图强调了系统的反馈结构，存量流量图强调了其背后的物理结构。存量(也称状态变量,Levelvariable)是累计量，它表征系统的状态，并为决策和行动供应信息基础。如库存量、企业员工人数、银行账户存款额等。流量(也称速率变量,Ratevariable)使存量发生变更，流量是速率量，它表征存量变更的速率。如每周完工的零件数、每月雇佣的员工数、每月收入和支出等。库存模型因果关系图库存模型存量流量图11库存模型存量流量图运用公式描述库存系统库存(t+1)=库存(t)+订货(t)*DT-销售(t)*DT订货(t)=库存偏差/库存调整时间库存偏差(t)=期望库存-库存(t)在Vensim软件中写方程库存调整时间=8期望库存=300库存偏差=期望库存-库存订货=库存偏差/库存调整时间库存=INTEG(订货-销售,500)销售=100件/月速率的含义12在动态建模中，术语“速率”通常是指数量变更的确定速率。如“人口数量越大，诞生速率越高”，这里“诞生速率”是指每个时段内诞生的人数。例如：一个100万人口的城市，诞生速率=20000人/年。然而，在日常应用中，术语“某某率”常被简记做一个变量变更的比率或比例。例如：一个100万人口的城市，每年每千人诞生20个，则自然诞生率=2%/年。再如：利率是指利息额相对于储蓄额的比率；失业率是失业人数相对于劳工人数的比率。因此，在建模时，必需谨慎区分“确定速率”与“相对速率”以及“速率”与“比率”。正确选择变量名，记住速率变量的计量单位。区分起见，动力学建模中“速率”是指数量变更的确定速率，而运用“某某比例”来表示相对速率。例如：模型中运用“自然诞生比例”来表示“自然诞生率”。人口模型例子： 人口=INTEG(诞生速率-死亡速率,200000)单位：人 诞生比例=0.04单位：1/年 诞生速率=人口*诞生比例单位：人/年小组作业依据第3章构思练习所思索的模型，从其系统行为中辨识反馈结构。对所辨识的回路画出因果回路图。尽可能找出其中的：对于正反馈回路，找出可能中止增长的负反馈回路。对于寻的行为的负反馈回路，辨识系统的状态、目标以及纠偏行动。什么阻力可能阻挡系统达到其目标。对于震荡系统，辨识系统的状态、目标、纠偏行动以及延迟。估计你辨识出的时间延迟的长度。

13三种基本行为模式——指数增长、寻的和震荡——是由三种基本反馈结构引起：正反馈结构、负反馈和带有延迟的负反馈结构，其他更困难的行为模式是由这些结构彼此的非线性相互作用引起的。14产生S形增长的关键条件首先，负反馈回路不应包括任何显著的时间延迟[假如包括，则系统将围绕承载实力过度调整(超调)与震荡]。其次，承载实力必需固定，它不能随种群的增长而消耗，以免种群耗尽其资源而被迫绝灭。如酵母菌消耗酒桶中的糖分，最终导致发酵停止。5.1因果图中的记号因果回路图(causalloopdiagram,CLD)是表示系统反馈结构的重要工具。CLD可以快速表达你关于系统动态形成缘由的假说，引出并表达个体或团队的心智模型。一张因果回路图包含多个变量，变量之间由标出因果关系的箭头(因果链)所连接，因果链具有极性。重要回路用回路标识符标出，以显示该回路为正反馈(增加型)还是为负反馈(平衡型)。16工程师试图将项目在截止期前完成的因果回路图推断回路的极性：在因果关系回路中，负因果链的条数为奇数的，此回路为负因果关系回路；否则，此回路为正因果关系回路。案例：17图5-7在汽油需求和支出相对于价格做出响应时的不同时间延迟存量是累计量，它表征系统的状态，并为决策和行动供应信息基础。比如：了解库存是制定生产支配的基础。流量使存量发生变更，流量是速率量，它表征存量变更的速率。流入量（正）使存量增加，流入量大，则存量增加的快，反之则慢；流出量（正）使存量削减，流出量大，则存量削减的快，反之则慢；要留意的是：(1)存量的变更由且仅由流量引起；(2)一个存量可以有多个流入量和流出量。比如：一地的人口，流入量可以包括人口诞生和人口迁入，流出量可以包括人口死亡和人口迁出。187.1一阶正反馈系统系统动力学中的阶(order)指的是系统中状态变量的个数。一阶系统仅包括一个存量状态，是系统动力学模型最小最基本的系统。一阶正反馈系统是指只有一个正反馈回路，或者称为加强型回路的系统。19

