2022年湖南省衡阳市高考数学一模试卷及答案解析

2022年湖南省衡阳市高考数学一模试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的。

1.(5分)集合{y|y=sinx}=()

A.RB.{九}C.{邓XW1}D.{小20}

2.(5分)若曲线y=e1+而在点(1,1)处的切线与直线ax+y=0平行，则。=

A.-1B.1C.-2D.2

等，则cosx=(

3.（5分）已知sin*=）

7117

A.-gB--3C.一D.一

39

4.(5分)2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号厂遥十三运

载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，顺利将翟志刚、王亚平、叶

光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功.火箭在发射时会产

生巨大的噪音，已知声音的声强级d(x)(单位：48)与声强x(单位：W/川)满足d(x)

=10欣消心若人交谈时的声强级约为5048,且火箭发射时的声强与人交谈时的声强

的比值约为10、则火箭发射时的声强级约为()

A.130JBB.14048C.150JBD.160dB

1J_Q

5.(5分)已知函数f(x)=2x—京+国r若，则()

A./(I)4/<-1)<0B./(-2)V(2)>0

C./(1)-/(-2)<0D./(-1)+/(2)>0

6.(5分)2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的

方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文

化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别

放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与

“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？()

A.192B.240C.120D.288

7.(5分)设抛物线C-.)2=4X的焦点为F,点P为C上的任意点，若点A使得|AP|+|P~

的最小值为4,则下列选项中，符合题意的点A可为()

A.(4,2)B.(4,4)C.(3,3)D.(3,4)

第1页共16页

8.（5分）在正方体48。。-481。。|中，点尸满足8$=%/4+丫81。+281。1，且x+y+z

71

=1,若二面角Bi-P£h-C的大小为？。为△AC£>i的中心，则sinNPZ）iO=（）

V3V6y/3V6

A.—B.—C.—D.—

6633

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）复数z=x+yi,x,yWR,xyWO,则下列选项一定正确的是（）

A.z+z6/?B.z-zERC.zzERD.zG/?

z

（多选）10.（5分）下列选项中，与“/>『'互为充要条件的是（)

A.x>lB.2x2>2X

1

C.-<1D.（x-1）|=x（x-1）

X

（多选）11.（5分）已知双曲线C：（«>0,。>0）的左焦点为F,过点尸作C

的一条渐近线的平行线交C于点A,交另一条渐近线于点8.若工=26，则下列说法

正确的是（）

A.双曲线C的渐近线方程为）'=±公

B.双曲线C的离心率为我

b2

C.点A到两渐近线的距离的乘积为无

D.。为坐标原点，则tan乙4OB=*

（多选）12.（5分）数列｛即｝满足，a\=a,2aft+\-anan+i=l9贝ij（）

A.数列｛板｝可能为常数列

B.当”=0时，数列｛高方前10项之和为-55

1Q1

C.当。=五时，。〃的最小值为］

D.若数列｛如｝为递增数列，则。<1

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知a=（3,4）,b=（2,x）,若a_Lb,贝.

4?

14.（5分）已知x>0,y>0,-=4y—y2,则x+^=.

第2页共16页

15.（5分）已知点A（遮,1）,点P在圆/+尸=1上,则直线AP倾斜角的最大值为.

16.（5分）已知函数/'（x）=sinx+V3|cosx|,写出函数/（x）的一个单调递增区间；

当x€[0,a]时，函数f（x）的值域为[1,2],则a的取值范围是.

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=VLb=后

c—1.

（1）求sinA,sinB,sinC中的最大值；

（2）求AC边上的中线长.

18.（12分）已知数列｛“”｝的前〃项和为S”，m=3,Sn=l+an+\.

（1）证明：数列｛S〃-1｝为等比数列；

（2）记数列｛2•｝的前”项和为证明：7）,VI.

19.（12分）如图，正四面体A8C£>,E为AB的中点.

（1）证明：平面ECOJ_平面ABC；

（2）若CTM=52CT4,求EM与平面4c。所成角的正弦值.

20.（12分）甲、乙运动员进行乒乓球友谊赛，每场比赛采用5局3胜制（即有一运动员先

胜3局即获胜，比赛结束）.比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3：0或3：

1取胜的运动员积3分，负者积0分，以3：2取胜的运动员积2分，负者积1分，已知

甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为点

（1）甲、乙两人比赛1场后，求甲的积分X的概率分布列和数学期望；

（2）甲、乙两人比赛2场后，求两人积分相等的概率.

