不定积分例题及答案理工类吴赣昌(可编辑修改word版)

1不定积分不定积不定积分不定积分的概念性质计算方法xI注：(1)若f(x)连续，则必可积；(2)若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则F(x)=G(x)+C。故不定积分的表达式不唯一。(凑微分法)分习题4-12思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！x2x思路:被积函数1=x，由积分表中的公式(2)可解。x2xx2x3x思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。x4ln235xx+11思路:观察到x2+1xx+113xxxxxxxxx2x423思路:分项积分。★★(9)jxxxdx1117思路:xxx=？看到xxx=x2+4+8=x1117解：jxxxdx=+C15.:裂项分项积分。4Cx2(1+x2)x21+x2x21+x2x★(11)ex1ex1ex1ln(3e)3x3x3ln2ln3。2222xC1+cos2x2cos2x225xjcosxsinxdxjdxjxcos2x.sin2xcos2x.sin2xsin2xcos2x22思路:注意到被积函数==+cosx222知识点：考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。思路分析：直接利用不定积分的性质1：d[jf(x)dx]=f(x)即可。解：等式两边对x求导数得：1xf(x)=,：f(x)=1xx1x26知识点：仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。11121ex★4、证明函数e2x,exshx和exchx知识点：考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。★5、一曲线通过点(e2,3)，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积解：设曲线方程为y=f(x)，由题意可知：d[f(x)]=1，f(x)=ln|x|+C；dxx知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的7习题4-2思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。72122x5x5(7)1dt=2d(t);(8)dx=1d(tan2x);(9)dx=1d(arctan3x).tcos22x21+9x23分法的练习。思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元，这在课外例题中专门介绍！★(1)je3tdt33分。5208路:凑微分。路:凑微分。353x3353x32abat思路:如果你能看到d(t)=dt，凑出d(t)易解。2tt(3)凑微分即可。xlnxlnlnxlnxlnlnxlnlnx思路:本题关键是能够看到9凑微分。凑微分。解：sinxcosxsin2xsinxcosxsinxcos2xtanxtanxdxexdxdexdex思路:凑微分：===ex+exe2x+11+e2x1+(ex)2。ex+exe2x+11+(ex)22223x2==xx2xxx23x2631x441x441x441x44分。cos3xcos3x2cos2x★★(17)jx9dx2x20x2102x21021()22。222233==34分别凑微分即可。2x21(x222x12x+1222x1222x+1222x+1。(45x)25(45x)22545x(45x)2=1j1d(45x)4j1d(45x)=1ln|45x|+41+C.2545x25(45x)2252545x。(x1)100(x1)100(x1)100(x1)100(x1)100(x1)98(x1)99(x1)1002424可。x81(x41)(x4+1)2x41x4+14x41x4+1x81(x41)(x4+1)2x41x4+14x41x4+1xxxxx2+13224224。2102。24244243xln10思路:凑微分arctanxdx=2arctanxdx=2arctanxd(arctanx)xxx。xx1+(x)2 2解：jlntanx2解：jdx=j1解：方法一：思路:将被积函数的分子分母同时除以ex，则凑微分易得。方法二：思路:分项后凑微分exexex1-ex方法三：思路:将被积函数的分子分母同时乘以ex，裂项后凑微分。解：方法一:424x6+4424424x6+4424令x=，则dx=-dt。tt2：jdx=jt根(-1)dt=-1jd(4t6)=-1jd(4t6+1)x(x6+4)1+4t2241+4t6241+4t6t6t24x6解：方法一:xxxxxx-x2x8x6x4x21-x2=-----ln+=-----ln+C。1tt2：jdx=jt8(一1dt)=一jt8dt=一j(t6+t4+t2+1+1)dtt2tC7532t+17x75x53x3x21+x法的练习。为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角★★★(1)jdx思路:令x=sint,t几，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。22ctdt2xx22x)x3x★★★(3)jdx(x2+1)3思路:令x=tant,t<，三角换元。22jdxjsectdtjdtjcostdtsintCxCxsectsect1+x2★★★(4)jdx(x2+a2)322★★★★(5)jx2+1dxxx4+1思路:先令u=x2，进行第一次换元；然后令u=tant,t<，进行第二次换元。