2021年河北省中考数学线上公益大模考试卷（附答案详解）

2021年河北省中考数学线上公益大模考试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分）

1.若-团是正无理数，贝帆可以是（）

A.—V3B.-彳C.0D.3.14

2.如图，用平移三角尺的方法可以检验出图中平行线

共有（）

A.3对

B.4对

C.5对

D.6对

3.下列计算中正确的是（）

A.20210=0B.a6-T-a2=a4(a*0)

C.(2a3)3=6a9D.3a2-2a2=i

4.如图，在数轴上有4、B、C、。四个点，分别表示不同的四个数，若从这四点中选

一点做原点，使得其余三点表示的数中有两个负数和一个正数，则这个点是（）

---•-------•---------•---►

ABCD

A.点AB.点、BC.点CD.点。

5.如图是由边长均相等的两个正方形和六个等边三角形组成的图案，现有两个正方形

和一个等边三角形被涂黑，若再有〃个等边三角形被涂黑，使所有涂黑的新图案既

是中心对称图形又是轴对称图形，则”的值是（）

A.4或5B.3或5C.2或3D.1或3

6.用简便方法计算一（9+工）X17时，最合适的变形是（）

A.-(10-^)X17B.-(9书X17

C.-(10+^)x17D.-9x17+—x17

7.某校七年级共有5个班级，每个班的人数在50人左右.为了了解该校七年级学生

最喜欢的体育项目，七年级（二）班的四位同学各自设计了如下的调查方案：

甲：我准备给七年级每班的学习委员都发一份问卷，由学习委员代表班级填写完成.

乙：我准备给七年级所有女生都发一份问卷，填写完成.

丙：我准备在七年级每个班随机抽取10名同学各发一份问卷，填写完成.

T：我准备在七年级随机抽取一个班，给这个班所有的学生每人发一份问卷，填写

完成.

则四位同学的调查方案中，能更好地获得该校学生最喜欢的体育项目的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

9.嘉嘉在做“先化简，再求值：三-若，其中x=l."时，误将2x+3中2x前的

X+3ZX+o

系数2漏掉，那么他的计算结果与正确结果（）

A.相等B.相差;C.和为0D.积为一1

O

10.对于题目：“如图1,已知A,8为两个海岛，点8在点A的正东方向，若灯塔C

在海岛4北偏东65。的方向上，在海岛B北偏西35。的方向上，请画出灯塔C的位

置.”甲、乙两人分别作出了如下解答：

甲：先以A为参照点，作南偏东25,再以B为参照点，作南偏西65。，画出图形如

图2.

乙：先以A为参照点，作东偏北25。，再以8为参照点，作西偏北55。，画出图形如

图

3.

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下列判断正确的是（）

A.甲的说法和画图都正确B.乙的说法正确，画图错误

C.乙的说法和画图都正确D.甲乙的说法都错误

11.求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对

的直角边等于斜边的一半.

已知：如图，在AABC中，/.BAC=30°,Z.ACB=90°.

求证：BC=^AB.

证明：延长BC到点。，使CD=BC,连接AD.

4ACB=90°

•1.AB=4D.（依据I）

•••ABAC=30°,AACB=90°,

:•乙B=90°-ABAC=60°.（依据D）

.•.△ABD是等边三角形.（依据皿）

：.AB=BD=AD.（依据IV）

：.BC=\BD=\AB.

下面是打乱顺序的四个依据：

①等边三角形的三条边都相等；②线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相

等；③直角三角形的两个锐角互余；④有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

则正确的配对是（）

A.依据I-②，依据n-④，依据m-①，依据/V-③

B.依据I一②，依据口一③，依据W—④，依据“一①

C.依据I一③，依据n-④，依据皿一②，依据/v-①

D.依据I-②，依据n—③，依据m-①，依据。一④

12.如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x,边长5拉长x得到的,

若两个矩形相似（不全等），则x的值是（）

图2

A.3C.5D.6

13.已知一台电子计算机每秒运算120万次，若运算x秒（1<x<9）的运算次数用科学

记数法表示为ax10%则“不可能是（）

A.9.1B.6.1C.3.1D.1.1

14.在平面直角坐标系中，点P（7n,n）在反比例函数y=：（x>0）的图象上，若皿从1

逐渐增大到5,则OP的长（）

A.逐渐减小B.逐渐增大C.先增大后减小D.先减小后增大

15.如图，取正六边形ABCCEF的各边中点并依次连接，得到

正六边形481&。送述［,再取正六边形418传1。花/1的各

边中点并依次连接，得到正六边形出坊。2。2£2尸2,则正六

边形2282c2D2E2F2与正六边形ABCOEF的边长之比为

()

