高考数学《有理数的乘法》重难点试题-带解析

专题1.11有理教的乘法-重唯点题型

【人数版】

题型1有理数乘法法则的辨析

题型2利用有理数乘法法则判断符号

题型3有理数乘法运算律的运用

题型4倒数的概念及运用

。如芦一名三

【知识点1有理数乘法的法则】

①有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.

②任何数同零相乘,都得0.

③多个有理数相乘的法则:①几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个

时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.②几个数相乘,有一个因数为0,积就为0.

【题型1有理数乘法法则的辨析】

【例1】（2020秋•碑林区校级月考）下列叙述正确的是（）

A.互为相反数的两数的乘积为1

B.所有的有理数都能用数轴上的点表示

C.绝对值等于本身的数是0

D.〃个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负

【解题思路】根据相反数、有理数、绝对值的定义即可判断.

【解答过程】解:力、互为相反数的两个数和为0,故力错误.

从实数和数轴一一对应,故所有的有理数都能用数轴上的点表示.故6正确.

C、绝对值等于本身的是0和正数,故C错误.

第1页共15页

D、n个有理数相乘,负因数的个数为奇数个时,积为负，但0除外,故〃错误、

故选:民

【变式1T】（2020秋•澧县月考）下列说法中，不正确的个数有（）

①符号相反的数叫相反数；

②四个有理数相乘,若有两个负因数,则积为正；

③倒数等于本身的数只有1；

④相反数等于本身的数只有0；

A.。个B.1个C.2个D.3个

【解题思路】①根据相反数的定义即可求解；

②根据有理数的乘法法则即可求解；

③根据倒数的定义即可求解；

④根据相反数的定义即可求解.

【解答过程】解:①只有符号相反的数叫相反数,故①符合题意；

②四个有理数（0除外）相乘,若有两个负因数,则积为正,故②符合题意；

③倒数等于本身的数有±1,故③符合题意；

④相反数等于本身的数只有0是正确的，故④不符合题意.

故选:〃.

【变式1-2］（2020秋•温江区月考）下列说法中正确的有（）

①同号两数相乘，符号不变；

②异号两数相乘,积取负号；

③数a、6互为相反数,它们的积一定为负；

④绝对值等于本身的数是正数.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】根据有理数乘法法则和相反数,绝对值的性质进行判断便可.

【解答过程】解:①同号两数相乘,符号为正号,不是符号不变,该小题说法错误；

②异号两数相乘,积取负号,这符合乘法法则,该小题说法正确；

③数a、6互为相反数,它们的积不一定为负，如a、6都为0,它们互为相反数,但它们的积为0,不为负，

该小题说法错误；

④绝对值等于本身的数是非负数,包括正数和0,不一定是正数,该小题说法错误；

2

第2页共15页

故选:/.

【变式「3】（2020秋•海陵区期中）a、6是两个有理数，若数<0,且界6>0,则下列结论正确的是（）

A.a>0,b>0

B.a、6两数异号，且正数的绝对值大

C.<a<0,b<0

1）.a、。两数异号，且负数的绝对值大

【解题思路】根据有理数乘法积的符号判断因数的符号,再根据有理数和的符号判断绝对值的大小,进

而得出答案.

【解答过程】解：•••a6V0,

:.a、6异号，

又

二正数的绝对值较大，

故选

【题型2利用有理数乘法法则判断符号】

【例2】（2020秋•万州区校级月考）若加<0,a-则a、6这两个数（）

A.<a<0,A<OB.a>0,6<0C.a<0,A>OD.a>0,b>0

【解题思路】根据ab<0,得出a、6异号,再根据a-b<0,得出a<0,b>0.

【解答过程】解：..飞6<0,

•'•a、6异号，

■:a-Z）<0,

/.a<0,b>0-,

故选:C.

【变式2-1］（2020秋•九台区期中）已知abc>0,a>0,ac<0,则下列结论判断正确的是（）

A.（a>0,b>0,c>OB,a>0,Z?>0,c<0

C.<3>0,b<0,c>OD.a>0,b<0,c<0

【解题思路】根据有理数的乘法,同号得正,异号得负，即可判定.