2xx4+12x2x4+1xx4+12uu2+12：jx2+1dx=1ju+1du=1jtant+1sec2tdt=1jtant+1sectdtxx4+12uu2+12tant.sect2tant22222uu22x2(与课本后答案不同)★★★(6)j54xx2dx角换元，关键配方要正确。22242321思路:求出的不定积分，由条件f(0)=1确定出常数的值即可。n=jtann2xdtanxI=1tann1xI.n2n1n25434214242习题4-31+x21+x21+x21+x21+x221+x22222222222242222422422282162217223331+x2331+x2331+x2331+x2331+x23331+x23661+x2366222222222xx22xxx222x122x122x122x122x1242222严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。x2xxxxxx2xxxxx2xxxxxxxxxx222444x4248488x488483284xxxlnxxx22244484822222626226262622222222222222242224222★★★(22)jexsin2xdx解：方法一：55方法二：222225xx1+xCx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。=1x2ln1+x+x1ln1+x+C=1(x21)ln1+x+x+C21x21x21x=x2ln1+x+x1ln1+x+Cx写成==写成==2sinx22sinx22思路分析：审题看看是否需要分项，是否需要分部积分，是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍3333933x222x+122x+1242222x+124222xxx又f(xex,：f(x)xexex=ex(x1),：xf(x)ex(x1);xx2x2xxxx★★★★5、设In=jdxnsinn1xn2nsinn1xn2 nsinnxsinnxsinnxsinnxsinnxsinn2xsinnxn2sinnxn2sinnxsin2nxn2sinn-1xn2sinnxn2sinn1xn2sinnxn2=cosx+I+nInI+I=cosx+nI(n2)Isinn1xn2nn2n2sinn1xnn2又x=f(f1(x))习题4-4，析。思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。x3xxx+1x1x3xxx+1x1思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。x3xxx+1x1x3xxx+1x1323x3+1x+1x2x+1x+113(x)2+()21(2x1)1x3+1x+1(x)2+2(x)2+(23)22(x1)2+324x1324(2)2+123x1x123x+1ABCx+1ABCx+1：jx+1dx=j1dx+j2dx=11+C=x+C(x1)3(x1)2(x1)3x1(x1)2(x1)2x+2322ABCDx+2322ABCD2：=___：=+___=+__：=+___=+__：j3x+2dx=j1dx_j2dx_j2dx+j2dxx(x+1)3(x+1)3(x+1)2x+1x=_=_13133(2)2+123232=j1dx1j1d(x2+1)+2jdxx2+12(x2+1)2(x2+1)2(x2+1)2x2+12x2+12x2+1(32而3 22xxxx(x+1)2(x1)(x+1)2(x1)x+1(x+1)2(x1)2211：jx2+1dx=1jdx+1jdxj1dx(x+1)2(x1)2x12x+1(x+1)2ABAx：j1dx=j1dxjxdx=lnx1j1d(x2+1)x(x2+1)xx2+12x2+12x2+111(x2+x)(x2+1)x(x+1)(x2+1)22一.2=一.x2=一.x2：：x+12x2+11x+12x2+111x11一.一.1x+12x2+1x+12x2+12x2+1(x2+x)(x2+1)x2x+12x2+12x2+1x24x2+12242(228x2x+14xx28x2x+14x4+14x2+12x4x2x4+14x2+12x4x2+1+2x82182122222(2x2(2x+2)(2x2)11=[]+[+82121421]xxx(x+)2+(x)2+22222222+]dx222：jdx=2j[(2+]dx222x4+18212142(x+)2+(x)2+(x+22222=2[j(2x+2)2=2[j(2x+2)21x2+1+2xx2+1+2x2222=2[j12x)]d(x2+1+2x)j1d=2[j12x)]x2+1+2xx2+1+2x4(14(1xx22xxxx2x22x2x2+1xx2+1xx2x2xx1x(x)2+1x22xx2xxx++：jx22dx=jdx+1j2x+1dx3j1dx(x2+x+1)2x2+x+12(x2+x+1)22(x2+x+1)242()222=23j3+1j1d(x2+x+1)3j1dx3(2x+1)2+12(x2+x+1)22(x2+x+1)23=23arctan(2x+1)113j1dx332x2+x+12(x2+x+1)2：jx22dx=43arctan(2x+1)x+1+C.