2021年辽宁省沈阳市沈北新区中考数学二模试卷

2021年辽宁省沈阳市沈北新区中考数学二模试卷

一、选择题（每题2分，共20分）

1.（2分）如图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（）

2.（2分）教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报.经初步统计，2019

年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%.将50175亿用科学记数法表

示为（）

A.5.0175X1011B.5.0175X1012

C.0.50175X1013D.0.50175X1014

3.（2分）一组数据2,4,3,5,2的中位数是（）

A.5B.3.5C.3D.2.5

4.（2分）在平面直角坐标系中，点（3,2）关于无轴对称的点的坐标为（）

A.（-3,2）B.（-2,3）C.（2,-3）D.（3,-2）

5.（2分）若一个多边形的内角和是540。，则该多边形的边数为（）

A.4B.5C.6D.7

6.（2分）下列计算正确的是（）

A.a3+a2—a5B.a3-a2—aC.a3*a2=«6D.cv,-!ra1—a

7.（2分）在平面直角坐标系中，已知函数y=ar+a（a#0）的图象过点尸（1,2）（）

8.（2分）如图，在aABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心」8c的长为半

2

径作弧，两弧相交于点M和N,连接8。.若AC=6,AD=2（）

C.4D.6

9.（2分）已知一次函数），=履+6（鼠b是常数,且上#0）,x与），的部分对应值如表所示,

10.（2分）如图，点A是反比例函数y=§的图象上一点，垂足为点8,线段AB交反比例

X

函数y=2则△OAC的面积为（)

7

C.2D.1

二、填空题（每题3分，共18分）

5x-2〉2x-8

11.（3分）解不等式组:

l-2x>-3

12.（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯A8的倾斜角为30°,在自

动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端8的仰角为60°,A、C之间的距离为4利.则自动扶

梯的垂直高度80=m.（结果保留根号）

13.（3分）如图，△OEF是由△48C通过平移得到，且点B,E,C,若BF=14,EC=4

14.（3分）如图，己知4B是的直径，8C与。0相切于点8,OC.若sin/84C=L,

3

则tan/BOC=.

15.（3分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米.图中的折线048反映了小明从家

步行到学校所走的路程s（米）与时间，（分钟）的函数关系，当小明从家出发去学校步

行15分钟时，到学校还需步行

H米）

20“川）

16.（3分）如图，在AABC中NC=90°,AC=6,若要使△BP。为直角三角形，贝ijBP

CDB

三、解答题

17.（6分）解方程:

x+13x+3

18.（8分）随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时

尚.“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况.随机抽取了部分好友进行调查，把

他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（0〜5000步）（说明：“0〜5000”表示

大于等于0,小于等于5000,下同），8（5001〜10000步），C（10001〜15000步），£＞（15000

步以上）

请依据统计结果回答下列问题：

（1）本次调查中，一共调查了位好友.

（2）己知A类好友人数是。类好友人数的5倍.

①请补全条形图；

②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为度.

③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日

这天行走的步数超过10000步？

19.（8分）为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有5名学生（3名男

生，2名女生）

（1）老师若从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是男生的

概率为.

（2）老师若从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用画树状图法

或列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率.

20.（8分）如图，在QA8CZ）中，过8点作8MJ_AC于点E,过。点作ZW_LAC于点凡

交AB于点N.

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）已知AF=12,EM=5,求AN的长.

21.（8分）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如

果购买树苗不超过60棵；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，但每棵树苗最低售价

不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元

22.（10分）如图，△ABC中，AB=AC,EDYAB,垂足为。，点。在线段EF上，。。经

过C、E两点

（1）求证：AC是。。的切线；

（2）若NE=30°,AD=\,BD=5

23.(10分)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点A的坐标为(0,2)(4,4),

A8=BC,ZABC=90Q

(1)点C的坐标为；

(2)直接写出直线AC、BC的函数表达式；

(3)求：四边形AOCB的面积S四边形AOCB；

(4)点P在x轴上，其横坐标为相，过点P作轴，直接写出y与加之间的函数

关系.

24.(12分)已知：在aAOB与△C。。中，OA=OB,OC=OD

(1)如图1,点C、。分别在边04、05上，连结AO、BC,连结0M,直接写出线段

A。与0M之间的数量关系；

(2)如图2,将图1中的△COO绕点。逆时针旋转，使△COD的一边0。恰好与△AOB

的边04在同一条直线上时，点M为线段BC的中点，确定A。与0M之间的数量关系；

(3)如图3,将图1中的△COO绕点0逆时针旋转，旋转角为a(0°<a<90°),点

例为线段BC的中点，连结0M.确定AO与之间的数量关系

25.(12分)若二次函数y=fl?-&+c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3,0),B(0,

3

-2).