20一阶正反馈系统的一般结构(Sterman,商务动态分析方法)21通过求解微分方程，可知该系统的行为特征可以归结到一个指数函数：S=INTEGRAL(净流入量,S(0))净流入量=f(S)若系统是线性的，则净流入量=gS即：dS/dt=净流放速率=gS下图给出了人口模型一阶正反馈系统的行为。当净增长比例大于零(netincreasefractional>0)时，系统呈现指数增长。当净增长比例小于零(netincreasefractional<0)时，系统呈现指数衰减。22模型参数：INITIALTIME=0FINALTIME=100Units:年netincrease=netincreasefractional*populationpopulation=INTEG(netincrease,200000)netincreasefractional= -0.015(+0.015)7.1.2一阶正反馈系统的几个重要参数

23这里T(T≥0)被定义为时间常数，在人口系统中，时间常数T=1/netincreasefractional，具有时间的量纲。

结果表明，在净诞生比例>0时，当时间t经验过一个时间常数，人口达到初始值的2.73倍。当净诞生比例<0时，人口达到初始值的0.37倍。同时可求出t=2T的状况。可见，时间常数T确定正反馈系统增长或衰减的速度。倍增时间/减半时间所谓倍增时间，是指状态变量(此处指总人口)由当前值增加至原来二倍所需的时间(此处，时间常数T>0)，令：可得，倍增时间△t=t2-t1=Tln2=0.69T。即倍增时间约等于0.69倍的时间常数T。每经过一个倍增时间，系统状态值将增加一倍。

倍增时间典型的案例是摩尔定律：当价格不变时，集成电路上可容纳的元器件的数目，约每隔18-24个月便会增加一倍，性能也将提升一倍。24

25倍增时间/减半时间所谓减半时间，是指状态变量(此处指总人口)由当前值减至原来一半所需的时间(此处，时间常数T<0)，令：可得，减半时间△t=t2-t1=Tln2=0.69T。即减半时间与倍增时间关系式一样，只不过一个是增加，一个是削减。

7.2一阶负反馈系统一阶负反馈系统只有一个负反馈回路，或者说平衡型回路的系统。7.2.1一阶负反馈系统举例以库存系统为例的一阶负反馈系统的存量流量图如下图所示：26依据存量流量的概念，这个库存系统可以用以下公式来表示：这里，sales为外生变量，处于系统之外，系统模拟结果如下：27

模型参数：INITIALTIME=0Units:MonthFINALTIME=100desireinventory=300inventory=INTEG(order-sales,500或100)inventoryadjustmenttime=8inventorygap=desireinventory-inventoryorder=inventorygap/inventoryadjustmenttimesales=07.2.2一阶负反馈系统的重要参数时间常数一阶负反馈系统的一般数学模型可以描述为：其中，T为时间常数。当t=T时，代入上式得：即，经过时间T，系统的状态将变为原来的0.63倍。当t=2T时，代入上式得：即，经过时间2T，系统的状态将变为原来的0.86倍。可见，时间常数T确定了负反馈系统寻求目标的速度。T越大，系统变更的越慢，变更曲线较平缓。28