A-I

ci

D/

16.如图，在“赵爽弦图”中，正方形ABCD是由四个

全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成的,

若把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，可得正

方形MNPQ,连接MF并延长交NP于点O,若正方

形MNPQ的面积为49,正方形EFGH的面积为1,

则OF的长为（）

A89

A・玉

RZ2

・20

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「69

・20

D.-

20

二、填空题(本大题共3小题，共11.0分)

17.比较大小：|一||___汉填“>”“<”或“=”)

18.如图，已知乙4BC,

步骤I：在射线BC上任取一点O,以点。为圆心，02长为半径画半圆，分别交

AB,8c于点。、E；

步骤2：连接OE,在。E异于点。的一侧任取一点F,以点。为圆心，。厂长为半

径画弧，交DE于点M、N；

步骤3：分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点尸；

步骤4：连接OP并延长，交半圆。于点Q,连接8Q交。E于点G.

(l)0P与AB的位置关系为；

(2)若4BED=a,则NBGD=.(用含a的代数式表示)

19.发现：任意正整数的平方均可以写成若干个从1开始的连续正奇数的和.

验证：=1+3+5+；

应用：若把202"写成若干个从1开始的连续正奇数的和，则处于最中间的奇数是

三、解答题(本大题共7小题，共67.0分)

20.老师设计了接力游戏.用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一

人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图

所示：[~42+20+(-5)~6X(-2)2]k&20+(-5>6x(-8)][16~4~48][-36]

老师佳佳音音明明

(1)接力中，计算错误的学生是

(2)请给出正确的计算过程.

21.如图所示，现有一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式,

现从这三张卡片中随机抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡

片，就加上上面的整式.

2X2+4X-114x+12)x2-2x-10

甲乙丙

(1)请计算抽到甲、乙两张卡片的结果；

(2)若抽到甲、丙两张卡片，请将计算结果分解因式；

(3)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0,求尤的值.

22.某企业开展青年职工加工零件比武活动，在规定时间内，每名参赛的青年职工加工

10个零件，现对其中优质零件的个数进行统计，并制成了统计表和如图所示的折

线统计图.(如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再

作答.)

优质零件的数

123456

量(个)

青年职工人数

123761

(人)

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(1)参加此次比武活动的青年职工人数为:补全折线统计图；

(2)在利用统计表统计优质零件数量的中位数时，嘉淇把两个相邻的优质零件的数

量4、》看错成仄a(a<b),结果错误数据的中位数与原数据的中位数相比发生了

变化，请求出a、6的值；

(3)若加工3个优质零件的青年职工分别是小李、小张和小白，现从这三名青年职

工中随机选取两人参加谈心会，求恰好选到小李和小白的概率.

青年职工人数(人)

23.如图，线段与CD相交于点。，乙40c=50。,AB=CD,

0A=OC,以点。为圆心，长为半径作扇形EOF交C£>

于点E,交AB于点尸，分别过点。、8作扇形EOF的切线

DM、BN,切点分别为M、N,连接OM、0N.(如需作图或

作辅助线,请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作

答.)

(1)求证：ADMOwABNO；

(2)连接ME,当0M〃BD时，求NOME的度数；

(3)连接MF、FN,设雾=%，当企<八<2时，直接写出NMFN的取值范围.

24.如图，某同学在课外研究弹簧测力计示数与物体重量a

的关系时,准备了若干个两种大小的正方块以及一个

量程为5N的弹簧测力计.当测力计悬挂3个小正方1

块或2个大正方块时，测力计的示数均为0.7M他测十

完之后才发现最开始弹簧测力计没有调零，导致没有

任何物体悬挂时，测力计示数不为零，而是0.1N.