(1)直接写出二次函数表达式及直线4B的表达式；

(2)如图1,若点P为抛物线在第四象限内的点，且SMBP=2,求点P的坐标；

(3)如图2,点E在线段AB上，且满足△OBESZIAB。；

(4)如图3,点M为AB下方平面上任意一点，且直接写出点M的坐

标.

图1图2图3

2021年辽宁省沈阳市沈北新区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题2分，共20分）

1.（2分）如图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（）

【考点】简单组合体的三视图.

【解答】解：从左边看上下各一个小正方形.

故选：A.

2.（2分）教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报.经初步统计，2019

年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%.将50175亿用科学记数法表

示为（）

A.5.0175X1011B.5.0175X1012

C.0.50175X1013D.0.50175X1014

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【解答】解:50175亿=5017500000000=5.0175X1012

故选：B.

3.（2分）一组数据2,4,3,5,2的中位数是（）

A.5B.3.5C.3D.2.5

【考点】中位数.

【解答】解：将数据由小到大排列得：2,2,4,4,5,

•••数据个数为奇数，最中间的数是4,

这组数据的中位数是3.

故选：C.

4.（2分）在平面直角坐标系中，点（3,2）关于x轴对称的点的坐标为（）

A.（-3,2）B.（-2,3）C.（2,-3）D.（3,-2）

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.

【解答】解：点（3,2）关于x轴对称的点的坐标为（5.

故选：D.

5.（2分）若一个多边形的内角和是540°,则该多边形的边数为（）

A.4B.5C.6D.7

【考点】多边形内角与外角.

【解答】解：设多边形的边数是〃，则

（〃-2）780°=540°,

解得"=5.

故选：B.

6.（2分）下列计算正确的是（）

A.ai+a2=a5B.-a2—aC.ai,a2=a6D.ai-i-a1=a

【考点】合并同类项；同底数塞的乘法；同底数塞的除法.

【解答】解：A、/与/不是同类项，不能合并；

8、“3与次不是同类项，不能合并；

C、应为/.a4=a5,故本选项错误；

D、a3-ra5—a,正确.

故选：D.

7.（2分）在平面直角坐标系中，已知函数y=⑪+a（a#0）的图象过点尸（1,2）（）

【考点】一次函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征.

【解答】解：,・•函数y=ox+〃（〃70）的图象过点P（1,5）,

，2=〃+〃，解得4=1,

，y=%+5,

・•・直线交y轴的正半轴于点（0,1）,8）,

故选：A.

8.（2分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心28c的长为半

2

径作弧，两弧相交于点M和N,连接BO.若AC=6,AD=2（）

【考点】作图一基本作图.

【解答】解：由作图知I,MN是线段BC的垂直平分线,

:.BD=CD,

"：AC=6,AD=2,

：.BD=CD=A,

故选：c.

9.（2分）已知一次函数（k、b是常数,且kWO）,x与y的部分对应值如表所示,

那么不等式自+6V0的解集是（）

x-2-10123

y3210-1-2

A.x<0B.x>0C.x>lD.x<2

【考点】一次函数与一元一次不等式.

【解答】解：由图得，把（0,0）两点代入一次函数丁=履+4

产b,得尸1,

\0=k+bIb=5

...一次函数的解析式>=7+1,

，解不等式■x+1<6>

得，X>1；

故选：C.

10.（2分）如图，点A是反比例函数y=旦的图象上一点，垂足为点8,线段48交反比例

【考点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐

标特征.

【解答】解：/ABLc轴，点A是反比例函数>=且，点8是反比例函数y=2,

XX

S^AOB=5ySABOC=\,

•9-S^AOC=S^AOB-S&BOC=3-7=2,

故选：C.

二、填空题（每题3分，共18分）

5x-2>2x-8

11.（3分）解不等式组:

l-2x)-3

【考点】解一元一次不等式组.

【解答】解：解不等式5x-2>3x-8,得：x>-2,

解不等式8-2x2-3,得：xW8,

则不等式组的解集为-2<xW2.

