2022年贵州省黔东南州高考数学一模试卷（理科）（附答案详解）

2022年贵州省黔东南州高考数学一模试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.若Z=则Z=（）

1+117

AA•-51-1尹.Bn.一1/,1”.C,-1--1I.D,-+-1

2.下列四组集合中，满足M1；N={%|-14工48}的是（）

A.M={%|—1<x<9],N={x\—2<x<8]

B.M={x|-1<%<9},N-{x|0<%<8]

C.M={x\l<%<8],N={x\—1<x<4}

D.M={x|-1<x<1},N={x|l<%<8}

3.设P为椭圆C：5+?=l上一点,0,尸2分别是C的左、右焦点.若|PF/-|PF2|=1,

则|PF1|=（）

A.|B.：C.|D*

4.3月12日是植树节，某地区有375人参与植树，植树的树种及数量的折线图如图所

示.植树后，该地区农业局根据树种用分层抽样的方法抽取75棵树，请专业人士查

看植树的情况，则被抽取的柳树的棵数为（）

5.已知几何体ABCD-A/iGDi是正方体，则（）

A.平面4BG

B.在直线BBi上存在一点E,使得4E1CD

C.也_L平面&BCi

D.在直线DDi上存在一点E,使得CE〃平面4BC1

6.设a,b,c分别为△A8C内角力，B,C的对边.已知a=5bsinB,4=3,则cosB=()

BQ3同D・士噜

A・噜-±f•10

7.一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式s=t2（4t-

3尸，则当t=l时，该质点的瞬时速度为（）

A.5米/秒B.8米/秒C.14米/秒D.16米/秒

8.若函数/（乃=5①（3》+9（3>0）在区间（0,｝内存在唯一的狗，使得/（》0）=—1,

则3的值不可能是（）

771B.等

A.C.4兀D.等

3

9.若定义在/?上的奇函数/0）满足/0+1）+/（1-％）=6,则〃4）=（）

A.—6B.6C.—12D.12

10.东方明珠广播电视塔是上海的标志性文化景观之一，塔

高约468米，上球体的直径为45米，且上球体的球心。到

地平面的距离与塔高的比值为黄金分割比（约为0.618）.

若P为上球体球面上一点，且P。与地平面（塔顶与。的连

线垂直地平面）所成的角为30。，P在上球体的上半部分,

则P到地平面的距离约为（）

A.297米

B.300米

C.303米

D.306米

11.设a=log23,b=log4x>c=log865,若这三个数中b既不是最小的也不是最大的,

则》的取值范围是（）

A.(9,655)B.(3,655)C.[9,655]D.[3,655]

12.已知双曲线C；条—，=l（a>0,b>0）,直线x=2a与C交于4,B两点（4在B的

上方），用=屈，点9在丫轴上，且E4〃x轴.若ABDE的内心到y轴的距离为学

则C的离心率为（）

A•当B考C.V6D.伍

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.（/一点）6展开式的中间项为.

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14.已知fJ是互相垂直的单位向量，设向量方=1+3>b=2；—，，且五_L（?n五—b）.

则m=________

15.如图所示的平面区域（阴影部分）由一个半圆和两个全等的

直角三角形组成（含边界），若点P（%y）是该区域内任意一

点,z=%—y,则z的最小值为/的最大值为.

16.已知函数f(%)=tan2x+2tan(n-%)-1.若tana=2,则/(a)=；若f(%)的

定义域为（0币uG，*），则/（X）零点的个数为

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知数列｛斯-2n｝的前K项和为"-2n+1+2.

（1）求数列｛a.｝的通项公式；

（2）求数列｛斯-2与的前n项和

18.如图，AB1平面ADE,ADL^ABE,CF//EA,CF<

AE,且E,F均在平面4BCD的同侧.

(1)证明：平面CDF_L平面4BCD；

(2)若四边形ABCD为梯形，BC//AD,AD=3,AB=

BC=AE=2,且异面直线BE与"所成角的余弦值笔，求四棱锥一488的体

积.

19.某夜市街上有“十元套圈”小游戏，游戏规则为每个顾客支付十元便可获得3个套

圈，顾客使用套圈所套得的奖品，即归顾客所有.奖品分别摆放在1,2,3三个相

互间隔的区域中，且1,2,3三个区域的奖品价值分别为5元，15元，20元，每个

套圈只能使用一次，每次至多能套中一个.小张付卜元参与这个游戏，假设他每次

在1,2,3三个区域套中奖品的概率分别为0.6,0.2,0.1,且每次的结果互不影响.