(1)求出每个小正方块和大正方块的重量；

(2)若只悬挂一种正方块，分别求出测力计示数F与悬挂小正方块的数量x如悬挂

大正方块的数量之间的函数关系式；

(3)为确保测力计示数在量程范围内，且悬挂正方块的总数量为20个，则最多悬挂

大正方块的数量是多少？

25.如图，在△ABC中，AB=20,BC=21,tanB=

4

。是射线BC上一点，连接AO,将A。绕点。顺时针

旋转90。，得到DE.(如需作图或作辅助线，请先将原

题草图画在对应题目的答题区域后再作答.)

(1)当△48。的外心O在其内部时，求8。的取值范

围；

(2)连接CE,当BD=11时，求^DCE的面积；

(3)当点E恰好落在直线BC或直线AC上时，求旋转到。E的过程中，点A所

走的路径长.

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26.在平面直角坐标系中，直线l：y=-x+b与x轴交于点力(2,0),抛物线L：y=ax(x+

4)+5a(a*0)的对称轴与直线/的交点为B,抛物线的顶点为C.(如需作图，请先

将草图画在对应题目的答题区域后再作答)

(1)求〃的值及点B的坐标；

(2)若点C的纵坐标为2,求当一5<x<-1时，二次函数y-ax(x+4)+5a(aH0)

的最大值；

(3)若。为正整数，直线/与抛物线L有两个交点，且在对称轴右侧的交点P的横坐

标为"?，若—求4的值；

(4)作点A关于y轴的对称点A,设直线/与y轴交于点D,若抛物线L与线段只

有一个公共点，求”的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：A、-(-6)=遍是正无理数，若-E)是正无理数，贝帆可以是-旧，故此

选项符合题意；

B、-与是有理数，故此选项不符合题意；

C、0是有理数，故此选项不符合题意；

D、3.14是有理数，故此选项不符合题意.

故选：A.

无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理

数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无

理数.由此即可判定选择项.

此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：n,2兀等；开方开不

尽的数；以及像0.1010010001...,等有这样规律的数.

2.【答案】D

【解析】解：如图，由平移的性质得，AD〃BE,AD//CF,BE//CF,AB//DE,BC//EF,

AC//DF,共六对.

故选：D.

根据平移的性质：对应点所连的线段平行且相等.

正此题考查平移的性质，关键是根据对应点所连的线段平行且相等解答.

3.【答案】B

【解析】解：42021。=1,故本选项不合题意;

B.a6-T-a2=a4(a0).故本选项符合题意；

C.(2a3)3=8a%故本选项不合题意；

D3a2-2a2=a2,故本选项不合题意;

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故选：B.

选项A,根据任何非零数的零次基等于1判断即可；

选项8,根据同底数基的除法法则判断即可，同底数基的除法法则：底数不变，指数相

减；

选项C，根据积的乘方与基的乘方法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘

方，再把所得的幕相乘；幕的乘方法则：底数不变，指数相乘；

选项根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所

得结果作为系数，字母和字母的指数不变.

本题考查了零指数暴，同底数基的除法以及哥的乘方与积的乘方，掌握幕的运算法则是

解答本题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：A当A为原点，则剩余三个点表示的数均是正数，故A不合题意.

A当3为原点，则A表示负数，C与。表示正数，故8不符合题意.

C.当C为原点，则A与8表示负数，。表示正数，故C符合题意.

D当。为原点，A、8与C表示负数，故。不符合题意.

故选：C.

根据数轴上的点表示的数解决此题.

本题主要考查数轴上的点表示的数，熟练掌握数轴上的点表示的数是解决本题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：如图所示，再涂黑1、2、3号正三角形，或涂黑1、2、3、4、5号正三角

形都可使它们和原来涂黑的小正三角形组成新的图案后既是轴对称图形，又是中心对称

图形，

32.

故选：B.

依据轴对称图形以及中心对称图形的概念，即可得出结论.

本题主要考查了中心对称图形，轴对称图形，通过涂黑相应的三角形来判断是否成轴对

称和中心对称图形是解题的关键..

6.【答案】A

【解析】解：一(9+勺*17

=-(10-^)X17,

故选项A正确，符合题意，

故选：A.

根据题目中式子的特点，可以发现将一(9+9x17转化为一(10—5)x17计算比较简

便.

本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确式子的特点，写出运算简便的式子.

7.【答案】C

【解析】解：甲的调查方案不足之处：抽样调查所抽取的学生数量太少；

乙的调查方案的不足之处：抽样调查所抽取的样本的代表性不够好；

丁的调查方案的不足之处：抽样调查所抽取的样本的代表性不够好；

故选：C.