12.（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯AB的倾斜角为30°,在自

动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端8的仰角为60°,A、C之间的距离为4〃?.则自动扶

梯的垂直高度（结果保留根号）

【考点】含30度角的直角三角形；解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形

的应用-仰角俯角问题.

【解答】解：VZBCD^ZBAC+ZABC,NBAC=30°,

ZABC=/BCD-ZBAC=30°,

:.NBAC=NABC,

**•BC=AC=4〃z,

在RtZXBOC中，sinZBCD=^-,

_BC

.•.sin60°=毁=逅，

42

BO=2,

故答案为：2M.

13.（3分）如图，是由△ABC通过平移得到，且点B,E,C,若BF=14,EC=4

【考点】平移的性质.

【解答】解：•••△QE尸是由△ABC通过平移得到,

：.BE=CF,

：.BE=1.(BF-EC),

2

VBF=14,EC=3,

.•.BE=a（14-5）=5.

2

故答案为：5

14.（3分）如图，已知48是的直径，BC与。0相切于点B,0C.若sin/BAC=」,

则tan/BOC=返

【考点】切线的性质；解直角三角形.

【解答】解：是O。的直径，BC与。。相切于点8,

：.AB1BC,

：.ZABC=90°,

VsinZBAC=^-=A,

AC3

・••设8C=x,AC=5x,

AB=NAC?-BC2=6（8x）2-x2=8每

OB=AA8=

8_

tan/8"=区>=_4_=返

OBV2x2

故答案为：返.

5

15.（3分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米.图中的折线OAB反映了小明从家

步行到学校所走的路程s（米）与时间f（分钟）的函数关系，当小明从家出发去学校步

行15分钟时，到学校还需步行350米.

s（米）

八D

1S00'........................—>2

960...............：

OS204硼）

【考点】一次函数的应用.

【解答】解：当8WfW20时,设s=h+b,

将（8,960）,1800）代入

（6k+b=960,

l20k+b=1800，

解得：4=70,

lb=400

.•.5=70/+400；

当，=15时，s=1450,

1800-1450=350（米）

/.当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，

故答案为：350.

16.（3分）如图，在△ABC中/C=90°,AC=6,若要使△BPD为直角三角形，则8尸=

【考点】直角三角形的性质；勾股定理.

【解答】解：在RtZ\A8C中，；NC=90°,8c=8,

:♦AB=Q62+82=10,

是BC中点，

：.CD=BD=3,

分两种情形：①当NOP8=90°时，△DPBsS,

.PB=BD；

"BCAB"

•坦=_£

"~8Io"

2

②当NPDB=90°,易证：DP//AC,

,:CD=DB,

：.AP=PB=5f

综上所述，满足条件的P8的值为5或生.

3

故答案为5或担

5

三、解答题

17.（6分）解方程:-^―=2x+].

x+13x+3

【考点】解分式方程.

【解答】解：方程两边都乘3（x+1）,

得：8x-2x=3（x+4）,

解得：尸-1,

2

经检验x=-5是方程的解，

2

...原方程的解为x=一旦.

5

18.（8分）随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时

尚.“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况.随机抽取了部分好友进行调查，把

他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（0〜5000步）（说明：“0〜5000”表示

大于等于0,小于等于5000,下同），8（5001〜于000步）,C（10001〜15000步）,0（15000

步以上）

请依据统计结果回答下列问题：

（1）本次调查中，一共调杳了30位好友.

（2）已知4类好友人数是D类好友人数的5倍.

①请补全条形图；

②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为120度.

③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日

这天行走的步数超过10000步？

【考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图.

【解答】解：（1）本次调查的好友人数为6・20%=30人,

故答案为：30；

（2）①设。类人数为“，则A类人数为5”,

根据题意，得：。+7+12+5。=30,

解得：a—2,

即A类人数为10、。类人数为8,

②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为360。

30

故答案为：120；

③估计大约6月1日这天行走的步数超过10000步的好友人数为150x31=70人.

30

19.（8分）为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有5名学生（3名男

生，2名女生）

（1）老师若从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是男生的

概率为3.

一5一

(2)老师若从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用画树状图法

或列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率.

【考点】概率公式；列表法与树状图法.

【解答】解：(1)所有等可能结果共有5种，其中男生有3种，

恰好是男生的概率为互，

5

故答案为：3；

4

(2)画树状图为:

男男女女

/1\\/1\\

男男男女男男男女

弟男女女男男女女

共有20种等可能的结果数，其中选出1名男生和1名女生的结果数为12种,

所以恰好选出5名男生和1名女生的概率=」2=3.