21.（12分）已知椭圆E：与+与=l（a>b>0）的右焦点为F、过尸的直线与椭圆E交于

Qb

点4、B、当直线AB的方程为y=x-孝时，直线AB过椭圆的一个顶点.

（1）求椭圆E的标准方程;

第3页共16页

(2)已知点M(VL0),若|MA|=2|M8|,求直线AB的斜率.

22.(12分)已知函数f(x)=与工一k》—1.

(1)若％=1,求/(x)在(0,+°°)上的单调性；

(2)试确定火的所有可能取值，使得存在f>0,对Vx€(0,f),恒有|/(x)|<?.

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2022年湖南省衡阳市高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的。

1.（5分）集合{y|y=sinx}=（）

A.RB.国-lWxWl}C.{x|0WxWl}D.{4r20}

【解答】解：集合{y|y=sinx}={R-

故选：B.

2.（5分）若曲线y=e"i+加x在点（1,1）处的切线与直线《x+y=O平行，则〃=（）

A.-1B.1C.-2D.2

【解答】解：f（x）=-7+/〃X的导数为，（x）p

可得曲线在点（1,1）处的切线斜率为％=1+1=2,

由切线与直线6+y=0平行，可得左=-m

即-〃=2,解得a—~2,

故选：C.

3.（5分）已知sin・=字，贝ljcosx=（）

7117

A.一百B.—«C.-D.一

9339

【解答】解：因为s»W=等，

〜％cXV31

所以cos-=1-2sirr—=1-2X（—）o2=可,

2433

所以cosx=2cos22-1=2X（-）2-1=

239

故选：A.

4.（5分）2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号尸遥十三运

载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，顺利将翟志刚、王亚平、叶

光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功.火箭在发射时会产

生巨大的噪音，已知声音的声强级d（x）（单位：d5）与声强x（单位：W/〃?2）满足］（］）

=1°/里岛7・若人交谈时的声强级约为50d8,且火箭发射时的声强与人交谈时的声强

10~12

的比值约为109,则火箭发射时的声强级约为（）

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A.130d5B.140d3C.150dBD.160dB

x

【解答】解：设交谈时的声强为x,则50=10/8万甚，

.\x=10-7,

所以火箭发射时的声强为：107X109=102,

102

故火箭发射时声强级为：d(x)=10七=7=140,

010T2

故选：B.

5.(5分)已知函数"%)=2#-十+仞暮,则()

A./(I)+f<-<0B./(-2)+/(2)>0

C.7(I)-/(-2)<0D./(-1)+/(2)>0

【解答】解：根据题意，函数"%)=2”—£岩，

%+3

由:;一>0,解得-3VxV3,即函数的定义域为(-3,3),

3-%

又一(-X)=-f(X),所以函数f(X)为奇函数，

在区间(-3,3)上，y=2，、尸一支和尸/名三都是增函数，

则函数f(x)在(-3,3)上为增函数.

对于A,函数/(x)为定义域为(-3,3)的奇函数，则f(1)4/(-1)=0,A错误;

对于B,函数/(X)为定义域为(-3,3)的奇函数，贝丫(-2)+f(2)=0,B错误;

对于C,7(I)-/(-2)(1)+f(2)>0,C错误；

对于D,/(-1)+f<2)=/(2)-f⑴>0,D正确.

故选：C.

6.(5分)2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的

方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文

化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别

放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与

“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？()

A.192B.240C.120D.288

【解答】解：根据题意不同的放置方式有鹿掰-2掰=240.

故选：A.

7.(5分)设抛物线C：)2=标的焦点为尸，点尸为C上的任意点，若点A使得依尸|+|「同

第6页共16页

的最小值为4,则下列选项中，符合题意的点A可为()

A.(4,2)B.(4,4)C.(3,3)D.(3,4)

【解答】解：因为抛物线C：)2=4x,

所以尸(1,0),准线方程为x=-l,

过P作准线的垂线，垂足为Q,则有|PQ|=|Pf],

所以|AP|+|Pf]=|AP|+|PQ|,

当A,P,。三点共线时，|4P|+|PQ|取最小值为|AQ=XA-(-1)=XA+1=4,

所以X4=3,

又因为A点必在抛物线内部才满足,(A在抛物线外部H寸，当A,尸,F三点共线时，IAPI+IPF]

取最小值为IAQ,此时无选项.)