由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调

查结果比较近似.

此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确理解抽样调查的随机性是解题关键.

8.【答案】C

【解析】解：如图1的正方体沿图2中的粗线剪开后，其展开图是：

故选：C.

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将图1的正方体沿图2中的粗线剪开即可进行判断.

本题考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通

过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键.

9.【答案】B

x-32x+3

【解析】解:

x+32X+6

2X-62%+3

2x+62x+6

9

2x+6

当x=l时，原式=一双*=_'

ZX1+0O

X-3x+3

X+32X+6

2X-6X+3

_____-----

2X+62X+6

~2x+6f

当％=1时，原式=广7=-1，

T_（一》=

计算结果与正确结果相差3

O

故选：B.

根据分式的加减混合运算法则分别把两个化简，代入计算即可.

本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的加减混合运算法则是解题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：根据方向角定义可知：

灯塔C在海岛A北偏东65。的方向上，在海岛8北偏西35。的方向上，画出灯塔C的位

置如图3.

。灯塔）

图3

故选：D.

根据方向角定义即可进行判断.

本题考查了方向角，解决本题的关键是掌握画方向角时以正南或正北方向作方向角的始

边，另一边则表示对象所处的方向的射线.

11.【答案】B

【解析】证明：延长8c到点。，使CD=BC,连接A。，

•••^ACB=90°,

.•.AB=AD,（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），

•••Z.BAC=30°,Z.ACB=90°,

:•乙B=90°-4BAC=60°,（直角三角形的两个锐角互余），

4BD是等边三角形，（有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形），

.-.AB=BD=AD,（等边三角形的三条边都相等），

BC=-BD=-AB.

22

故选：B.

延长8c到点。，使CO=BC,连接A。，由线段垂直平分线的性质可得48=AD,可证

△ABD是等边三角形，可得力B=BD=4D,即可求解.

本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，灵活运用这些性

质解决问题是解题的关键.

12.【答案】A

【解析】解：由题意，两个矩形相似,

45f45

•,*=L文—,

5+X4+2X4+235+X

解得x=3或0（0不符合题意舍弃）,

第14页，共29页

故选：A.

利用相似多边形的性质，构建方程求解即可.

本题考查矩形的性质，相似多边形的性质等知识，解题的关键是学会利用相似多边形的

性质，构建方程解决问题.

13.【答案】D

【解析】解：120工万=1200000%=1.2xx106,

•­•1<x<9,

1.2<1.2x<10.8,

・•.a不可能是1.1.

故选：D.

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1<|a|<10,n为整数.确定n的值时，

要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值<1时，〃是负整数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10九的形式，其中1W

|a|<10,〃为整数，表示时关键要确定a的值以及“的值.

14.【答案】D

【解析】解：•••当P为直线y=x与反比例函数丫=；(%>0)的图象的交点时，。尸的长

最小，

OP的长先减小后增大，

故选：D.

根据当P为直线y=x与反比例函数y=>0)的图象的交点时，OP的长最小即可判

断.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确当P为直线y=x与反比例函数y=

；(%>0)的图象的交点时，OP的长最小是解题的关键.

15.【答案】C

【解析】解：如图，设4FI=FFI=Q,

vZ.A=120°,AAt=AFt=a,

・•・A1F1=V3a,

・•・4/2=F20=ya,

・・・乙F2F1E2=120°,

•••F2E2='J3F2F1=|a,

2c24E2F2与正六边形ABCDEP的边长之比=|a：2a=3：4,

故选：C.

如图，设AFi=FFi=a,求出AF,FzE?（用。表示），可得结论.

本题考查正多边形与圆，中点四边形，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参

数解决问题，属于中考常考题型.

16.【答案】B

【解析】解：设与AB交于点K,

-----庆-----Q

\

»\

•.•正方形EFGH的面积为1,

•••EF=FG=EH=HG=1,

又•:正方形MNPQ的面积为49,

MN=NP=PQ=MQ=7,

设所有全等三角形的较长直角边为“，另一直角边为儿斜边为c,

则｛忆MI

解得：a=4,b=3,

・,・斜边c=V42+32=5,

•・•BC//OM,

••.△NBC7NM。，

第16页，共29页

NB_BC_

NM-MO

MO=

4

又「SMBF=gxAFxBF=：xABxFK,

即TX3X4=[X5XFK,

:.FK=—12,

・・•△ABM是由△ABF沿边AB翻折所得，

•••△ABM^LLABF,

12

・・・MK=KF=y,

24

・•・MF=2KF=y,

QC747Q

OF=MO-MF,

4520

故选：B.

