泛函分析读书笔记(上)(可编辑修改word版)

第一部分线性代数第一章线性空间第一节线性空间一、基本概念二、基本性质⑴、性质：零元素唯一⑵、证明：假设：30V，对于VV，都有+0=130V，对于VV，都有+0=22VV=特别：0+0=012对于VV，都有+0=特别：0+0=0212112⑶、性质：负元素唯一第二节线性无关一、基本概念1122rr2r2r12r使得：k+k+^+k=01122rr2r12r使得：k+k+^+k=01122rr2r1122rr12r二、基本性质2r一其中某一向量可由其余向量线性表出kakaakakra1122rr1k2kr1122rr122rr2r12s1111212s1s1j1jijijjj=11122rriiijijijij(kt+kt+^+kt=012r2r⑴、概念：两个向量组等价【互相线性表出】⑵、性质：两个等价的线性无关向量组，必定含有相同数目的向量2r12s2r2r2r2r12r使得：k+k+^+k+k=01122rrk0=(k1)+(k2)+^+(kr)k2k2kr1122rr=l+l+^+l1122rr(kl)+(kl)+^+(kl)=0111222rrr1122rr第三节维数、基和坐标12n12n12n1122nn12n向量组a，a，^，a线性无关2n并且：线性空间V中的任意向量，均可由它们线性表出2nn12n第四节极大线性无关组如果：该部分组线性无关并且：添加任一向量均线性相关⑴、性质：极大线性无关组与向量组本身等价12krk12k12kr12krk2k⑴、性质：向量组的极大线性无关组，含有相同个数的向量无关组1等价第五节线性子空间⑵、两种运算封闭：VaW，VW，a+WVkP，VaW，kaW12r12r那么：所有可能的线性组合ka+ka+^+ka构成V的一个子空间1122rr2r2r⑵、证明：非空子集＋两种运算封闭12r12s12r12s12r1122rriii=1i111212s1sj1jijijjj=1axrkaxrkxstbxsxrktbiiijijijijii=1j=1j=1i=112s12r12si12ri12si12s12m12mm12m12m第六节子空间的交与和121211222那么：VIV也是线性空间V的子空间⑵、证明：VIV=非空子集【至少都包含零元素】2Va=VIVa=V，a=V212V=VIV=V，=V1212a+=V，a+=Va+=VIV12122那么：V+V也是线性空间V的子空间12⑵、证明：Va=V+Va=a+a，a=V，a=V12121122V=V+V=+，=V，=V12121122a+=V，a+=V111222a+=(a+a)+(+)=(a+)+(a+)=V+V1212112212⑴、公式：维V+维V=维(VIV)+维(V+V)121212m121m1n111m1n221m1n11n212mmnn11n2n2121211mmmm11n1n111mmmm1n1nn1mmm1n2121m1n11n2第七节子空间的直和1212121122121212112212112212121122221212aaVaV12121122121122亭a=-a亭a=V，a=V，a=V，a=V1211221221亭a=VIV，a=VIV亭a=a=011221212121212：必要性：向量0线性相关亭不存在线性相关的向量组充分性：假设：线性空间V至少包括一个非零向量a121212第八节线性空间的同构并且：存在V)W的双射G【双射＝一一映射＝满射＋单射】12n12n1122nn2n12n②、构造V)Pn的双射G【向量到坐标的双射】12n1122nn12n1122nn12n1122nn12n111222nnn1122nn1122rr1122rr12r12r1122rr1122rr1122rr12r12r12r⑹、证明：反证法⑺、性质：同构的线性空间同维12n12n111②、两种运算封闭1*(V)*()1(*)V111(*)1(*)V【运算封闭】11[1(*)1(*)][1(*)][1(*)]****(V)1[1()][1()][1()]第二章欧几里得空间第一节实线性空间⑴、两种运算：①、向量加法12n12n1122nn②、向量数乘12n12n第二节欧几里得空间一、基本概念12n12n1122nna⑵、概念：单位向量=|a|二、柯西不等式b(a，b)t=-=第三节标准正交基ijijj=1i=1n1122nn1122nniij⑵、定义：正交基＝正交向量组＋基⑶、定义：标准正交基＝正交基＋单位向量⑴、性质：正交向量组线性无关12r1122iirr1122iirriiiii⑴、定理：任何一个正交向量组，可以扩充为一组正交基12mm12m可由线性表出12mm1jjm1ijjiijjiiiiiki(kiii12n12n12n12n1mm12mmm+1m+1jjj=1m+1im+1m+1jjij=1m+1im+1jjim+1im+1iiij=1m+1im+1iiinm+1=mmmm+1jjj=1m+112m+112m+112m+112m+112m+1第四节正交补则称a、V正交，记为a」VV、W正交，记为V」W121212212112s12s12siia12siiii⑴、性质：任何子空间的正交补，存在并且唯一1212112m11mnmn2112VVVVV13222213113