河北省鹿泉等名校2022年高三下学期第一次联考数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知P：叫>l,log|Xo>3：VxeR,e*>x,则下列说法中正确的是（）

22

A.pvg是假命题B.〃八夕是真命题

C.是真命题D.p/\（—是假命题

2.若,一/二、、？则cos2二=（）

sin（E+-y）=-

A.B.C.D.

~J-J52

3.已知集合A={1,3,J码，5={1,加},若AuB=A,则加=（）

A.。或由B.0或3C.1或右D.1或3

y<x

4.已知不等式组y2-X表示的平面区域S的面积为%若点尸（苍历wS,则+y的最大值为（）

x<a

A.3B.6C.9D.12

5.设过定点M（0,2）的直线/与椭圆C：]+V=i交于不同的两点/>,Q,若原点。在以PQ为直径的圆的外部,

则直线/的斜率Z的取值范围为（）

6.过抛物线>2=4x的焦点厂的直线交该抛物线于A,8两点，。为坐标原点.若|A尸|=3,则直线AB的斜率为（）

A.±72B.-V2C.272D.±20

7,执行如下的程序框图，则输出的S是（）

A.36B.45

C.-36D.-45

8.设函数/(x),g(x)的定义域都为R,且/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()

A./(x>g(x)是偶函数B.|/(x)|-g(x)是奇函数

C.〃x>|g(x)|是奇函数D.|/(x>g(x)|是奇函数

9.已知4>。>0,则下列不等式正确的是()

A.1&-目<柩_4B.|石一4〉柩

D.—A»|>|e*—

io.已知向量互=(1,加)，5=(3,-2),且(〃+6)_L6,则，〃=()

A.-8B.-6

C.6D.8

1

11.定义在R上的偶函数/(%)满足/(x+l)=-(〃月片0),且在区间(2017,2018)上单调递减，已知a,4是

“X)

锐角三角形的两个内角，则/(sinp)j(cosa)的大小关系是()

A./(sin耳)</(cosa)B./(sin/7)>/(cosa)

C./(sinp)^(cosa)D.以上情况均有可能

12.已知等差数列同｝,贝!J"a2>aj是“数列同｝为单调递增数列”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

।,/(%,)-/(x2).

13.设函数/(x)=x|x-a|,若对于任意的修，x2e[2,+s),再r々，不等式__->0恒成立,则实数a

X\~X2

的取值范围是.

432

14.甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为一和一；乙笔试、面试通过的概率分别为一和

543

若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是.

2

15.如图所示梯子结构的点数依次构成数列｛4｝,则qoo=.

••

•••••

•,••••..........

••••••••••••

16.已知双曲线的一条渐近线为y=2x,且经过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的标准方程为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列｛q｝满足且%=?+击(〃22,〃€]\*).

(1)求证：数列｛2"%｝是等差数列，并求出数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛《,｝的前〃项和S“.

18.(12分)已知椭圆E:三+#=l(a>b〉O)的离心率为白，且过点

,点P在第一象限，A为左顶点,

8为下顶点，Q4交y轴于点C,/>5交x轴于点O.

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)若CDHAB,求点P的坐标.

19.(12分)诚信是立身之本，道德之基，我校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用

，，舞徽等，，表示每周，，水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周(共三个

周期)的诚信数据统计:

第一周第二周第三周第四周

第一周期95%98%92%88%

第二周期94%94%83%80%

第三周期85%92%95%96%

(I)计算表中十二周“水站诚信度”的平均数，

(D)若定义水站诚信度高于90%的为“高诚信度”，90%以下为“一般信度”则从每个周期的前两周中随机抽取两周

进行调研，计算恰有两周是“高诚信度”的概率；

(山)已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动,

根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.