设M尸与AB交于点K,设所有全等三角形的较长直角边为a,另一直角边为6,可得

『+?=?，解得：a=4,b=3,斜边c=5,利用ANBCSANM。，可求出MO的长，

(a-b=1

再利用等积法求出FK,则OF=MO-2FK即可.

本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，求

出44BM三边长是解题的关键.

17.【答案】＜

【解析】解：•••|-|2839

3-12,4-12,

I-1K1-

故答案为：＜.

根据绝对值的性质去绝对值符号后，再比较大小即可.

此题主要考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较的方法是解答本题的关键.

18.【答案】OP"AB45°+|a

【解析】解：(1)结论:OP//AB.

理由：由作图可知，BE是。。的直径，0。垂直平分线段OE,

•••乙EDB=Z9O0,

•••OP1DE,AB1DE,

：.OP11AB.

故答案为：0P”AB.

(2)•••BE是直径，

•••乙DEB=90°,

:.乙EBD=90°-a,

vOQ1DEf

•••EQ=DQ^

乙EBQ=AABQ=|(90°-a)=45°-ia.

■­■乙BGD=90°-4DBG=90°-(45°-1a)=45°+1a.

故答案为：45°+ja-

⑴结论：0P〃4B.证明OP1DE,ABIDE即可.

(2)利用垂径定理，三角形内角和定理求解即可.

本题考查作图-复杂作图，垂径定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图

象信息，灵活运用所学知识解决问题.

19.【答案】72021

【解析】解：验证：•.•42=16,1+3+5+7=16,

42=1+3+5+7,

•••20212=1+3+5+…+4041,

二若把202M写成若干个从1开始的连续正奇数的和，则处于最中间的奇数是(4041+

1)+2=4042+2=2021,

故答案为：7,2021.

根据题目中式子是等式，可以写出空格处应填写的数字；根据验证中的式子，可以得到

第18页，共29页

202也等于从1开始的2021个奇数相加，然后即可得到处于最中间的奇数.

本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是发现题目中式子的特点，写出相应的验

证.

20.【答案】佳佳、音音

【解析】解：(1)由题目中的运算过程，可以发现佳佳和音音的计算错误，佳佳的错因

是漏掉负号，把-2的平方算出-2的立方，音音的错因是忘记负负得正，

故答案为：佳佳、音音；

(2)—4+20+(—5)—6x(—2)2

=—16+(—4)—6x4

=-16+(—4)+(-24)

=—44.

(1)根据题目中的运算顺序，可以发现哪位同学做错了；

(2)根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题.

本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算

顺序.

21.【答案】解：(1)由题意可知：(2/+4X-1)一(4%+12)

=2x2+4%—1—4%—12

=2x2-13.

(2)由题意可知：(2%24-4%—1)—(%2—2x—10)

=2x2+4%-1-x2+2x+10

=x24-6%4-9

=(%4-3)2.

(3)由题意可知：(2/+4%-1)-(4%+12)-(%2-2x-10)

=2x24-4%—1-4%-12-%2+2%4-10

=2%2-13-X2+2X+10

=x24-2%-3,

令7+2%一3=0,

・•・(%+3)(%-1)=0,

：•x=-3或％=1.

【解析】(1)根据整式的加减运算法则即可求出答案.

(2)根据整式的加减运算法则进行化简，然后根据因式分解法即可求出答案.

(3)根据整式的加减运算法则进行化简，然后根据题意列出方程即可求出x的值.

本题考查整式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及一元二

次方程的解法，本题属于基础题型.