(1)求小张分别在1,2,3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率；

(2)若分别在1,2,3三个区域各套一次为方案甲，所获奖品的总价值为X元；在2区

域连套三次为方案乙，所获奖品的总价值为丫元.以三次所套奖品总价值的数学期

望为依据，小张应该选择方案甲还是方案乙？

20.已知直线y=3与曲线C：产+2py=o的两个公共点之间的距离为4n.

(1)求C的方程.

(2)设P为C的准线上一点，过P作C的两条切线，切点为4,B,直线P4PB的斜率

分别为七，k2,且直线P4PB与y轴分别交于M,N两点，直线4B的斜率为题.证

明：自•七为定值，且七，k。，七成等差数列.

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21.已知函数/'(x)=——ahix.

(1)讨论/'(x)的单调性；

(2)当%>-1时，〃2，+1)>1恒成立，求a的取值范围.

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，:为参数且t>o),c与％轴、

y轴分别交于4，8两点.

⑴求MB卜

(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求以线段。8为直径的

圆的极坐标方程.

23.已知函数f(x)=|3x-1|+|3x+3|.

(1)求不等式/(x)<11的解集；

(2)若a+b=l,证明：/(a)+/(6)>10.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：2=9=湍言=一^+夕，则』=一：一?，

故选：A.

利用复数的运算法则、共软复数的定义即可得出结论.

本题考查了复数的运算法则、共桅复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础

题.

2.【答案】C

【解析】解：对于4M={x|-1<x<9},N=(x\-2<x<8},M(JN={x\-2<

x<9},不合题意，

对于B,M={x|-1<x<9},N={x|0<x<8],MU/V={x|-1<%<9},不合题

意，

对于C,M={x|l<x<8],/V={x|—1<x<4},MUA/={x|—1<x<8},成立,

对于。，M={x|—1<%<1},N={x|l<x<8},Mu/V={x|—1<%<1或1<xW

8},不合题意，

故选：C.

由已知条件，利用并集定义直接求解.

本题考查并集的求法，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：P为椭圆C；9+1=1上一点，%F2分别是C的左、右焦点.

a=3,

IPaI+IP&I=6,

IP6I—|PF2l=l，则|PFi|=(

故选：B.

利用椭圆的定义，结合已知条件求解即可.

本题考查椭圆的简单性质，椭圆的定义的应用，是基础题.

4.【答案】B

【解析】解：由题意利用分导抽样得被抽取的柳树的棵数为：

75x_________________25

200+100+2S0+150+50=-

故选：B.

利用分层抽样能求出被抽取的柳树的棵数.

本题考查被抽取的柳树的棵数的求法，考查分层抽样、折线图的性质等基础知识，考查

运算求解能力，是基础题.

5.【答案】D

【解析】解：对于4,在正方体ABCD-AiBiGDi中，

因为40〃BC,BC与平面&BG相交，

所以力D与平面4BC1相交，故A错误；

对于B,因为4B〃CD,而在直线BBi上不存在一点E,使得4E1AB,

所以在直线SB】上不存在一点E,使得AE1CD,故B错误；

对于C,因为44i=CC］且4%〃CCi，

所以四边形ACC1占为平行四边形，所以&CJ/4C,

又NC4Bi=g,故AC与4名不垂直，所以4B］与41cl不垂直，

故AB】与平面4BG不垂直，故C错误；

对D,因为&Di=BC且4DJ/BC,

所以四边形BC01&是平行四边形，

所以CDJ/NB4,又CD】C平面ABC；,u平面AiBQ,

所以CDi〃平面为BCi，

故当E与。1重合时，CE〃平面4BG，故。正确.

故选：D.

根据40〃BC,可得4D与平面&BCi相交，即可判断4

根据AB〃CD,可得在直线BBi上不存在一点E,使得力EJ.CD,即可判断B；

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根据41c"/AC,说明A/与&Ci不垂直，即可判断C；

根据CDi〃平面&BG，则当E与DI重合时，CE〃平面&BQ,即可判断D.