206

20.(8分)如图，在nABCD中，过B点作BM_LAC于点E,过。点作£W_LAC于点F,

交AB于点N.

(1)求证：四边形BMOV是平行四边形;

(2)已知AF=12,EM=5,求AN的长.

【考点】平行四边形的判定与性质.

【解答】(1)证明：•••四边形是平行四边形,

：.CD//AB,

'：BM±AC,DN±AC,

C.DN//BM,

四边形BMDN是平行四边形;

(2)解：•••四边形创〃是平行四边形,

:.DM=BN,

\'CD=AB,CD//AB,

:.CM=AN,ZMCE=ZNAF,

'：ZCEM=ZAFN=W°,

：.ACEM^/\AFN,

：.FN=EM=5,

在RtAAFN中,豆

21.(8分)一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如

果购买树苗不超过60棵；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，但每棵树苗最低售价

不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元

【考点】一元二次方程的应用.

【解答】解：因为60棵树苗售价为120元X60=7200元<8800元，

所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗

4120-0.5(x-60)]=8800,

解得：X2—220,X2—S0.

当x=220时，120-0.8X(220-60)=40<100,

.•.x=220(不合题意，舍去)；

当x=80时,120-0.5X(80-60)=110>100,

.,.x=80.

答：该校共购买了80棵树苗.

22.(10分)如图，/XABC中，AB=AC,EDLAB,垂足为£>,点O在线段EF上，0。经

过C、E两点

(1)求证：AC是的切线；

(2)若NE=30°,AD=\,BD=5

【考点】等腰三角形的性质；切线的判定.

【解答】(1)证明：连接co,如图：

*：AB=AC,

：.ZB=ZACB,

,:OC=OE,

・"OCE=NE,

9：DELAB,

:・/BDE=9C,

.•.ZB+ZE=90°,

AZACB-^ZOCE=90°,

AZACO=90°,

AAC1OC,

・・・4C是。。的切线；

(2)解：VZE=30°,

：.ZOCE=30°,

AZFCE=120°,

：.ZCFO=30°,

AZAFD=ZCFO=30Q,

:・DF=Mm=M，

VB£>=5,:.DE=5&,

•・・OF=8OC,

:・EF=3OE=4M，

：.OE=%‘3,

3

即00的半径=性返.

3

23.(10分)如图，在平面直角坐标系中，四边形0ABe的顶点A的坐标为(0,2)(4,4),

AB=BC,ZABC=90°

(1)点C的坐标为(6,0)；

(2)直接写出直线AC、8c的函数表达式；

(3)求：四边形A0C8的面积S四边形AOCB；

(4)点P在x轴上，其横坐标为"3过点P作PMLx轴，直接写出y与加之间的函数

关系.

【考点】待定系数法求一次函数解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.

【解答】解：(1)如图，过B作BO_LOC于力，则N4E8=NCOB=90°,

:点4的坐标为(0,2),7),

：.AE=2,0。=4,

VZAOD=90°,

：.ZDBE=ZABC=90°,

：.NABE=NCBD,

又：AB=CB,

:AABE安/XCBD(A4S),

：.CD=AE=6,

：.0c=4+2=6,

：.C(6,0),

故答案为:(6,0)；

(2)设直线4c的函数表达式为y=履+4则

f0=4k+b

I6=b

fk」，

解得｛

K8.

b=2

直线AC的函数表达式为y=-1+2,

6

设BC的函数解析式为y^mx+n,则

/4=6m+n

10=6m+n

解得了-2

ln=12

二直线BC的解析式为y=-2x+12；

(3)由(1)知△ABEZZXCBD,

:，S四边形AOCB=S四边形4OO8=SA8£)C=S四边形A0Q8+S/\ABE=S正方形ODBE，

**•S四边形AOCB=4X3=16；

火U，

4k5+b[=4

%=2

2，

勺=5

・1

,・y=yx+2，

.11

•TMWm+2,yN=^-m+2-

11o

•'-y=yM-yw=—m-*^ir=—IT'(0《”<5)・

736

24.(12分)己知：在△AOB与△口?£>中，OA=OB,OC=OD

(1)如图1,点C、。分别在边04、。8上，连结A。、BC,连结0M,直接写出线段

AO与0M之间的数量关系；

(2)如图2,将图1中的△CO。绕点。逆时针旋转，使△COD的一边。。恰好与△AOB

的边04在同一条直线上时，点M为线段BC的中点，确定AO与。例之间的数量关系；

(3)如图3,将图1中的△C。。绕点。逆时针旋转，旋转角为a(0°<a<90°),点

M为线段8c的中点，连结0M.确定与0M之间的数量关系

图1图2图3

【考点】几何变换综合题.