倍增时间寻的系统的倍增加时间不是常数，由于系统的寻的特性，随着时间的推移，增长速度减慢，倍增时间渐渐增大。29一般S形增长曲线产生S形增长特性的必需条件是，系统内部起主导的反馈回路发生了变更。下图可以看出总人口数和人口净诞生速率之间的变更关系。30以上两个延迟实例被统称为物质延迟(materialdelay)，因为它们都是描述物料(信件或原材料)的物理流淌。物质的延迟是守恒的：输入量或累积在存量中，或者从输出流流出。31延迟是一个过程，它的输出以某种模式落后于它的输入。任何一个延迟都至少包括一个存量(Stock)，存量累积了输入与输出的差别。与物质延迟相对，存在另一种形式的延迟，称为信息延迟(informationdelay)。信息延迟描述感知(perception)或认定(beliefs)的渐渐调整。信息延迟有多方面的因素首先是信息的收集须要时间另外，得到信息后，变更我们的感知或认定须要时间与物质延迟不同，信息延迟系统不是守恒的系统。328.2.3管道延迟延迟时间是常数，物料离开延迟过程的依次与进入依次完全一样，这种延迟称为管道延迟(pipelinedelay)，也被叫做运输滞后(transportationlag)。FIFO，进入延迟的全部内容都依据完全相同的依次来处理，并且在经过同样的时间后离开。这种延迟称为管道延迟。运输途中的物质延迟可以用如下存量流量图描述：33MaterialsinTransit=Integral(Inflow(t)-Outflow(t),MaterialsinTransit(0))对于管道延迟来说，输出流就是输入流滞后平均延迟时间D：Outflow(t)=Inflow(t-D)8.2.4一阶物质延迟很多延迟存在混合以及个体处理时间的差异，导致输出流分布产生差异；因此这些延迟不能运用管道延迟来近似。一个极端的例子就是完备混合(perfecmixing)。在完备混合状况下，任何一个水分子在下一时刻被排出水池的可能性都是一样的，而与这个水分子在水池中逗留的时间长短无关。完备混合意味着离开依次与进入依次完全无关；换言之，完备混合破坏了有关进入依次的全部信息。34一阶物质延迟可用下图的模型来描述：一阶物质延迟的输出流总是与存量(materialsintransit)成比例：Outflow=materialsintransit/D其中，D代表平均延迟时间。留意：输出流速率仅与物料存量和延迟时间有关，而与物料进入运输线的依次无关。上式是一阶负反馈系统，输出流速率构成一个负反馈回路，因为存量越大，输出流越大，从而削减存量。3536模型参数：D=6Inflow=100*PULSE(5,1) Materialsintransit=INTEG(Inflow-Outflow,0)Outflow=Materialsintransit/D8.2.6延迟中有多少物料存量？Little法则假设输入流可以保持恒定足够长的时间直到延迟过程达到平衡(equilibrium)，这时运输线上的物料存量是多少？在任何输入为I输出为O的延迟中，运输线上的物料存量是：对一个管道延迟，S(0)=0，在时间0处，其输入从0突增到I，当t<D时，O(t)=0,当t≥D时，O(t)=I，所以其物料存量的平衡值为：37