本题考查了空间中平行关系与垂直关系的判定，属于中档题.

6.【答案】C

【解析】解：因为。=5加讥8,

所以由正弦定理可得sinA=SsinBsinB,

又4=可得］=5sin2B,可得siMB=总，可得sinB=土噜，又BG(0,兀)，sinB>0,

可得sinB——<-=sinA>

102

所以8<4可得B为锐角，

所以cosB=V1—sin2B=幺U.

io

故选：C.

由已知利用正弦定理可求sinB的值，由题意可确定B为锐角，利用同角三角函数基本关

系式即可求解.

本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算

能力和转化思想，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：•••s=t2(4t-3)3,

s'=2t(4t-3)3+12t2(4t-3)2,

当t=1时，s'=2+12=14,

•••该质点的瞬时速度为14米/秒，

故选：C.

利用瞬时速度与导数的关系求解即可.

本题主要考查了瞬时速度与导数的关系，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：•.・函数f(x)=sin(3X+》(3>0)在区间(04)内存在唯一的X。，使得/(而)=

-1,

,43+”葭且加+江甘+2心

解得g<3W手，

故选：A.

结合三角函数的性质知加+g>手且为+释手+2兀，从而判断.

本题考查了三角函数性质的应用，属于基础题.

9【答案】D

【解析】解：因为定义在R上的奇函数f(x)满足/。+1)+/(1-乃=6,

故/(0)=0,

令t=x+l,则/'(t)+/(2-t)=6,

所以f(2)+/(0)=6

所以f(2)=6,

因为/(4)+/(-2)=/(4)--2)=6,

则/'(4)=12.

故选：D.

由已知结合奇函数的性质先求出/(0),然后结合已知函数关系进行赋值可求.

本题主要考查了利用函数的奇偶性及对称性求解函数值，解题的关键是合理的进行赋值.

10.【答案】B

【解析】解：••・上球体的球心到塔底的距离dx468x0.618«289.22米，

P到地平面的距离约为：

d+yxsin30°=289.22+11.25»300(米).

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求出球心0到底面距离，加上P到球心竖直距离，即为P到地面距离.

本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知

识，考查运算求解能力，是中档题.

11.【答案】A

【解析】解：a=log23=log827<log865=c,

a<b<c,

即log23<log4x<log865,

•••log23<log2Vx<

•-3<y/x<V65,解得9<x<65石，

即x的取值范围是（9,65务，

故选:A.

利用对数函数的性质求解.

本题主要考查了对数函数的性质，属于基础题.

12.【答案】B

【解析】解：因为4在B的上方，且这两点都在C上，所以4(2a,gb),B(2a,-6b),

贝=2gb,因为赤=荏，所以4是线段BD的中点，又E4〃x轴.

所以|ED|=\EB\,EA1BD,

所以△BOE的内心在线段E4上，因为G到y轴的距离为手，

4aI

所以瞥=曾==^=2,所以NE/M=60。，因此即_』3)2+(29)z_

如||D4|2a-.而一一酒一一2

解得a=3b,故e=Jl+=£2.

故选：B.

根据题意画出图形，利用三角形的内心性质，以及角平分线定理，得到a,b的关系后即

可求出离心率.

本题考查双曲线的离心率的求法，考查抽象思维能力，属中档题.

13.【答案】一张3

【解析】解：因为n=6,所以展开式共有7项，所以中间项为第4项，

则展开式的中间项为北=原7)3(一勺3=C3,(_1)3X3=一黑3,

故答案为:-黑3.

因为n=6,所以展开式共有7项，所以中间项为第4项，然后根据二项式定理求出第4项

即可求解.

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.

14.［答案］一看

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【解析】解：•••是互相垂直的单位向量，向量五=i+3j,b=2f—£且五1(ma-b)，

•,-a-(ma—b')=ma2—a-b=10m—(2—3)=0，

则m=一2，

故答案为：-总

由题意，利用两个向量垂直的性质，求得m的值.

本题主要考查两个向量垂直的性质，属于基础题.