22

20.(12分)已知椭圆：C:=+当=1(。>8>0)的四个顶点围成的四边形的面积为2厉，原点到直线二+4=1的

矿/rab

距离为粤

(1)求椭圆。的方程；

(2)已知定点P(0,2),是否存在过户的直线/,使/与椭圆C交于A，B两点,且以为直径的圆过椭圆C的左

顶点？若存在，求出/的方程：若不存在，请说明理由.

21.(12分)如图，在直三棱柱ABC—中，AB=BC=AA,=1,AC=6点DE分别为AC和gG的中点.

(I)棱A4上是否存在点P使得平面平面ME?若存在，写出物的长并证明你的结论；若不存在，请说

明理由.

(II)求二面角A—BE—。的余弦值.

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线/交抛物线C：产=4》于点尸，点尸为C的焦点.圆

心不在y轴上的圆M与直线/,PF,x轴都相切，设M的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)若直线4与曲线E相切于点。(SJ),过。且垂直于4的直线为4,直线4，4分别与y轴相交于点A，B.当线

段48的长度最小时，求S的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

举例判断命题p与g的真假，再由复合命题的真假判断得答案.

【详解】

当与〉1时，l°gl/<°，故，命题为假命题；

2

记/(x)的导数为r(X)=*一1,

易知/(x)=b-x在(-8,0)上递减，在(0,4-00)上递增，

.*./(x)>/(0)=1>0,即故4命题为真命题；

:.p/\(F)是假命题

故选D

【点睛】

本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题.

2.B

【解析】

由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.

【详解】

因为,一、7由诱导公式得-所以一

Sin(z+^)=YCOSL=-ycos?二=2COS72

故选B

【点睛】

本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.

3.B

【解析】

因为=A，所以BqA,所以加=3或根=诟.

若m=3,则A={1,3,百},B={1,3},满足ADB=A.

若m=Gi,解得m=0或m=1.若加=0,则A={1,3,0},8={1,3,0},满足ADB=A.若加=1,

A={1,3,1},8={1,1}显然不成立，综上加=0或〃7=3,选B.

4.C

【解析】

分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出。=3,然后分析平面区域多边形的各个顶

点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.

详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：

则A(a,a),,所以平面区域的面积S='•a•2a=9,

2

解得a=3,此时A(3,3),B(3,-3),

由图可得当z=2x+y过点A(3,3)时，z=2x+)，取得最大值9,故选C.

点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目

标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最

优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相

应的方法求解.

5.D

【解析】

设直线/：y=kx+2,P（x”x）,。（看，必），由原点。在以PQ为直径的圆的外部，可得丽•丽>0,联立直线

/与椭圆C方程，结合韦达定理，即可求得答案.

【详解】

显然直线x=0不满足条件，故可设直线/：y=kx+2,

4+2]

P（3，X），。（工2，必），由"2+'一，得（1+2/）炉+8h+6=0,

y=kx+2

A=64-一24（1+2公）>0,

•••解得人当或—坐

8k6

.・％+X-j-9X,X2-T

1+2女2121+2公

n

•••0<ZPOQ<y,

■-OPOQ>0,

OPOQ=%丹+，1%=%%2+（烟+2）（5+2）

60+父）16k210-2公

（1+攵2）%%2+2攵（%+勺）+4+4=>0,

1+2-1+2公l+2k2

解得Y<k<#，

，直线/的斜率Z的取值范围为左e$当Li]乎.

<27k2）

故选：D.

【点睛】

本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定

理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

6.D

【解析】

根据抛物线的定义，结合|AF|=3,求出A的坐标，然后求出AE的斜率即可.

【详解】

解：抛物线的焦点厂（L0）,准线方程为x=—l,

设A(x,y),贝！||AF|=x+l=3,故x=2,此时y=±2&,即4(2,±2近).

则直线AF的斜率k=丝也=±272,

2-1

故选：D.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题.

7.A

【解析】

列出每一步算法循环，可得出输出结果S的值.