【解答过程】解：•.%>（）,ac<0,

c<0,

'：abc>0,

第3页共15页

：.b<0-,

故选:〃.

【变式2-2］（2020秋•雨花区月考）已知>6>0,a6<0,且a>6,则a、6的符号是（）

A.同为正B.同为负C.a正6负D.a负2;正

【解题思路】根据ab<0可得a,6异号，再由a>6即可判断出答案.

【解答过程】解；：a6<0,r.a,6异号

又抖6>0且a>b,；.a正b负.

故选：C.

【变式2-3］（2020秋•高安市校级期末）已知三个有理数m,〃,。满足研〃=0,n<m,mnp<Q,则卬/升"。一定是

（）

A.负数B.零C.正数D.非负数

【解题思路】先根据相反数的定义判断出以,n的关系，再根据n〈m,mnp<Q判断出力,n,p的符号,便可

求解.

【解答过程】解：：小尸。，二见〃一定互为相反数；

又n</n,/nnp<0,.,.n<0,p>0,m>0,

：.mn<0,np<0,

二勿加加一定是负数.

故选:4

【题型3有理数乘法运算律的运用】

【例3】（2020秋•喀喇沁旗期末）‘1232"24,这步运算运用了（）

A.加法结合律B.乘法结合律C.乘法交换律D.乘法分配律

【解题思路】根据有理数的运算律进行判断即可.

【解答过程】解：1232“24,这步运算运用了乘法分配律.

故选:〃.

18115

—x15=（100——）x15=1500——

【变式3-1］（2020秋•鼓楼区校级月考）991919，19,这个运算应用了（）

A.加法交换律

B.乘法结合律

C.乘法交换律、乘法结合律

第4页共15页

D.乘法分配律

【解题思路】根据有理数的乘法,即可解答.

18,1、15

—x15=(100——)X15=1500——

【解答过程】解：991919，19,这个运算应用了乘法的分配律，

故选：〃

【变式3-2](2020秋•诸城市期中)写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则：

(-0.4)X(-0.8)X(-1.25)X2.5

=-(0.4X0.8X1.25X2.5)(第一步)

=-(0.4X2.5X0.8X1.25)(第二步)

=-[(0.4X2.5)X(0.8X1.25)](第三步)

=-(1X1)=-1.

第一步：；第二步：；第三步：.

【解题思路】根据有理数的乘法,即可解答.

【解答过程】解:写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则：

(-0.4)X(-0.8)X(-1.25)X2.5

=-(0.4X0.8X1.25X2.5)(第一步)

=-(0.4X2.5X0.8X1.25)(第二步)

=-[(0.4X2.5)X(0.8XI.25)](第三步)

=-(1X1)=-1.

第一步:确定积的符号,并把绝对值相乘；

第二步:乘法的交换律；

第三步:乘法的结合律.

故答案为:确定积的符号,并把绝对值相乘;乘法的交换律;乘法的结合律.

【变式3-3](2020秋•普宁市期中)学习有理数的乘法运算后,老师给同学们这样一道题目：

17

—X

计算：1918(-9),看谁算得又快又准,有两位同学的解法如下：

359_3231_1

小方:原式18X9181792；

17171

4---+—X—

小杨:原式=(1918)X(-9)=19X(-9)18(-9)=7792.

(1)以上两位同学的解法中运算正确吗?如果错误,请帮他们改正;如果正确,分别写出他们解法的算理是

什么？

5

第5页共15页

(2)请你给出与上面不同的算法.

【解题思路】(1)根据计算判断即可;

171

(2)把19元写成(20-元)，然后利用乘法分配律进行计算即可得解.

【解答过程】解：(1)小方、小杨的解法的运算都正确；

小方同学的算理:分数乘法运算性质，

小杨同学的算理:乘法分配律.

17

一X

(2).1918(-9)

1

=(2018)X(-9)

1

----X

=20X(-9)18(-9)

1

+—•

=-1802

1

--179，.