15.【答案】—42V2

【解析】解：由2=%-丫，知y=%-z,原问题转化为直线y=%-z在y轴上的截距的

最大值和最小值，

当直线y=x-z经过点(一2,2)时，直线y=%-z在y轴上的截距取得最大值，

此时2=-2—zf即z=—4,

所以z的最小值为-4；

当直线y=x-z与圆/+y2=4在第四象限相切时,直线y=x-z在y轴上的截距取得

最小值，

此时有，^=2,且z>0,所以z=±2遮(舍负)，

所以z的最大值为2企.

故答案为：—4；2夜.

由2=久-丫，知y=%-z,原问题转化为直线y=x-2在、轴上的截距的最大值和最小

值，再分别由直线y=x-z经过点(一2,2)和直线y=%-z与圆/+/=4在第四象限

相切，即可得解.

本题考查线性规划，理解目标函数的几何意义，直线与圆相切是解题的关键，考查逻辑

推理能力和运算能力，属于中档题.

16.(答案］—T1

【解析】解：因为函数/(%)=tan2x+2tan(ji-%)-1=二-2tanx-1,

若Cazia=2,则f(a)=------；----2tcuia—1=--------4—1=------；

八/l-tan2a1-43

令/(%)=0，得::-=2tanx+1,整理得2tan3%+tan2%—1=0,

i^tanx=t,若*6(O,f)uG，F)，WJtG(-oo,-l)u(0,1),

4Z4

设g(t)=2t34-12—1,tG(—8,-1)U(0,1),

则g'(t)=6/+23

当tG(-oo,-l)u(0,1)时，g'(t)>0,g(t)在区间(0,1)上单调递增，

且g(—1)=—8<0,g(0)=-1<0,g(l)=2>0,

所以g(t)在区间(0,1)上存在唯一零点，

又因为y=tcm%在区间(0币上单调递增，

所以函数f(%)在区间(0为U或牛)上零点的个数为1.

故答案为：一三；1•

利用二倍角公式即可计算/(a)的值，由/(x)=。求得2t<m3x+tan2x-1=0,设temx=

t,t6(-oo,-l)u(0,1),构造函数g(t)=2t3+t2-1,t6(-oo,-i)u(0,1),判断g(t)

零点的个数，即可得出函数/(x)零点的个数.

本题考查了二倍角的正切公式应用问题，也考查了函数零点的判断问题，第一空是基础

题，第二空是难题.

17.【答案】解：(1)因为数列｛2刃的前n项和为2九+1-2,

n+1

又数列｛an-2"｝的前n项和为般2-2+2,

所以数列｛厮｝的前n项和%=n2.

当联>2时,即=Sn-Sn-1=2n—1.

又的=S]=1,也满足an=2n—1,故an=2n—1.

(2)由(1)知〃=1X2+3X22+5X23+…+(2n-1)2%27^=lx22+3x23+5x

24+…+(2n-1)2n+i,

两式相减，得一/=24-2x(22+23+24+…+2n)-(2n-l)2n+1=2+2x

2：曹3-(2n-l)2n+1=(3-2n)2n+i-6.

所以〃=(2n-3)2n+1+6.

【解析】(1)由题意可得数列｛a3是以2为公差的等差数列，再由。4=9可求出的,从而

可求出通项公式，

(2)由(1)可得为=(2n+1)+2n,然后利用分组求和可求出及

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本题考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题.

18.【答案】(1)证明：因为4B_L平面ADE,力Eu平面4DE,所以4B1AE.

因为4。平面力BE,4Eu平面ABE,所以4D1AE.

因为ABC力。=4,所以力E1平面力BCD,

因为CF〃4E,所以CF1平面ABCD.

又CFu平面CDF,所以平面CDFJ■平面48CD.

(2)解：因为力B1平面4DE,所以AB1AD,

以4为坐标原点，荏的方向为工轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

则8(2,0,0),E(0,0,2),D(0,3,0).

设CF=t(t>0),则F(2,2,t),BE=(-2,0,2)，DF=(2,-l,t).

设异面直线BE与DF所成的角为0,

则cos。=\cos(BE,~DF)\=粤粤==更，

1'八\BE\\DF\2\/2xVt2+56

整理得5t2-24t+19=(5t-19)(1-1)=0,

解得t=三或1.

又CF<4E,所以t=l,故/T8CDTxqx(2+3)x2xt=?=|.

【解析】(1)证明4814E/D14E.推出4E!_平面4BC0,得至iJCF_L平面4BC。.即可证

明平面CDF_L平面48co.