【解答】解：(1)线段AD与0M之间的数量关系是AO=2OM,

理由如下：°：OC=OD,OA=OB,

：./\OCB^/\ODA(SAS),

：.AD=BC,

TM为8c的中点，ZBOC=90°,

:・BC=20M,

：.AD=1OM；

(2)AQ=20M,理由如下：

如图2,延长。。交A8于E,过点E作EN_LA。于M

B

：.ZA=ZB=ZD=ZBCE=ZDCO=45Q,

；・AE=DE,BE=CE,

■:EN±AD,

：.AD=7EN,

•：BE=CE,M为3c的中点，

：.EM±BC,

：.ZEMC=ZAOB=ZENO=90°,

•••四边形OMEN为矩形,

：.OM=EN,

：.AD^2OM-.

(3)AD=2OM,理由如下：如图7,

延长8。到F,使FO=B。，

为BC的中点，。为的中点，

...M。为△8CF的中位线，

；.FC=2OM,

,：ZAOB^ZAOF^ZCOD=90°,

，ZAOB+ZBOD^ZAOF+ZAOC,

即NAOQ=/FOC,

在△AO。和△FOC中，

'OA=OF

"ZA0D=ZF0C>

OC=OD

/.AAOD^AFOC(SAS),

：.FC=AD,

：.AD=2OM；

25.(12分)若二次函数y=a/-&+c的图象与x轴、y轴分别交于点4(3,0),B(0,

3

-2).

(1)直接写出二次函数表达式及直线AB的表达式；

(2)如图1,若点P为抛物线在第四象限内的点，且S(MBP=2,求点P的坐标；

(3)如图2,点E在线段A8上，且满足△OBES/VIBO；

(4)如图3,点M为A8下方平面上任意一点，且NABM=NAB。，直接写出点M的坐

【解答】解：⑴•••二次函数尸以2-&+。的图象与x轴，0),-2),

2

(4

.3a3xg+c=0

・♦«o,

c=-2

解得：(a芍，

c="2

・••二次函数表达式>=当2_m-2；

33

设直线AB的解析式为y=fcv+〃，将A(7,B(0,

得：俨+b=3,

lb=-2

解得：k-2.

b=-2

・,・直线AB的解析式为y=lx-2；

'8

(2)如图1,过点P作「七〃^轴交直线A8于点E,

设P(如—7H2---2),—m-2),

333

C.PE=—m-2-(―/n2-—m-2)=-

3333

•\S^ABP=—*PE*(XA-XB)=—X(--^?i2+2/n)X6=-irr+?>m,

222

丁SA4BP=8,

工-抗2+3机=7,

解得：m\=1,加8=2,

...点P的坐标为「(1,-旦)或(2；

3

(3),:△OBEs^ABO,

：.ZOEB=ZAOB=90°,

过点0作0ELA8于点E,过点E作EDLy轴于点D,

5,

在RtAAOB中，AB—^Q^2+Qg2=3^+22~/13

；sin/BAO=%=巫，

OAAB_

.OF=0A>QB=4X2=6Vl3；

ABV1313

VZBOE+ZABO=90°,NB4O+/48。=90°,

:.NBOE=NBAO,

sinZBOE—sinZBAO,cosZBOE—cosZBAO,

•DE=OBOD=OA

"OEAB'OEM

...DE=2,OD=5

1313

：.DE=^-,。。=6

1313

.-.£(12,-18);

1313

(4)过点。作OEJ_AB于点E,延长OE至M,过点M作MF_Ly轴于点F,BM,

...NAMB=90°,

ZAMB^ZAOB,

VZABM=ZABO,AB=AB,

.,.△ABM丝△AB。(AAS),

：.BM=BO,AM=AO,

垂直平分OM,

.*.OM=2OE=1^S1_,

13

.•.sin/BOE=^=毁，

ONAB

」一x2

•MA=0M'0B=13=24

,一AB71313

^-=cosZBOE—cosZBAO—^-,

OMAB

12〃x8

13836

...0尸=0儿-°A=

ABV1313

-36).