对于一阶延迟的状况：一阶延迟的输出是Outflow=Materialsintransit/D，因为达到平衡时的输入流和输出流是相等的，所以对于输入持续为I，达到平衡时，输出就是I，所以，Materialsintransit=DI——与管道延迟一样。事实上，不管输出的概率分布是怎样的，一个延迟过程的运输线上物料存量的平衡值总是DI。这一重要的性质称为Little法则。Little法则说明，达到平衡时，运输线上的物料存量完全可以由平均延迟时间和输入速率来刻画。例如：一家生产商每天订购10000个零件，且零件运输须要5天，那么达到平衡时，该生产商的在途订单有50000个零件，这个数据与零件到达的概率分布无关。反之，假如已知物料存量和输出流状况，也可运用Little法则来计算平均延迟。D=S/O=S/I。留意：只有当处于平衡状态时才能运用这个方法求解延迟时间。388.3.1为感知建模：自适应预期和指数平滑最简洁的信息延迟模型，同时也是在推断调整和预料的模型中运用最广泛的，就是指数平滑(exponentialsmoothing)，或者说自适应预期(adaptiveexpectation)。自适应预期是指推断向该变量的实际值渐渐地调整。39自适应系统的存量流量图在自适应预期中，输入量的感知值或者推断Y是一个存量(stock)：Y=积分(感知值的变更速率，Y(0))感知值发生变更的速率与当前输入：变量实际值X和感知值之间的差距成比例。感知值的变更速率=(X-Y)/D在物料延迟中，存量是运输线上的物料数量，延迟的输出是一个物流。而在信息延迟中，预期（或者感知）本身就是存量。这是因为，感知或者推断就是系统的一个状态，这个状态会始终保持，直到有缘由出现去变更这个推断。当实际状况与感知存在差距时，推断发生调整，差距越大，调整推断的速率越快。这个系统的状态依据你当前的推断与变量的实际状况的差距而调整。这个结构被称为一阶信息延迟或一阶指数平滑。4041模型参数：Units:DayINITIALTIME=0FINALTIME=100实际值和感知值之间的差距=输入：变量实际值X-输出：输入量的感知值Y感知值的变更速率=实际值和感知值之间的差距/"调整时间(D)""调整时间(D)"=7输入：变量实际值X=100+STEP(100,5)输出：输入量的感知值Y=INTEG(感知值的变更速率,100)指数平滑法因为其简洁并且不须要困难计算而被广泛应用于预料。指数平滑法一个志向的特性是它自动寻求消退预料的差异。下图显示了自适应预期对一个模拟的产品订单流的输出结果。42指数平滑法会造成延迟。如上图中，订货速率的峰值和谷值都落后于实际中的订货速率。延迟的缘由是自适应预期中负反馈结构存在时间常数，负反馈消退预期差异，但差异的消退是渐渐完成的，使得系统不会对短暂的输入值变更调整过度，这样反过来反映了变量以前的历史，即：Y(t)=wY(0)+(1-w)X*。移动平均法中，权限表示历史数据对当前预期的相对重要程度。例如在时间常数为7天的移动平均中，昨天的订单权重与一周前的一样大，而更早的订单就被忽视不计了。这个假设并不是很合理，更加合理的模型应当假设历史数据的权重随着时间的推移而减小。指数平滑法是最常用的预料工具之一。其所显示的简洁性、低成本和纠错性使得它成为为们极好的选择。4311.2常见的系统基模PeterM.Senger给出了描述现代管理系统的7个基模，全部的基模都是由正反馈、负反馈和时间滞延组成的。44成长上限基模舍本逐末基模(目标侵蚀)恶性竞争基模(两败俱伤)富者愈富基模共同悲剧基模成长与投资不足基模饮鸩止渴基模11.2.1成长上限基模正反馈导致增长，增长总会遇到各种限制与瓶颈，然后大多数的成长之所以停止，却不是因为达到了真正的极限，而是由于触动抑制成长的负反馈回路，使增长减缓、停顿，甚至下滑。上图左边部分是组织成长的正反馈环，右边是抑制成长的负反馈环，这一反馈结构刻画了各种组织运行的基本结构。管理方针（杠杆解）是：不要去推动“增加(成长)环路”，应当要除去（或减弱）限制的来源。45成长上限基模46成长上限实例一成长上限实例二11.2.2成长与投资不足基模假如公司或个人的成长接近上限时，可以投资在“产能”的扩充上，以突破成长的上限，但这种投资必需主动，且必需在成长降低之前，不然将恒久无法做到。成本与投资不足基模的结构图中存在因果关系：绩效—-相识投资需求，这条负因果链的含义是：当绩效低时，才相识到增加投资的重要性，才着手投资，而投资到产出存在延迟时间，所以企业就面临因投资不刚好而生产下滑，甚至破产。管理方针（杠杆解）是：假如的确