【详解】

i=lW8满足,执行第一次循环，S=0+(-l)'xl2=-l,i=l+l=2

i=2«8成立,执行第二次循环,S=—1+(—1)x22=3,i=2+1=3；

i=3W8成立,执行第三次循环,S=3+(-l/x32=-6,z=3+l=4；

i=448成立,执行第四次循环,S=-6+(-l)4x42=10,i=4+l=5

52

i=5W8成立,执行第五次循环,S=1O+(-1)X5=-15,Z=5+1=6

62

，=6«8成立,执行第六次循环,S=-15+(-1)X6=21,i=6+1=7；

i=7W8成立,执行第七次循环,S=21+(-l)7x72=-28,i=7+l=8；

82

i=8W8成立,执行第八次循环,S=-28+(-1)X8=36,Z=8+1=9；

i=9W8不成立，跳出循环体，输出S的值为36,故选：A.

【点睛】

本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等

题.

8.C

【解析】

根据函数奇偶性的性质即可得到结论.

【详解】

解：•・•/(X)是奇函数，g(x)是偶函数,

•••f(-x)=-/(x),g(-x)=g(x),

f(-x)・g(-x)=-/(x).g(x),故函数是奇函数，故A错误，

l/(-x)卜g(-幻=1/(x)卜g(x)为偶函数，故3错误，

/(-x)dg(-x)1=-/(x)4g(x)I是奇函数，故C正确.

|/(-x).g(-x)Rf(x)・g(x)|为偶函数，故。错误，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.

9.D

【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项.

【详解】

已知4＞人＞0,赋值法讨论。＞人＞0的情况：

(1)当时，令a=2,b=l,贝扬—4，卜―W，排除B、C选项；

(2)当0＜》＜aWl时，令4=3,b,贝!]]6一目＞|逐-a],排除A选项.

故选：D.

【点睛】

比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条

件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题.

10.D

【解析】

由已知向量的坐标求出d+5的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案.

【详解】

Va=(1,m),b=(3,-2),:.a+b=(4,m-2),又(汗+5)J_5,

A3x4+(-2)x(m-2)=0,解得m=L

故选D.

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题.

11.B

【解析】

由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求/(X)在(0,1)上的单调性，结合三角函数的性质即可比较.

【详解】

由/(x+1)=一1可得/(x+2)=/［(尤+1)+1］=1—=/(%),即函数的周期7=2,

f(x)/(x+1)

因为在区间(2017,2018)上单调递减，故函数在区间(-1,0)上单调递减，

根据偶函数的对称性可知，/(x)在(0,1)上单调递增，

因为a,夕是锐角三角形的两个内角，

所以见£w(0,g乃)且a+/?>g乃即<7〉:万-尸，

所以cosa<cos(；万一6)即0<cosa<sin2<1,

/(cos«)</(sin/?).

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.

12.C

【解析】

试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

解：在等差数列伯力中，若a2>a”则d>0,即数列｛a0｝为单调递增数列，

若数列｛a”｝为单调递增数列，则a2>a”成立，

即“a2>ai”是“数列｛aj为单调递增数列”充分必要条件，

故选C.

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.a<2

【解析】

试题分析：由题意得函数/(x)=x|x-a］在［2,+8)上单调递增，当时/(x)=x(x-a)在［2,+«。)上单调递增;

当。>2时/(x)=x|x-4在团,+8)上单调递增；在⑵。)上单调递减，因此实数a的取值范围是a<2

考点：函数单调性

8

14.

15

【解析】

分别求得甲、乙被录取的概率，根据独立事件概率公式可求得结果.

【详解】

433211

甲被录取的概率Pi=^X]=4；乙被录取的概率p?=

32]2R

二只有一人被录取的概率〃=巧（1_〃2）+〃2（1_四）=彳*4+々、]=记.

Q

故答案为：

【点睛】

本题考查独立事件概率的求解问题，属于基础题.

15.5252

【解析】

根据图像归纳%=2+3+4+...+〃+2,根据等差数列求和公式得到答案.