13

图2

B

图1

考点卡片

1.科学记数法一表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成ax10"的形式，其中a是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：“X10",其中

〃为正整数

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数〃的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位

数少1;按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数加

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此

法表示，只是前面多一个负号.

2.合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项.

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不

变.

（3）合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系

数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会

减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母

和字母的指数不变.

3.同底数募的乘法

（1）同底数幕的乘法法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

"""=小+"（⑶"是正整数）

（2）推广:（m,n,p都是正整数）

在应用同底数累的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25,（a2b2）3与（/廿）

4,（x-y）2与兔-y）3等；②。可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有

相乘时才是底数不变，指数相加.

（3）概括整合：同底数嘉的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在

运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变

形为同底数幕.

4.同底数第的除法

同底数事的除法法则：底数不变，指数相减.

am^an=amn（a^O,m,〃是正整数，相》〃）

①底数aWO,因为0不能做除数：

②单独的一个字母，其指数是1,而不是0;

③应用同底数幕除法的法则时:底数〃可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什

么，指数是什么.

5.一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，检验和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为a,十位数是4则这个两位数表示为10b+a.

（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是m每次增长的百分率

为x,则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为aQ+x）2,即原数X（1+增长百分率）

2=后来数.

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相

似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程.

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会

构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解.

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1.审：理解题意，明确未知量、己知量以及它们之间的数量关系.

2.设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.

3.歹IJ：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.

4.解：准确求出方程的解.

5.验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.

6.答：写出答案.

6.解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验：④得出结论.

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如

下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式

方程的解.

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程时，一定要检验.

7.解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组

成的不等式组的解集.

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，

再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分.

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

8.一次函数的图象

（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0,b）、（-A,0）或（1,k+b）作直线y=fcr+6.

k

注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所

选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确.②一次函数的图象是与坐标轴不平行

的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象.如x="，y

=匕分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象.

（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y=fcv+6,可以看做由直线），=日平移|例个单位而

得到.

当6>0时，向上平移；6<0时，向下平移.

注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；

②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；

③两条直线相交，其交点都适合这两条直线.

9.一次函数图象上点的坐标特征

一次函数〉=自+匕，（ZWO,且A,b为常数）的图象是一条直线.它与x轴的交点坐标是（-

上，0）；与y轴的交点坐标是（0,b）.

k

直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y^kx+b.

10.待定系数法求一次函数解析式

待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：

（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设>=依+公

（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的

方程或方程组；

（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式.

注意：求正比例函数，只要一对x,y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函

数y=Ax+Z>,则需要两组x,y的值.

11.一次函数与一元一次不等式

（1）一次函数与一元一次不等式的关系

从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范

围；

从函数图象的角度看，就是确定直线y=H+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所

构成的集合.

（2）用画函数图象的方法解不等式履+6>0（或V0）

对应一次函数y=H+6,它与x轴交点为（-上，0）.

k

当/>0时，不等式fcv+b>0的解为：x>卫，不等式乙+6<0的解为：xV卫；

kk

当k<0,不等式h+b>0的解为：x<一“不等式"+6<0的解为：x>一包.

kk

12.一次函数的应用

1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科

学合理，又要符合实际.

2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根

据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.

3、概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用.

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键.

13.反比例函数的图象

用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表——描点——连线.

（1）列表取值时，xWO,因为x=O函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”

为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值.

（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连

线，使画出的图象更精确.

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.

（4）由于N并。，上#0,所以函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两

坐标轴.

14.反比例函数系数k的几何意义

比例系数k的几何意义

在反比例函数y=区图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成

x

的矩形的面积是定值因.

在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角

形的面积是工因，且保持不变.

2

15.反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数＞=如1为常数，ZWO）的图象是双曲线，

①图象上的点（x,y）的横纵坐标的积是定值k,即肛=%

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在y=S•图象中任取一点，过这一个点向x轴和），轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的

面积是定值因.

16.二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系

式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即

为正确选项.

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键

是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,

并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立

直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的

取值范围要使实际问题有意义.

17.全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

助线构造三角形.

18.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中

任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

19.直角三角形的性质

（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.

（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的

性质：

性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.

性质2：在直角三角形中，两个锐角互余.

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜边

的中点）

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.性质5：在直角三角形

中，如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于

30°.

20.含30度角的直角三角形

（1）含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的

相关问题中常用来求边的长度和角的度数.

（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角

形或一般直角三角形不能应用：

②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边.

21.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是4,b,斜边长为C