微积分人大3版82市公开课金奖市赛课一等奖课件

§8.2多元函数概念一、多元函数概念二、二元函数定义域三、二元函数几何意义上页下页铃结束返回首页第1页第1页一、多元函数概念一个实际问题：

用铁板做成一个体积为2立方米有盖长方体水箱，问长、宽、高各取多少时，才干使用料最省。xy2xy

注意：若高为h，则xyh=2

下页第2页第2页上述问题等价提法是：当x和y取何值时，S值最小。一、多元函数概念一个实际问题：

用铁板做成一个体积为2立方米有盖长方体水箱，问长、宽、高各取多少时，才干使用料最省。下页第3页第3页一、多元函数概念依据上述关系，对任意x>0,y>0，变量S总有拟定值和(x,y)相应，我们称变量S是变量x、y二元函数。一个实际问题：

用铁板做成一个体积为2立方米有盖长方体水箱，问长、宽、高各取多少时，才干使用料最省。下页第4页第4页二元函数定义：

定义8.2设D是xOy平面上一个点集。假如对于每个点P(x,y)D，变量z按照一定法则总有拟定值和它相应，则称z是变量x、y二元函数，记为z=f(x,y)，其中D称为定义域，x、y称为自变量，z称为因变量。对于(x0,y0)D，所相应z值记为z0=f(x0,y0)，称为当(x,y)=(x0,y0)时，函数z=f(x,y)函数值。集合{z|z=f(x,y)，(x,y)D}称为函数值域。提问：如何给出n(n3)元函数定义？下页提醒第5页第5页

例1设z=x2+y2。

z=x2+y2是以x、y为自变量，z为因变量二元函数。函数定义域为D(f)={(x,y)|x,y(-,+)}。函数值域为Z(f)=[0,+)。

例2设有一个长方体，高为h，底是边长为b正方形，则其体积为V=b2h(b>0,h>0)。

V=b2h是二元函数，自变量为h、b，因变量为V。函数定义域为D(f)={(b,h)|b>0，h>0}；函数值域为Z(f)=(0,+)。下页第6页第6页

例3设Z表示居民人均消费收入，Y表示国民收入总率(国民收入总额中用于消费所占百分比)，S2是居民消费率(消费总额中用于居民消费所占百分比)。函数。首页第7页第7页yxO函数z=f(x,y)定义域在几何上表示一个平面区域。所谓平面区域能够是整个xOy平面或者是xOy平面上由几条曲线所围成部分。yxOyxODyxOD下页二、二元函数定义域第8页第8页yxOyxO函数z=f(x,y)定义域在几何上表示一个平面区域。所谓平面区域能够是整个xOy平面或者是xOy平面上由几条曲线所围成部分。yxODyxOD下页二、二元函数定义域第9页第9页yxOyxOyxODyxOD围成平面区域曲线称为该区域边界，包括边界在内区域称为闭区域，不包括边界区域称为开区域。下页二、二元函数定义域第10页第10页yxOyxOyxODyxOD围成平面区域曲线称为该区域边界，包括边界在内区域称为闭区域，不包括边界区域称为开区域。边界下页二、二元函数定义域第11页第11页yxOyxOyxODyxOD闭区域围成平面区域曲线称为该区域边界，包括边界在内区域称为闭区域，不包括边界区域称为开区域。开区域下页二、二元函数定义域第12页第12页假如区域延伸到无穷远处，则称为无界区域，不然称为有界区域。yxOyxOD有界区域有界区域总能够包括在一个以原点为圆心相称大圆域内。yxOD无界区域下页练习二、二元函数定义域第13页第13页函数z=ln(x+y)定义域为D1={(x,y)|x+y>0}，它是无界开区域。函数zarcsin(x2y2)定义域为D2={(x,y)|x2y21}，它是有界闭区域。yxOD1x+y=0yxOD2x2y2=1练习二、二元函数定义域首页第14页第14页D设z=f(x,y)定义域为D，则对于任意M(x,y)∈D，可唯一拟定空间一点P(x,y,f(x,y))。所有这样拟定点集合{(x,y,z)|z=f(x,y)，(x,y)D}就是函数z=f(x,y)图形。二元函数图形是一张曲面。M(x,y)Oxyzz=f(x,y)P(x,y,f(x,y))下页三、二元函数几何意义第15页第15页

例4由球面方程x2+y2+z2=R2拟定两个函数：定义域为D={(x，y)|x2y2R2}。它们图形分别为上半球面和下半球面。和，ROxyzxyzRO下页第1