311131111323323233223第三章线性变换一、线性变换的定义⑵、T(ka)=kT(a)，VkP，VaV121212212122二、线性变换的运算12⑵、性质：线性变换的乘积，仍是线性变换121212212121212akTTa121212121212⑵、性质：线性变换的加法，仍是线性变换⑶、证明：同上类似三、线性变换的矩阵12n12n那么：存在唯一的一个线性变换Tii⑵、证明：存在性和唯一性1i2i121122nn111122nn111212n1n121222n2n21122nn212n12n那么：存在一个线性变换Tii1122nniii=11122nniii=1iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii12ini122nia]a]^2n12nTcacacac「aaLaa12n112n12n⑵、性质：如果：取定一组基122121i2i12i1i2iniii⑴、线性变换的加法，对应于矩阵的加法⑵、线性变换的乘积，对应于矩阵的乘积⑶、线性变换的数乘，对应于矩阵的数乘⑷、线性变换的逆，对应于矩阵的逆第二部分泛函分析第一章度量空间第一节度量空间一、度量空间二、基本概念⑴、性质：度量空间的任何子空间，仍是度量空间1111⑵、性质：Q=R)R的等距映射亭Q=R)R的单射111QRR映射111111三、极限nn)n)w则称：点列{x}按距离收敛于xnnnn)wnnnnnn)wnnn)wn⑴、性质：收敛点列的极限唯一n)wnn)wx)y亭limp(x，y)=0n)wnn)wnnn)wnn)w⑴、性质：如果：xx，yyn0n0nn00n0n0yylimp(y，y)=0n0n0p(x，y)p(x，x)+p(x，y)+p(y，y)nnn0000np(x，y)p(x，y)p(x，x)+p(y，y)nn00n0n0p(x，y)p(x，x)+p(x，y)+p(y，y)000nnnn0p(x，y)p(x，y)p(x，x)+p(y，y)00nnn0n00|p(x，y)p(x，y)|p(x，x)+p(y，y)nn00n0n0nnnn00n0nnlimp(x，y)=p(x，y)nn00000如果：M包含在某个开球O(x，r)中0⑴、性质：如果{x}=收敛点列，那么{x}=有界集nnn)wnnn)wn010N0亭{x}包含在开球O(x，r)中n0四、常见的度量空间【内积】t=[a，b]第二节范数一、范数半范数：如果满足范数的前3个条件⑴、性质：如果：||f||max|f(x)|，fC[a，b]x[a，b]x[a，b]x[a，b]fgmaxf(x)g(x)|x[a，b]x[a，b]x[a，b]x[a，b]i12ni1ii11i1in二、范数和距离⑵、证明：距离的两个条件y(x，y)(x，z)(y，z)⑶、归纳：赋范线性空间＋利用范数定义距离度量空间【线性空间＋范数＋距离】nn则称：点列{x}按范数收敛于xnnnnxnnnnnn0n0n0n0nn00n0n000nn0nn0n0n0nnn0nnnnnn0nnnn⑴、性质：利用范数定义距离，必然满足两个条件⑴、利用范数，可以定义距离⑵、利用函数，可以定义距离＋满足两个条件⑶、利用距离＋满足两个条件，可以定义范数⑷、利用距离，不一定可以定义范数【反例】第二章有界线性算子第一节度量空间中的点集000000000000000000200000000000000000⑸、意义：利用环境定义内点000000000000000⑴、定理：x)x一n000⑵、意义：利用环境定义收敛点列⑶、证明：①：任取x的一个环境=O(x)亭x=O(x)的内点0000x=O(x)n0000n0n0n0n000n00n0亭p(x，x)<e亭x)xnn0⑷、推论：x)x一n000n0⑸、意义：利用e-环境定义收敛点列第二节连续映射0000000000fxOfx)仁Y000000则称：映射f在x点连续0⑵、定义：如果：映射f在D上的每一点都连续fD映射⑴、定理：①：映射f在x点连续0000000③：xxf(x)f(x)n0n0⑵、证明：①②映射f在x点连续0fx)的任何环境=O(f(x))0000当xO(x)时，f(x)O(f(x))【定义】00000000x00000⑶、证明：②介③n0n0n0介f(x)个f(x)n0⑷、证明：③介①反证法：映射f在x点不连续0介存在f(x)的一个环境IO(f(x))00对于x的任何环境IO(x)0000x00nn0n0xuOxVxxVlimxxI【夹逼定理】n0n0nn个8n0介x个x介f(x)个f(x)【条件】n0n0n0f(x)IO(f(x))的内点00000n00n00第三节线性算子⑴、定义：算子＝映射⑵、定义：泛函＝取值于实数域或者复数域的算子121212第四节线性算子的有界性与连续性一、有界算子⑴、定理：线性算子一点连续，处处连续0⑶、证明：①：假设：Vx=D亭Vx)xn②：x)xnnnnn00nn00n000n00n00nn亭T在D上处处连续【Vx】000000000x丰0亭x*=x亭x*=S二、算子范数⑷、证明：Vx=X，x)0nnnnnnnnnnupTxwnnnnnn亭limp(y，0)=lim1=0亭y)0n)wnn)w||Tx||nnT=连续算子亭Ty)0nnn三、算子空间性质②：数乘封闭：同上第三章