(2)以4为坐标原点，通的方向为无轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

求出诟=(—2,0,2)，DF=(2,利用空间向量的数量积求解异面直线BE与DF所成

的角推出3然后求解几何体的体积.

本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，异面直线所成角的求法，几何体的体积的

求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力.

19.【答案】解：(1)记小张分别在1,2,3三个区域套一次便能套中奖品为事件4B,

C,

则P(A)=0.6,P(B)=0.2,P(C)=0.1,

・・•每次结果互不影响，，小张分别在1,2,3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件

的概率为：

P(ABC+ABC+ABC+ABC)

=0.4x0,8x0.9+0.6x0,8x0.9+0.4x0.2x0.9+0.4x0.8x0,1

=0.824.

(2)选择方案甲：X可能的取值为0,5,15,20,25,35,40,

P(X=0)=P(ABC)=0.4x0.8x0.9=0.288，

P(X=5)=P^ABC)=0.6x0.8x0.9=0.432，

P(X=15)=P(ABC)=0.4x0.2x0.9=0.072，

P(X=20)=P^ABC+ABC)=0.4x0.8x0.1+0.6x0.2x0.9=0.14，

P(X=25)=PG48G=0.6x0.8x0,1=0.048，

P(X=35)=P(4BC)=0.4x0.2x0.1=0.008，

P(X=40)=P^ABC)=0.6x0.2x0.1=0.012,

E(X)=Ox0.288+5x0.432+15x0.0724-20x0.14+25x0.048+35x0.008+

40x0.012=8.

选择方案乙，设小张所获奖品的总件数为Z,贝Ijz〜8(302),

Y=15Z,E(Z)=3x0.2=0.6,E(Y)=15E(Z)=9,

・・・E(Y)>E(X),・•・小张应该选择方案乙.

【解析】(1)利用独立事件的乘法公式能求出所获奖品不超过1件的概率.

(2)列出随机变量的分布列，计算方案中的期望，由二项分布期望公式求出方案乙的期

望，再比较大小能求出结果.

本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查相互独立

事件概率乘法公式、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

20.【答案】解：(1)将y=3代入/+2py=0,得％2=一6P.

当pNO时，不合题意；

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当p<0时，x=±^/-6p,则2J—6P=4A后,解得p=-4,

所以C的方程为/=8y.

(2)证明：由(1)可知C的准线方程为y=-2,

设Pg-2),4(叼,为)，B(x2,y2),设过点P且与C相切的线/的斜率为K

则&y=k(x—m)—2,且AH0,

联立直线y=k(x—m)—2和抛物线/=8y方程得，x2—8kx+8(km+2)=0,

则4=64k2-32(km+2)=0,即/_lmk-1=o,

由题意知，直线P4,PB的斜率自，七为方程1-gmk-1=0的两根，

所以吊+卜2=葭，卜也=T,故卜1/2为定值.

又因为％2—8kx+8(km+2)=(%—4k)2=0,所以勺=4kU

同理冥2=4k2,

所以腌=上么=超数=

Uxl~x2X1^X28

所以a=空，故的，ko,七成等差数列.

【解析】(1)求出交点的横坐标，解方程2下而=4区即可得出所求的曲线C的方程；

(2)设P(zn,-2),4Qi，yi),BQ2，y2)，设过点P且与C相切的线，的斜率为匕则Ay=人(久一

m)-2,且k¥0,联立直线和抛物线方程得到韦达定理，得到k2-：mk-l=0,即

得k「k2为定值•再求出的=空，故七，k°,七成等差数列.

本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，考查学生的逻辑思维能力

和运算能力，属中档题.

21.【答案】解：(l)f(x)的定义域为(0,+8),1(%)=4/一?=竺『£

当aWO时，1(%)>0恒成立，则/(x)在(0,+8)上单调递增.

当a>0时,令广(x)<0,得x6(0,冷,则f(x)在(0,，1)上单调递减;

令/(%)>0,得xe《|,+8),则/(x)在(里,+8)上单调递增.

(2)当x>-l时，/(2*+1)>1恒成立等价于当x>1时，/(久)>1恒成立.

当aWO时，f(x)在(1,+8)上单调递增,则/(久)>/(1)=1.

当0<a44时，0<坐W1,则f(x)在(1,+8