【知识点2倒数的概念】

乘积是1的两个数互为倒数.

①“互为倒数”的两个数是互相依存的；

②0和任何数相乘都不等于1,因此0没有倒数；

③倒数的结果必须化成最简形式,使分母中不含小数和分数；

④互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数).

【题型4倒数的概念及运用】

2

【例4】(2020秋•南岗区校级月考)的倒数是;2.5的倒数是.

(解题思路】利用互为倒数的意义求解即可.

232

-X——X——

【解答过程】解：•.1351,2.551,

232

二二的倒数是42.5的倒数是&

32

故答案为:中小

1

【变式4-1](2021春•杨浦区校级期中)如果卅3的相反数是-53,那么a的倒数是.

【解题思路】先根据只有符号不同的两个数互为相反数求出a,再根据乘枳是1的两个数互为倒数解

答.

1

【解答过程】解：Va+3的相反数是-53,

6

第6页共15页

1

.\a+3=53,

_7

：.a=\

37

V（7）X（3）=1,

3

.二a的倒数是7

3

故答案为:Z

【变式4-2]（2020秋•铁锋区期中）已知a与2互为相反数,x与3互为倒数,则代数式济2+|-6x|的值

为.

【解题思路】依据相反数和倒数的定义可求得a、x的值,再代入所求式子计算即可.

_1

【解答过程】解：由a与2互为相反数,x与3互为倒数,可得a=-2,3,

/.a+2+\-6x|

1

X一

=-2+2+|-63

=1-2|

=2.

故答案为：2.

【变式4-3】（2020秋•贵港期末）若a、6互为相反数，。、d互为倒数,R的绝对值为2.

（1）直接写出济力cd"的值；

a+b

H-----

⑵求加cd瓶的值.

【解题思路】（1）根据互为相反数的和为0,互为倒数的积为1,绝对值的意义，即可解答；

（2）分两种情况讨论，即可解答.

【解答过程】解：（l）：a、6互为相反数，c、d互为倒数,m的绝对值为2,

.".a+b=0,cd—\,/ZF=±2.

a+b

-I-----=

⑵当加=2时，加■cd巾2+l+0=3;

a+b

4-----=-

当必=-2时，/cd血2+1+0=-1.

【题型5有理数乘法的计算】

【例5】（2020秋•朝阳期中）计算：

7

第7页共15页

347

(1)(一办X(一%X(一适)；

-Al

(2)(-5)X(32)x30xOX(-325).

(解题思路】(1)直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案;

(2)直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案.

347

【解答过程】解:⑴(下)x(一弓)x(-诩

347

=------X—X——

7512

1

——

5；

-A)xlx

(2)(-5)X(3230OX(-325)

=0.

【变式5-1](2020秋•城关区校级期中)计算：

2

(1)-0.75X(-0.4)X13；

352

(2)0.6X(4)x(6)x(-23).

【解题思路】(1)直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案;

(2)直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案.

2

x1-

【解答过程】解：(1)原式=-0.75XJ0.4)3

325

=—X—X—

453

_1

-2；

352

⑵原式=0.6X(4)x(6)x(-23)

3358

=------X—X—X—

5463

=-1.

【变式5-2](2020秋•兴化市月考)用简便方法计算：

888

(1)(-9)X3129(-8)X(-3129)-(-16)X3129；

8

第8页共15页

71

—X

(2)9972(-36).

【解题思路】(1)原式逆用乘法分配律计算即可得到结果；

(2)原式变形后,利用乘法分配律计算即可得到结果.

88

—X----

【解答过程】解：⑴原式=3129(-9-8+16)=-3129；

11_1

(2)原式=(10072)x(-36)=-36002~35992.

【变式5-3](2020秋•沙坪坝区校级月考)计算

13131

⑴口正飞+二*4"(下)

-5x(q)+llx(1)-3x(一鲁

【解题思路】(1)先把括号里面的利用乘法分配律进行计算，然后再次利用乘法分配律进行计算即可得

解；

(2)先把第三项整理,然后逆运用乘法分配律进行计算即可得解.