【详解】

根据图像：4=2+3,^=2+3+4,故4=2+3+4+...+〃+2,

石（2+102）x101

故4=2+3+4+…+102=^---------=5252.

coa

故答案为：5252.

【点睛】

本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

16.-工=1

4

【解析】

、,2

设以直线y=为渐近线的双曲线的方程为--3=/1（/1*0）,再由双曲线经过抛物线＞2=4x焦点"1,0）,能

求出双曲线方程.

【详解】

解：设以直线y=为渐近线的双曲线的方程为一一上_="a70）,

•.•双曲线经过抛物线丁=4x焦点以1,0），

:.1=2,

.•.双曲线方程为无2-21=1,

4

2

故答案为：X2——=1.

4

【点睛】

本题主要考查双曲线方程的求法，考查抛物线、双曲线简单性质的合理运用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析，4=今史；(2)5“=5-2|号.

【解析】

(1)将等式/=智+击变形为2"a"=2"%T+2,进而可证明出｛2"。"｝是等差数列，确定数列｛2%｝的首项

和公差，可求得2"4的表达式，进而可得出数列｛q｝的通项公式；

(2)利用错位相减法可求得数列｛q｝的前〃项和S”.

【详解】

（1）因为%=首L+F（/N2,“eN*）,所以2"。，=：尸％+2,即2a_2"T%=2,

所以数列｛2"/｝是等差数列，且公差d=2,其首项2%=3

c.1

所以2%“=3+（〃—l）x2=2〃+l,解得%=-^-；

,、。3572n-l2n+l右

“222232“T2"

S„3572n-\2n+l人

22223242"2'向

GG尔S“3C.111、2〃+132»+1_52”+5

①一②，1#-=-+2x—+—+•••+-------=-

22<22232"J2M212"T22"+,

1---

2

所以5.=5-竽・

【点睛】

本题考查利用递推公式证明等差数列，同时也考查了错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

炉，(r

18.(1)---Fy-=1；(2)v2,--

42

【解析】

(1)由题意得"=〃+c2,求出/,从,进而可得到椭圆后的方程;

79

--7----7

4a216b2

(2)由(1)知点A，B坐标，设直线AP的方程为y=%(x+2),易知可得点。的坐标为(0,2%),联立方

y^k(x+2)

程f，得到关于丁的一元二次方程，结合根与系数关系，可用〃表示P的坐标，进而由。,民。三点共线,

—+/=1

I4

即心。=A/>B，可用攵表示。的坐标，再结合七可建立方程，从而求出k的值，即可求得点P的坐标.

【详解】

/=4

(1)由题意得+c?解得

b2=1

79

4?+16^-

v-2

所以椭圆E的方程为工+y2=i.

4-

(2)由⑴知点A(—2,0),B(0,-1),

由题意可设直线AP的斜率为％,则0<Z<g,所以直线AP的方程为y=%(x+2),则点C的坐标为(0,24，

y=Z(x+2)

联立方程丫2,消去》得：(1+4%2)/+1622》+16攵2—4=0.

—+/=1

I4-

16^-48k2-2

设P(无1,X),则一21%所以玉=

1+4/1+4-

山川，,8^—2i4Z28女2-2

所以％=k(--------+2)=-----,所以P(--------

'l+4k21+4/71+4公

设。点的坐标为(与,0),因为点「,民。三点共线，所以kRD=kpB，即

4k,

i-----7+1

1二1+4二..2—4k„2—4k.

,所以%=,c,，所以。（，c,,0）.

8k2-2

x0―\+2k1+2女

-l+4%2

2k_1

因为CD〃AB,所以氏8=%相，即2-4k2»

-1+2%

所以4公+4左一1=0,解得〃=二1士也

2

又0〈人〈:，所以&=立二1符合题意,

22

01,2_Q

计算可得—竺三=啦,4k

1+4公1+4火2-T

故点P的坐标为(友,*).