故选：C.

8.(5分)在正方体ABCD-A\B\C\D\中，点P满足B；P=xB^A+yB；C+zB：D「且x+y+z

7T

=1,若二面角Bi-PDi-C的大小为]。为△ACQi的中心，则sin/PDiO=()

y/3V6y/3V6

A.—B.—C.—D.—

6633

【解答】解：设正方体ABCD-A1B1C1Q1中心为01,

•点P满足B[P=xBxA+yBtC+zBR,且x+y+z—1,

平面ACDi,

;平面ACDiA平面B\PD\=PD\,由正方体性质得81O_L平面ACDi,且BiOC平面ACD\

=0,

作OQ_LQiP于Q,连接081,则。D\PVOQ,8iQC0Q=Q,

.,.。$_1_面OQBi,...NBiQ。即为81-PDi-C的平面角，：.ZB\QO=^,

设正方体棱长为1,RtABiOg中，B\0=|V12+l2+I2=竽,

.nn_2总"一2

..OQ=-X-T=J,

在RtZXOQA中，0Di=孚x/=^,

.\sinZPDiD=^-V6

UU^3'

故选：D.

第7页共16页

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）复数z=x+yi,x,yGR,盯W0,则下列选项一定正确的是（）

A.zH-z6/?B.z-zERC.zzGRD,-ER

z

【解答】解：二,复数z=x+yi,x,yWR，xyWO,BPx,y#0.

/.z+z=x+yi+x-yi=2xGR,z—z=x+yi-（x-yi）=2yi£R,

zz=Cx+yi）（x-yi）=X2+J2GR,

zx+yi（x+yi）2x2-y22xy

—~----=-------------=-------+------厚R,

zx-yi（x-yi）（x+yi）x2+y2x2+y2

故选：AC.

（多选）10.（5分）下列选项中，与“*>x”互为充要条件的是（）

A.x>\B.2x2>2X

1

C.-<1D.\x（X-1）\=x（x-1）

X

【解答】解：v?>x,

Ax<0或x>l,

-：2x2>2X,解得即xVO或x>l,

111—x

-<1,——l<0,---<0,解得x<0或x>l,

XXX

由|x（X-1）\=x（X-1）可得x（x-1）NO,解得xWO或

根据充要条件的定义可判断得出：选项符合，

故选：BC.

（多选）11.（5分）已知双曲线C：鸟一鸟=1（a>0,QO）的左焦点为F,过点p作C

的一条渐近线的平行线交C于点A,交另一条渐近线于点艮若总1=2几，则下列说法

第8页共16页

正确的是（）

A.双曲线C的渐近线方程为＞=土级

B.双曲线C的离心率为遍

b2

C.点A到两渐近线的距离的乘积为不

万

D.。为坐标原点，^\tanZ-AOB=

【解答】解：设直线次的方程为），=2（x+c）,与渐近线）=—，联立可得8（二，—

aQ2a

因为凡T4=24T8,则A（-竽?c，—be

33a

4c2C2

将A的坐标代入双曲线的方程：---=1,

9a29a2

可得。2=3/，可得离心率e=T=V5,所以B正确；

b\c2-a2_

所以渐近线的方程为：y=土/=±^^^=±缶，所以A不正确;

|此)一%卜|此！+%|_a2b2_a2b2_玫

4到两条渐近线的距离d\d2=,所以C正确;

c23a23

%OA=一与=一4，kAB——V2,所以-1,

2a2a

所以OAUB,|0川=]警+皆=冬,|A8|=JV+,c)2+俄-&2=翁,

故tanNAO8=所以。正确；

故选：BCD.