13131

【解答过程】解：⑴□万-U%F)X24]X(-g),

13131

——(—X+-X——X-----

=[124824624424)]X(5),

251

=[24(9+4-18)]X(5)y

251

=(24+5)X(5),

25z11

=—x(————

245)+5X(5),

5

='24-1,

29

~~24；

111122

⑵-5X(5)+ux(5)-3X(5),

111111

=-5X(5)+HX(5)-6义(5),

11

=(-5+11-6)X(5),

=0.

【题型6有理数乘法的应用(含数轴)]

【例6】(2021春•松北区期末)有理数A6在数轴上的对应的位置如图所示，则下列结论不正确的是()

9

第9页共15页

b

-101

A.济。<0B.a6coe.-a>W.a-b>0

【解题思路】本题可先对数轴进行分析，找出a、b之间的大小关系,然后分别分析4B、C,〃即可得

出答案.

【解答过程】解:根据数轴，知a<0,b>0,\a\>\b\,

K6<0,ab<0,-a>b,a-b<0,

只有〃不正确，

故选：〃.

【变式6-1］（2020秋•惠安县期中）有理数a、人在数轴上的位置如图所示，下列关系正确的是（）

Ilill）

a-10b1

A.a+A>0B.a-b>0

C.ab>0D.（6H-1）（b-l）>0

【解题思路】根据数轴上点的位置判断即可.

【解答过程】解:根据数轴上点的位置得:a<-1<0<6<1,

A|a|>|A|,a+l<0,Z?-KO,

则a+6<0,a-b<Q,ab<0,（a+1）（b-l）>0.

故选:〃.

【变式6-2］（2020秋•东港市期中）有理数a、8在数轴上的位置如图所示,则下列各式：

①a+6>0;②a-6>0;③|b\>a;@aZ?<0;@|b-a\=a-b,正确的有（）

------------1------------------1---------1-------->

b0a

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】根据a<b两数的位置,一一判断即可.

【解答过程】解:观察图象可知：a+b<0,a-b>0,\b\>a,ab<0,\b-a\=a-b,

故②③④⑤，

故选:〃.

【变式6-3］（2021•泉州模拟）如图，数轴上从B、C三点所表示的数分别为a、b、c,满足济b-c=O且

AB=BC.那么下列各式正确的是（）

ABC

―a•------«h--------•c—»

10

第10页共15页

A.济eVOB.ac>OC.，cVOD.ab<.Q

【解题思路】由数轴知I49=0-a,BC—c-b、再由AB=8C得a+c=2b,再根据a^b-c=Ot进而得

。=2&。=3&进而由aV6Vc,知a、b、。都为正数,便可得出最后答案.

【解答过程】解：・・・4?=比；

b-a=c-bf

：.ayc=2b,

a\b-c=O,即c=a^b,

/.5+(^-Z?)=2b,

••Z?~2c?,

c=ayb=3a,

,:a<b<c,

.\<a>0,Z?>0,c>0,

.\a+c>0,则力选项错误；

ac>0,则占选项正确；

AOO,贝IJC错误；

泌>0,则〃错误.

故选：氏

【题型7有理数乘法的应用(含绝对值)]

[例7](2020秋•芝景区期中)已知有理数x,满足|削=3,4|=2.

(1)若产yVO,求x-y的值；

(2)若中<0,求x+y的值.

【解题思路】(1)直接利用绝对值的性质分类讨论得出答案；

(2)直接利用绝对值的性质分类讨论得出答案.

【解答过程】解：・・,区=3,3=2,

X—±3,尸±2,

(1)若户yVO,

则x=-3,y=2或x=-3,y=-2,

此时x-y--3-2=-5或x-y=-3-(-2)=-1,

即x-y的值为-5或-1;

第11页共15页

（2）若xy<0,则x=3,尸-2或x=-3,尸2,

此时户y=1或x+y=-1,

即户/的值为1或-1.

【变式7-1]（2020秋•岳麓区校级月考）已知有理数ab<0,a^b>0,且|a|=2,|引=3,求|a-21+26的值.