【点睛】

本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查平行线的性质，考查学生的计算求解能力，属于难

题.

2

19.(I)91%；(D)y;(ID)两次活动效果均好，理由详见解析.

【解析】

(I)结合表中的数据，代入平均数公式求解即可；

(H)设抽至1卜高诚信度”的事件为4,则抽至!!“一般信度”的事件为8,则随机抽取两周，则有两周为“高诚信度”事件

为C,利用列举法列出所有的基本事件和事件C所包含的基本事件，利用古典概型概率计算公式求解即可；

(ni)结合表中的数据判断即可.

【详解】

(I)表中十二周“水站诚信度”的平均数

_95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+961

x=---------------------------------------------x——=91%.

12100

(n)设抽至心高诚信度”的事件为则抽至u“一般信度”的事件为8,则随机抽取两周均为“高诚信度”事件为c,总

的基本事件为44、AA、44、AA、A2A3、AA'4A、A/QAA、44、A^、&B、A3B,4a、共15种,

事件C所包含的基本事件为A4、AA3、AAPAA、人出、44、AM共IO种，

由古典概型概率计算公式可得，P(C)=-1^0=-2

153

(Ill)两次活动效果均好.

理由：活动举办后，“水站诚信度，由88%—94%和8()%-85%看出，后继一周都有提升.

【点睛】

本题考查平均数公式和古典概型概率计算公式；考查运算求解能力；利用列举法正确列举出所有的基本事件是求古典

概型概率的关键；属于中档题、常考题型.

=

20.⑴f+f⑵存在'且方程为二¥"2或k竽X+2.

【解析】

(1)依题意列出关于a,b,c的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；(2)联立直线和椭圆得到

(3+5公卜2+20依+5=0,要使以为直径的圆过椭圆C的左顶点。卜百,0),则力4.诙=0,结合韦达定理

可得到参数值.

【详解】

(1)直线上+2=1的一般方程为法+取一。8=0.

ab

lab=2V15

ab病“

依题意L，故椭圆C的方程式为二+8=1.

y/a2+b24b—V353

a2=b2+c2

(2)假若存在这样的直线/,

当斜率不存在时，以|A可为直径的圆显然不经过椭圆C的左顶点,

所以可设直线/的斜率为左，则直线/的方程为y=^+2.

y=kx+2

由《）o得（3+5/?卜2+20.+5=0.

3%2+5/=15

记A，B的坐标分别为(石,y),(x2,y2),

,20k5

则n…“二友

而yxy2=（依+2）（优+2）=储石9+22（%+9）+4.

要使以|为直径的圆过椭圆C的左顶点。卜6,0),贝!I方.诙=0,

即y必+=(Z"+1，％/+(2%+5/^)(%]+/)+9=0,

所以(右)春伞+同春+9=°，

整理解得上=述或左=述

55

所以存在过P的直线/,使/与椭圆。交于A,B两点,且以|A@为直径的圆过椭圆。的左顶点，直线/的方程为

27586c

y——-―尤+2或y-—-—x+2♦

【点睛】

本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次

的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解

决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式

的作用.

311

21.(I)存在点P满足题意，且以=巳，证明详见解析；(II)—.

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【解析】

(I)可考虑采用补形法，取4G的中点为F，连接印，AF,DF,可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证

平面ACC-即若能证明则可得证，可通过W△皿)sRf我们反推出点P对

应位置应在幺=3=处，进而得证；

4

(II)采用建系法，以。为坐标原点，以DB,DC,OF分别为石丫，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应

法向量，再结合向量夹角公式即可求解；

【详解】

3

(I)存在点P满足题意，且小=；

4

证明如下：

取4G的中点为尸，连接EF,AF,DF.

贝!!斯〃44〃A8,所以AFu平面ABE.

因为45=BC,。是AC的中点，所以BO_LAC.

在直三棱柱ABC-A4G中，平面ABC,平面ACG，且交线为AC,

所以平面A