（多选）12.（5分）数列｛〃〃｝满足，a\=a,2〃〃+i-〃,0?+i=l,贝ij（）

A.数列｛〃〃｝可能为常数列

B.当〃=0时，数列｛点二｝前1。项之和为-55

1Q1

C.当。=五时，4〃的最小值为孑

D.若数列｛〃〃｝为递增数列，则。VI

【解答】解：2a〃+i-a“历+1=1,

._1

•'Q"]一方布

1_[=112+即_斯-1

,•an+l-1=

2—an2—即2—an

第9页共16页

对于选项A:当4=1时，有2〃2-。2=1,.*.672=1,

••.。3=告=1，。4=2=1，类比得数列｛“"｝为常数列，故选项A正确,

乙LvO乙4X0

对于选项&当4=0时，有一--=2&=」一一1,

a

an+l-1n-^

...数列｛4｝是以二一=-1为首项，-1为公差的等差数列，

”1一1,。1一1

，数列｛点匕｝前10项之和为10X(-1)+当包x(-1)=-55,故选项B正确，

对于选项C：当a=春时，数歹IJ｛看｝是以六=甘为首项，-1为公差的等差数歹U，

21

3存不+1=1+/，

...当〃=7时，而有最小值，。7=飞二九+1=-1,故选项C错误，

对于选项。：若数列｛的｝为递增数列，则由4可知a#1,

由8可知数列匕上？是以二一=工为首项，-1为公差的等差数列,

即一1ax-la-1

a—an+n

an=-----：-

a—an+n

：｛〃”｝为递增数列，，三VI,

.'.a<1,故选项。正确，

故选：ABD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

TTTTT5

13.(5分)已知a=(3,4),b=(2,x),若a_Lb,则|b|=万.

【解答】解：根据题意，a=(3,4),b=(2,x),

TTTT,4

若alb,则a・b=6+4x=0,解可得x=—,,

则片=(2,-|),则।汇5

2;

故答案为：|.

2

14.（5分）己知x>0,y>0,x+^=4y-y,则x+,=3

Xy

第10页共16页

【解答】解：；x>0,.,.x+：22a=4,当且仅当x=2时等号成立，.•.x+：24,

：.y>0,；.4厂>=_(y-2)2+4W4,此时y=2,

=4y-y2=4,/.x=y=2,

=3,

故答案为：3.

15.(5分)已知点A(遮，1),点P在圆/+y2=l上，则直线.倾斜角的最大值为

【解答】解：设直线A尸的斜率为匕倾斜角为a,

方程为：y—1=k(x—V3)=>kx—y+1-V3fc=0,

当直线AP是圆?+/=1的切线时，

11—y/3kI——

有/「=1=k=0或k=V3,所以有0<k<V3,

迎f2+i

即。<tana<\/3=>0<a<^,

TC

直线AP倾斜角的最大值1,

7T

故答案为：

16.(5分)已知函数/(%)=sinx+B|cosx］,写出函数/(九)的一个单调递增区间_［一去_

71TC77r

-J_；当/曰。，时，函数/(X)的值域为［1,2］,则a的取值范围是二〕.

626

【解答】解：当一*+2/CTTW无W5+2kn,k£Z时，f(x)=sinx+A/5cosx=2sin(x+1)，

7T37r「TT

当一+2/CTT<x<一+2knkeZ时，f(x)=sinx—V3cosx=2sin(x—了)，

2293

令一代x+>?得一普

故函数f(x)的一个单调递增区间为［一号勺；

TT7T7T

由正弦函数的性质可知，/(%)在［0,%］上单调递增，在《，刀上单调递减，

当蚂。，京时，f8e［L2］且"0)=6,咒)=1,

令一狂尸父去得Y-W手

所以/(x)在g，等］上单调递增，函数的值域为［1,2J,

第11页共16页

ItTT3TTg57r117T

令A三<x-0<万，得二-<X<——,

23266

57T3TT77r

所以f(x)在匕-，=]上单调递减且/(二)=1,

626

因为xe[O,0时，函数f(X)的值域为[1,2],

所以]普，

4*L巴一-7兀

练上，—工。工-g-.

,.,.,TTTCTC71T

故答案为：[-2，-]>[-,—]

四、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=&,b=炳,

c=l.

(1)求siivbsinB,sinC中的最大值；

(2)求AC边上的中线长.

【解答】解：(1)因为遥K泛>1,

所以b>a>c,可得sinB>sinA>sinC,

由余弦定理可得cosB=吃+[-泞=—孝，

2xV2xl2

又BE(0,n),

所以B=等，可得sinB=¥.

(2)设AC边上的中线为B。，则访=；(易+品1),

~~3TC

所以(2BC)2=(B4+BC)2=c2+a2+2accosB=12+(72)2+2x1xV2xcos—=1,

4

T11

所以|BD|=I，即AC边上的中线长为不

18.(12分)已知数列｛丽｝的前“项和为S",ai=3,S0=l+a”+i.