【解题思路】依据有理数的乘法法则可知a、。异号，然后依据有理数的加法法则可知正数的绝对值较

大,故此可确定出a、b的值,然后代入求解即可.

【解答过程】解:•：㈤=2,㈤=3,

.*.,3=±2,Z?=±3.

'：ab<Q,

.".a--2,8=3,或a—2,b--3.

又

ci—~2,Z?=3,

Ia-2|+26=4+6=10.

【变式7-2]（2020秋•祁江区校级月考）如果|a|=4,㈤=8,|c|=3,ab<0,求c-a-|引的值.

【解题思路】根据绝对值的意义得到a=±4,6=±8,c=±3,由ab<0,则a=4,6=-8或a=-4,6=8,把

它们分别代入c-a-|6中计算即可.

【解答过程】解：；|a|=4,㈤=8,|c|=3,abV0,

.•.a=4,b=-8,c=3或a=4,£=-8,c=-3或a=-4,6=8,c=3或a=-4,6=8,c=-3,

二c-a-|引=-9或-15或-1或-7.

【变式7-3]（2021秋•沙坪坝区校级月考）已知:有理数满足xyVO,以>0,并且

L^l=3,\y\=2,|z+l=2,求x+户"Z的值.

【解题思路】分类讨论:x>O,yVO,zV0;xV0,y>0,z>0;根据绝对值的意义，可得X、八z的值，根据

代数式求值,可得答案.

【解答过程】解：由R=3,5=2,=2,且孙<0,标>0,得

当x=3,y=-2,z=-3时，x+y+z=3-2-3=-2;

当x--3,尸2,z=1时，x^-y+z—-3+2+1=0.

所以x+产z的值是。或-2.

【题型8有理数乘法的应用（新定义）]

【例8】（2020秋•南潺区期中）定义一种正整数的“〃运算”是:①当它是奇数时，则该数乘以3加13;②当

12

第12页共15页

它是偶数时,则取该数得一半,一直取到结果为奇数停止.如:数3经过1次“〃运算”的结果是22,经过

2次“〃运算”的结果为11,经过三次“〃运算”的结果为46,那么28经2019次“〃运算”得到的结果

是.

【解题思路】从28开始,分别按照偶数和奇数的计算法则依次计算,直到出现循环即可得解.

【解答过程】解：1次:28义0.5X0.5=7

2次:3X7+13=34

3次:34X0.5=17

4次：3义17+13=64

5次:64X0.5X0.5X0.5X0.5X0.5X0.5=1

6次:3X1+13=16

7次:16X0.5X0.5X0.5X0,5=1,等于第5次

二从第5次开始,奇数次等于1,偶数次等于16

；2019是奇数

...28经2019次“〃运算”得到的结果是1.

故答案为：1.

【变式8T】（2021春•浦东新区期中）阅读理解题

【解题思路】根据表格发现规律：“第二行的前两格是两个两位数的十位数字相乘得到的结果,积如果

是一位数前面补0,第二行的后两格是两个两位数的个位数字相乘得到的结果,积如果是一位数前面补0,第

三行的前三格是第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第二个两位数的十位

数字乘以第二个两位数的个位数字，第四行，同列的两个数相加，如果大于9,进一位.“即可得到答案.

【解答过程】解：（1）由题意得，

第二行的前两格是两个两位数的十位数字相乘得到的结果，

13

第13页共15页

积如果是一位数前面补0,

第二行的后两格是两个两位数的个位数字相乘得到的结果，

积如果是一位数前面补0,

第三行的前三格是第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第二个两位数的I-

位数字乘以第二个两位数的个位数字，

如第二个表格:2X8+3X7=16+21=37,

第四行，同列的两个数相加,如果大于9,进一位，

764X87=5568,

6X8=48,

4X7=28,

6X7+4X8=42+32=74,

•,•(3—4,Z?—8,c—-2,(7—8,e=7,f—4,

故答案为4,8,2,8,7,4.

【变式8-2](2020秋•立山区期中)计算：25X11=275,13X11=143,48X11=528,74X11=81