(x2+x+1)233x2+x+1I=[I=[+(2n3)I]nnxx333+sin2x3csc2x+13cot2x+462xx+(cot)21262631+t2jdx=1arctan(1tanx)+C.3+cosx222222tan2x+22(tanx)2+(2)2222222 2+sinx2+2tt2+t+132433xx：jdx=j1+t2=jdt：jdt=1(j1dt一jtdt+j1dt)(1+t)(1+t2)21+t1+t21+t221++jdt1jdtjdt1jdt33：jdx=j1+t2=jdt5xxsinxcosxtt2(5t2+8t+5)(1一t2)=一(=一(+)dt44(|||l7(1|D=一9(5+4sinx)cosx16t一116t+145t2+8t+585t2+8t+5sinxcosxtttt85t2+8t+5164243xxC162162422243：jdx=j1一t2=jdt=一jdt11ABC(16：jdt=16j1dt+1j1dt一1j1dt(5+4sinx)cosx9182一(1Ajdt=1j1dt一1j1dt一1j1dt(1+cosx)sinx4421+cosx1xC(1+cosx)sinx4421+cosx2322422★★(9)jdxx1+3x+11+t1+t1+t22323.★★★(12)jdx★★★(12)jdx思路：变无理式为有理式，变量替换t=8x。x2x24x+xt2+t41+t21+t21+t2★★★(13)jx3dx2332a1x1xaa★★★(15)jdx3(x+1)2(x1)43(x+1)2(x1)23t2222总习题四思路分析：略。解：(B)。思路分析：对条件两边求导数后解出f(x)后代入到要求的表达式中，积分即可。f(x)223f(x)223思路分析：求出f(x)后解得(x)，积分即可。xx1xx1思路分析：注意到dF(x)=f(x)dx，先求出F(x)，再求f(x)即可。2444体分析。55t1()x+1313x2xt1()x+1313x2x55252535375★(2)jdx(x>1)xx212xx21secttantx9x4x★★★(3)j2x9x4xx39x9x4x2x3解：令t=解：令t=()x，则dt=()xlndx。333：j2x3xdx=j333：j2x3xdx=j(3)xdx=1j9x4x1[(2)x]2ln2ln313t22(ln3ln2)t1t+1()()x1=ln+C=ln2(ln3ln2)t+12(ln3ln2)=ln+C2(ln3ln2)3x+2x解：jx2dx=1j1dx3=1j1dx3令t=x3a6x63a6x63a6(x3)2dxdxaxatatataat+a3=一=一解：方法一：jdx=jdx222222C2令t=x，jdxdx2思路：倒代换！11tt2：jdx=jt(1dt)=jt9dt=1jdt10=1jd(2t10+1)x(2+x10)2+1t22t10+1102t10+1202t10+1tt5cosx+2sinx5cosx+2sinx2x2x22222222思路分析：分项后，第二个积分显然可凑现成的微分，分部积分第二个积分，第一个积分不动，合并同任意常数即可。=f2(x)jf(x)2f(x)f4(x)3f5(x)f(x)f2(x)dxf2(x)f6(x)：j[f(x)f2(x)f(x)]dx=1f2(x)+C.f(x)f3(x)2f2(x)nxIn2。nn1n2n1n25434214242★★★8、jdx=(B).tttt2jdxjt1dt)=j4xxt2secu22x22x2x21sec2ttantsectxxxxxx2x21x2sin2tcostsintsin2txxxjdx2：jdx=jcostdt=jdt=jdt=jsec2tdt(1+x2)1x2(1+sin2t)cost1+sin2tcos2t+2sin2t1+2tan2t2tant)2221x2xx22xx2xx1+x2xx34124xx1+x22233x32221+x22x(1+x2)：jdx=jt(1dt)=jtdt=1ln(1+t2)+C=1ln(1+x2)+Cxxtt2x2t2tx32x22x21+cosxx2222222222222222222221n1nn1knn1)(n2)(nk+1)xnk++(1)n1n!x)+(1)nn!Iknnnnkxnkn1n!x)+(1)nn!ex+C488x4+2488x4+2222222222222224222422x8+3x4+2x8+3x4+2x8+3x4+28x8+3x4+248x8+3x4+28x8+3x4+248x8+3x4+28(x4+3)212448x8+3x4+28(x4+3)2124=x4lnx8+=x4lnx8+3x4+2+ln+C35x4+135x4+1488x4+2488x4+2解：j1–x8dx=jdx–jx8dx=jdx–jx7dx：jdx=jt(–1dt)=–jt7dt=–1jdt8=–1ln(1+t8)+Cx(1+x8)1+1t21+t881+t881t8t8x1x(1+x8)8x84(x–2)100(x–2)100xxxx=–––=––––+C解：jxdx=1jdx2=1[jdx2jdx2]=1lnx2+1+C.(x2+1)(x2+4)2(x2+1)(x2+4)6x2+1x2+46x2+41xx1xx+1(x2+1)(x2+x+1)x2+1x2+x+1：jdx=jxdx+jx+1dx=1jdx2dx+1j2x+2dx(x2+1)(x2+x+1)x2+1x2+x+12x2+12x2+x+12x2+12x2+x+12x2+x+122x2+x+1+1jdx=1ln(x2+1)+1ln(x2+x+1)+1j32(x+1)2+3223(2x+1)2+12432233xx：j3xdx=jt26t5dt=6jdt=6jdt6jdt=6lnt+Cx(x+3x)t6(t3+t2)t(t+1)tt+1t+1：j3xdx=6ln6x+C.x(x+3x)6x+1x+x+1531531532532x+x+153★★★★★(8)、jdx(x1)x22tt2 (解题过程中涉及到开方，不妨设t=>0，若小于零，不影响最后结果的形式。也就是：不论正负，d(t1)(1+1)22t22(t1)222(x1)x22t222(x-1)3(x+1)2(x1)41+t21+t21+t2=lnt+t2+C=lnt+t2+C=lnt