常用的逻辑用语

教育从心开始教师：学生：年级：科目：数学日期:年一月—时间：常用的逻辑用语知识点一：命题及其关系（四种命题以及它们之间的关系）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题。（1）命题由题设和结论两部分构成.命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题数学中的定义、公理、定理等都是真命题。【若则命题】命题的常见形式为“若p则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论。【逆命题】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。也就是说，如果原命题为“若p，则q"，那么它的逆命题为“若q，则p”。【否命题】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题称为互否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题。也就是说，如果原命题为“若p，则q"，那么它的否命题为“若「P，则r?”。【逆否命题】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。也就是说，如果原命题为“若p，则q"，那么它的逆否命题为“若「?，则」;」。逆命题若朝W逆命题若朝W［互否T逆否命题若-1根U-iD原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假。（1）等底等高的两个三角形是全等三角形；（2）在段般中，若a>b，则ZA>ZB。创一流环境引一流师资育一流人才

创一流环境引一流师资育一流人才教育从心开始例2：已知函数f(x)是(—8,+8)上的增函数，a,beR,证明：若f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),则a+b>0。例3：已知集合A、B,全集U,给出下列四个命题①若A屋①若A屋B，则AUB=B；②若AUB=B,则A^B=B；③若a③若ae(AnCuB)，则aeA；④若aeCu(A^B)，则ae(A[]B)则上述正确命题的个数为（ ）则上述正确命题的个数为（ ）A.1 B.2 C.3习题1：下列命题中，真命题是（ ）.A.命题“若a>b，则a2>b2”D.4B.命题“若b=3，则b2=9”的逆命题C.C.命题“当x=2时，x2-3x+2=0”的否命题习题2：命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”A.若一个数是负数，则它的平方不是正数C.若一个数不是负数，则它的平方不是正数习题3：证明：若x2+y2=0，则x=y=0。D.命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题的逆命题是（）.B.若一个数的平方是正数，则它是负数D.若一个数的平方不是正数，则它不是负数习题4：给出命题：①若x2-3x+2=0，则x=1或x=2； ②若-2<x<3，则（x+2）（x-3）<0；③若x=y=0,则x2+y2=0； ④若x,yeN*,x+y是奇数，则x,y中一奇，一偶.那么（ ）A.①的逆命题为真B.②的否命题为真C.③的逆否命题为假D.④的逆命题为假知识点二：充分条件与必要条件充分条件：一般地，对于命题若“p,则q”，由p通过推理可以得出q,记作:"「小则称p是q的充分条件。必要条件：一般地，对于命题若“P,则q”，由q通过推理可以得出P，记作P='则称P是q的必要条件。充分必要条件：一般地，对于命题若“p,则q”，由p通过推理可以得出q,由q通过推理可以得出p,记作P，则称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件。创一流环境引一流师资育一流人才教育从心开始充分条件与必要条件和集合的关系：①pnq，相当于PcQ,即、一一或—一，，即：要使xeQ成立，只要xeP就足够了一一有它就行.②qnp，相当于P=Q，即二一^或、 '，即：为使xeQ成立，必须要使xeP——缺它不行。例1：下列“若P，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？必要条件？充分必要条件？①、若x>3，则x>2；②、若x=1,则x2-4x+3=0；③、若f(x);X,则f(x)在(—8,+8)上为增函数例2：求证：关于X的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0<a<4例3：给出下列四个命题：①有理数是实数； ②有些平行四边形不是菱形；③Vx£R,x2-2x>0； ®3xGR,2x+1为奇数.以上命题的否定为真命题的序号依次是( )A.①④ B.①②④ C.①②③④ D.③习题1：判断下列问题中，p是q的充分条件吗？必要条件？充分必要条件？①、p:a>b q:ac>bc；②、p：x为无理数 q:x2为无理数；③、p:x>a2+b2 q:x>2ab;④、p:两条直线的斜率相等； q:两条直线平行。习题2：下列各题中，哪些p是q的充要条件？p:b=0,q:函数f(x)=ax?+bx+c是偶函数；p:x>0,y>0,q:xy>0；(3)p:a>b,q:a+c>b+c。习题3：X>1的一个充分不必要条件是( )yA.x>y B.x>y>0 C.x<y D.y<x<0习题4：命题“若^ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 .知识点三：简单的逻辑联结词(或、且、非)或：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作.；',“，读作"p或q”。当p,q两个命题中有一个命题是真命题时，尸vq是真命题；当p,q都是假命题时，pvq是假命题。创一流环境引一流师资育一流人才

创一流环境引一流师资育一流人才教育从心开始且：用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p△q，读作“诅q”.p,q两个命一题都是真命题时，〃△q是真命题；当p，q其中一个是假命题或两个都是假命题时，pAq是假命题。非：(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作「p，读作“非D”或“p的否定”.当p是真命题时，「P是假命题；当p是假命题时，「P是真命题。例题1：设集合M={0,1,2},N={x|X2-3x+2W0},贝UMnN=( )A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2}例题2：若A={2,4,a3—2a2—a+7},B={1,a+1,a2-2a+2,—1(a2—3a18),a3+a2+3a+7},且A2nB={2,5},则实数a的值是.一例题3：已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,aC2}.若A=B,则c的值是.例题4：如果命题“非p为真”，命题“p且q”为假，那么则有()A.q为真B.q为假C.p或q为真D.p或q不一定为真习题1：(2014•唐山模拟)若集合M={yIy=3x卜集合S={%Iy=lg(%—1)},则下列各式正确的是().A.MUS=M B.MUS=S C.M=S D.MnS=0习题2：已知集合A={x|x2—3x+2=0},B={x|x2—ax+a—1=0}，且AUB=A,则a的值为.习题3：设集合a={1,2}，则满足AuB={1,2,3}的集合B的个数是()一A.1B.3C.4D.8_习题4：命题：“方程X2-2=0的解是x=土J2”中使用逻辑联系词的情况是()A.没有使用逻辑联结词 B.使用了逻辑联结词“且”C.使用了逻辑联结词“或”D.使用了逻辑联结词“非”习题5：用“充分、必要、充要”填空：①Pvq为真命题是pAq为真命题的 条件；②「p为假命题是pvq为真命题的 条件；③A:%—2|<3,B:%2—4%—15<0,则A是B的条件,知识点四：全称量词与存在量词(特称命题、全称命题)(1)全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“'”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可表示为“'=£股道(制”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.(2)存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”，“至少有一个”，“有点”，“有些”等，通常用符号，白”表示，读作“存在”。含有存在量词的命题，叫做特称命题特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可表示为“女已屈4(')"，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.注：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。创一流环境引一流师资育一流人才