22.【答案】20A

【解析】解：(1)参加此次比武活动的青年职工人数为：1+24-3+7+6+1=20(人),

故答案为：20人,

补全折线统计图如下:

当1和2互换时,中位数为4,没有变化;

当3和3互换时,中位数为4,没有变化;

当3和4互换时,中位数为等=3.5,发生变化，此时a=3,b=4；

当4和5互换时,中位数为4,没有变化;

当5和6互换时,中位数为4,没有变化;

综上所述，a=3,6=4；

(3)把小李、小张和小白分别记为A、B、C,

画树状图如下：

第20页，共29页

共有6种等可能的结果，恰好选到小李和小白的结果有2种，

・••恰好选到小李和小白的概率为;=

63

(1)由统计表中的数据即可解决问题；

(2)先求出优质零件数量的中位数=4,再分别讨论即可；

(3)画树状图，共有6种等可能的结果，恰好选到小李和小白的结果有2利再由概率

公式求解即可.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃，再从

中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也

考查了折线统计图和中位数.

23.【答案】(1)证明：•••48=CD,0A=0C,

：.AB-0A=CD-0C,

・•・OB=OD,

ON为圆的半径，

・・・OM=ON,

又DM,5N为扇形EO厂的切线，

・•・DM1OM,BN1ON,

・•・乙DMO=乙BNO=90°,

在RtADM。和RCZkBN。中，

(OM=ON

I。。=OB'

・•・Rt△DMO三Rt△BNO(HL)；

(2)•・・OM//BD,

・•・乙MDB+乙OMD=180°,

vZ-OMD=90°,

・・・乙MDB=90°

Rt△DMO三Rt△BNO,

:,乙MDO=LNBO,

vOB=OD,

：•Z-ODB=乙OBD,

・•・Z,OBD+乙OBN=Z.ODB+Z.ODM=4MDB=90°,

即乙NBD=90°,

・•・乙MDB+乙NBD=180°,

・•・DM//BN,

・・・OM1MO,ON1BN,

・・.M,O,N三点在一条直线上，

・•・四边形MN8。为矩形，

・・・MN//BD,

•・•乙BOD=LAOC=50°,△DM0=^BNO

・•・乙MOD=乙NOB=180O~50°=65°,

2

vOM=OE,

180fMOE

・•・Z.0ME=Z.OEM=57.5°,

2

・•・"ME=乙DM0-Z.OME=90°-57.5°=32.5°；

(3)①当九=2时，。8=2。4,则08=20N,

在RtAOBN中，sin/OBN

OB2

・•・乙OBN=30°,

・•・乙FON=60°,

vOF=ON,

・•・(OFN=乙NOF=|(180°一乙FON)=60°,

•・♦△DMO=LBNO,

/.乙DOM=乙BON=60°,

・•・乙MOF=乙MOE+乙EOF=60°+50°=110°,

vOM=OF,

Z.OMF=Z.OFM=-11°°=35°,

2

・・・乙MFN=Z.OFM+Z.OFN=35°+60°=95°,

②当h=/时，OB=&OA,则B。=应。N,

在RfAOBN中，sin&OBN="=底,

OB2

・・・Z-OBN=45°,

・•・乙FON=45°,

又OF=ON,

第22页，共29页

•••乙OFN=乙BON=|(180°-45°)=67.5°,

,/△DMO=LBNO,

:.4DOM=乙BON=45°,

・•・乙MOF=乙MOE+乙EOF=450+50°=95°,

•.・OM=OF,

A4T180°-95°ro

：,Z，-八OMF—Z，-八OFM=------=42.5°,

2

••・(MFN=Z.OFM+(OFN=42.5°+67.5°=110°,

综上，乙MFN的取值范围为：95°<Z,MF/V<110°.

【解析1(1)根据AB=CD,04=0C以及BN为扇形EOF的切线，用HL证明△

DMOsAB/VOBPnT；

(2)根据OM//BD以及/^△£>“。三/?£/\8/7。的性质，可证MN//8D,再由/BOD=

/-AOC=50。求出NOME的度数即可；

(3)求出当％=近或2时的两个临界情况即可得到NMFN的取值范围.

本题主要考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、矩形的判定与性质、锐角三角

函数，解决此题的关键是求4MFN时，只需要求出当h=鱼或2时的两个临界情况即可.

24.【答案】解：(1)•••最开始弹簧测力计没有调零，导致没有任何物体悬挂时，测力计

示数不为零，而是0.1N.

•••3个小正方块或2个大正方块的重量均为0.7N-0.1/V=0.6N.

.•.每个小正方块的重量为0.6N+3=0.2N.

每个大正方块的重量为0.6N+2=0.3N.

答:每个小正方块的重量为0.2N,每个大正方块的重量为0.3N；

(2)由题意得：测力计示数F与悬挂小正方块的数量X/、的函数关系式：F=0.2x〃、，

测力计示数p与悬挂小正方块的数量为大的函数关系式：F=0.3%大；

(3)设最多悬挂大正方块的数量是m,则悬挂小正方块的数量是(20-根)个，

由题意得：0.3m+0.2(20-zn)W5,

解得：m<10,

・••最多悬挂大正方块的数量是10.

【解析】(1)根据测力计示数不为零，而是0.1N得出3个小正方块或2个大正方块的重

量.即可求解；

(2)根据(1)求得的每个小正方块和大正方块的重量，即可得函数关系式；

(3)设最多悬挂大正方块的数量是“则悬挂小正方块的数量是(20-瓶)个，根据量程

为5N列不等式求解即可.

本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出

一次函数的关系式.

25.【答案】解：⑴过A作4F1BC于F,过A作4G_L4B,交BC延长线于G,如图:

AF_3

--=~,

BF4

设4F=3m,则8尸=4m,

(3m)2+(4m)2=202,

••・m=4,

・•・BF=16,

在RtZk/BG中，AB=20,tanB=

4

AG3

・•・——=

AB4

设4G=3九，则48=5n,

:.5n=20,

An=5,

•••AG=15,

・•・BG=y/AG2+AB2=25，

当的外心O在其内部时，是锐角三角形，D在线段bG上(不包括尸、G),

.，*16<BD<25；

(2)过A作于F,过E作EHLBC,交3C延长线于“，如图：

第24页，共29页

A

E

•・・将AD绕点。顺时针旋转90。，得到DE,

：•乙HDE=90°-Z,ADF=Z.DAF,AD=DE,

在△40户和^DEH中,

NDHE=Z.AFD=90°

乙HDE=Z.DAF,

\DE=AD

・・・ADEHNAADF(AAS),

:.HE=DF,

由(1)知：BF=16,

•・•BD=11,

・・・DF=5=HE,

BC=21,BD=11,

・・・CD=BC-BD=10,

：•S&DCE=|CD-WE=ix10x5=25；

(3)①当E落在直线BC上时，如图：

A

・•・Z.ADB=90°,

在中，AB=20,tanB=

4

AD3

・•・一=

BD4

设4D=3t,则BF=43

•••(3t)2+(4t)2=202,

t=4,

:.AD=12,

•・•点A所走的路径长为映乎=6兀：

180

②当E落在直线AC上时，过A作4M1BC于"，过E作EN1BC,交3c延长线于N,

如图：

B

E

在RtzMBM中，AB=20,tanB=

4

AM_3

•••——f

BM4

设4M=3s,贝IJBM=4s,

(3s)2+(4s)2=202,

・•・s=4,

・•・AM=12,BM=16,

・・•BC=21,

・•・CM=5,

・・•将AD绕点D顺时针旋转90。，得到DE,

A乙NDE=90°-乙ADM=乙DAM,AD=DE,

在△4DM和ADEN中，

\LAMD=乙DNE=90°

乙DAM=Z.NDE,

AD=DE

•••△4DM^DEN(44S),

・,.DN=AM=12,DM=NE,

:・CN+DM=DN-CM=7,

设DM=NE=x,贝iJCN=7—%,

vZ-ACM=乙ECN,4AMC=乙ENC=90°,

・••△力ENC,

...0£=处，即_L=竺，

CNNE7-xx

解得X=条

第26页，共29页

・•・DM=—,

17

・•・AD=7AM2+DM?=15^2,

17

•••点A所走的路径长为9°心甯=2付

18017

综上所述，点A所走的路径长为6兀或破兀.

17

【解析】(1)过A作/FLBC于F,过A作4GJ_48,交BC延长线于G,在RtZkABF中，

AB=20,tanB==；,可求得8F=16,在RtAZBG中，AB=20,tanB=-,AG=15,

44

即得BG=〃G2+42=25,当△ABO的外心O在其内部时，△4BD是锐角三角形，

。在线段FG上(不包括尸、G),故16<BD<25；

(2)过4作4F1BC于尸，过E作EH1BC,交BC延长线于“，由将A。绕点力顺时针

旋转90。，得到。E,可证△CEH三A4DF,即得HE=DF,而BF=16,BD=11,有

DF=5=H