创一流环境引一流师资育一流人才教育从心开始(3)全称量词与存在量词的否定关键词否定词关键词否定词关键词否定词关键词否定词都是不都是至少一个一个都没有至多一个至少两个属于不属于例1:“az+bzWO”的含义是()A.a,b不全为0B.a,b全不为0C.a,b中至少有一个为0D.a,b中没有0例2：下列命题中，真命题的个数为()①对所有正数x,7x<x； ②不存在实数x,使x<4且x2+5x=24；TOC\o"1-5"\h\z③存在实数x,使得|x+1|W1且x2>4； ④3三3.A.1 B.2 C.3 D.4习题1：下列全称命题①末位是0的整数，可以被2整除；②不相交的两条直线是平行直线；③偶函数的图像关于y轴对称；④正四面体中两侧面的夹角相等；其中真命题的个数为( )A.l B.2 C.3 D.0习题2：命题“非空集ACB中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是 的形式；命题“非空集AuB中的元素是A中元素或B中的元素”是 的形式；命题“非空集1A的元素是U中的元素但不是A中的元素”是的形式. "习题3：命题匕x£R,xW1或x2>4”的否定为..命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是( ).A.若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数 B.若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D.若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数.一个命题及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中( ).A.真命题的个数一定是奇数 B.真命题的个数一定是偶数C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D.上述判断都不正确.已知a,b,ceR，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2>3”的否命题是( ).人.若a+b+c牛3，贝Ua2+b2+c2<3 8.若a+b+c=3，贝|a2+b2+c2<3口若a+b+c牛3，贝Ua2+b2+c2>3 0.若a2+b2+c2>3,则|a+b+c=3.命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是.有下列命题：( ).①“若xy=1,则x,j互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若bV-1,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题；创一流环境引一流师资育一流人才

创一流环境引一流师资育一流人才教育从心开始教育从心开始③“若AUB=B，则A卫B”的逆否命题.其中真命题是 (填序号)。.(1)“ab=0”的一个充分条件是 。“x<3”的一个必要条件是 。.证明：若a2—4b2—2a+1中0，则a中2b+1。.判断下列各组问题中，q是p的充分条件？必要条件吗？充分必要条件?①、②、③、①、②、③、@、p:{x|x>3}p:{x|x>0}p:同位角相等p:四边形对角线相等q:{x|x>5};q:{x|x>0};q:两直线平行；q:四边形是平行四边形.判断下列命题的真假：①“a>b>0”是“a2>b2”的充分条件；②“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件；④“A屋B”是“A=B”的必要条件；(其中A,B是集合)⑤“函数fG)是奇函数”是“f(0)=0”的充分条件.课后练习：一、选择题：1.一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中 ()(A)真命题与假命题的个数相同((A)真命题与假命题的个数相同(C)真命题的个数一定是偶数2.以下命题正确的是a c a+c a c(A)=则E=T=-7b d b+d b d(C)x2>2xox>23.“用反证法证明命题“如果x<y,(D)真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数()(b)a>bna>b(D)a>4na>3ii那么x5<y5”时，假设的内容应该是()ii ii iiii iiii(A)x5=y5 (b)x5<y5 (C)x5=y5且x5<y5 (d)x5=y5或x5>y5.“a#1或b/2”是、+6/3”的 ()(A)充分不必要条件 不)必要不充分条件(。充要条件 (D)既不充分也不必要.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁的()(A)充分不必要条件 (8)必要不充分条件(⑦充要条件 (D)既不充分也不必要.“至多有一个”的否定是 ()(A)至少有一个(B)至少有两个(C)恰有两个 (D)一个也没有.“若x#a且x/b,则x2—(a+b)x+ab/0”的否命题()(人)若x=a且x=b,贝Ux2—(a+b)x+ab=0(B)若x=a或x=b,贝Ux2—(a+b)x+ab/0(C)若x=a且x=b,则x2—(a+b)x+ab/0创一流环境引一流师资育一流人才

创一流环境引一流师资育一流人才教育从心开始(口)若x=a或x=b,贝Ux2—(a+b)x+ab=0.“m=1”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m+2)x+(m-2)y-3=0相互垂直”TOC\o"1-5"\h\z的 ()(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要.. 1 兀...在三角形中，cosa=5是。=不成立的 ()(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要.若“「pvq”为假命题，则 ()(A)口真口假 (B)p假q真 (C) p与q均真 (D) p与q均假.若命题p的否命题为q,命题q的逆命题为r,则「是口的( )(A)原命题(B)逆命题(C)否命题(D)逆否命题fx>2,fx+x>5,.S1i是11 2(成立的( )Ix>3.Ixx>6.'2 '12(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要二、填空题(每道题4分，共16分)13、判断下列命题的真假性：①