(1)证明：数列｛S-1｝为等比数列；

(2)记数列｛々｝的前〃项和为心，证明：Tn<\.

【解答】证明：(1)因为S”=1+a“+i=1+S1+1-S”，即Sn+1=2Sn~1)

所以S+I-1=2(Sn-1),

故数列｛S-1｝为等比数列.

(2)因为ai=3,所以Si-1=3-1=2,

第12页共16页

由(1)知，数列｛S「1｝是首项2,公比为2的等比数列,

所以S”-1=2・2"-1=2",即的=2"+1,

“111

所以或=西I〈不，

故也V1+今+…+1=式：-()=1一次VI，得证•

22乙1-24

19.(12分)如图，正四面体ABC£>,E为AB的中点.

(1)证明：平面EC£)_L平面ABC；

T7T

(2)若CM=(CA,求EM与平面AC£)所成角的正弦值.

【解答】解：(1)证明：为AB的中点.AC=BC,AD^BD,

：.EC1.AB,DELAB,：ECnDE=E,EC,。氏平面EC。，，AB_L平面EC。,

平面ABC,，平面ECO_L平面ABC；

(2)设几=a,AC=b,AD=c,设正四面体ABCD的边长为1,则则面=或=面=1,

->T1,TT1—1

a*b=2>则a・c=2，则c・b=],

设平面ACD的法向量为蔡=xa+yb4-zc,

i—T—T1T11

则=(xa+yb+zc)・b=0,.•.^尤+y+卧二。，①

-♦—>—>T—>—>1]___

m*c=(M+)由+zc)・c=0,.•・]x+/+z=0,②

由①②令x=l,可得y=z=—/，・,・平面AC。的法向量为薪=展一|•"蓊

/.\17l\—\d—ic|=JQ2+J+J一看X£一看X■+看X=J,

DO丫Lzy。乙。乙D

T2T-*1->T-|T

'：CM=^CA,：.AM=jb,：E为4B的中点.：.AE=^a,

TTT11->T-->1->1-♦11—11

又EM=AM—AE=ib—5Q,=(Q—彳2?一亍。)•(—b-—Q)=工

3233326-I8

第13页共16页

2+12+12=-3,

乂扇|=J162-1x|+|a2=冬

.•.EM与平面ACQ所成角为0.

则sin6=|cos<m,EM>\=

V42

：.EM与平面ACD所成角的正弦值为〒.

20.（12分）甲、乙运动员进行乒乓球友谊赛，每场比赛采用5局3胜制（即有一运动员先

胜3局即获胜，比赛结束）.比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3：0或3：

1取胜的运动员积3分，负者积0分，以3：2取胜的运动员积2分，负者积1分，已知

1

甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为3

（1）甲、乙两人比赛1场后，求甲的积分x的概率分布列和数学期望；

（2）甲、乙两人比赛2场后，求两人积分相等的概率.

【解答】解：（1）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)=(1)3+c1x|x(|)2xR券，P(X=1)=4x(1)2x(|)2X|=挤

P(X=2)=废x(1)2x修)2x人条，P(X=3)==(1)3+cfx(1)2x|x|=1

二夕

・・・X的分布列为：

X0123

P161681

2781819

,数学期望£(X)=0xi|+lx1|+2x^-+3x|=|y

（2）记“甲、乙比赛两场后，两名运动员积分相等”为事件

设第i场甲、乙两名运动员积分分别为Xi,Yi,则X『=3-匕，i=l,2,

因两名运动员积分相等,

：.Xi+X2=Yi+Y2,

即Xi+X2=(3-Xi)+(3-X2),则XI+X2=3,

：.P(M)=尸(Xi=0)P(X2=3)+P(XI=1)P(X2=2)+P(XI=2)P(X2=l)+P

(XI=3)P(X2=0)

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_161168816116_1120

=27X9+81X81+81X81+9X27=6561'

21.（12分）已知椭圆E：各'=l（a>b>0）的右焦点为F、过F的直线与椭圆E交于

点A、B、当直线AB的方程为、=》一孝时，直线AB过椭圆的一个顶点.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）已知点”（或，0）,若求直线A8的斜率.

【解答】解：（1）因为过F的直线与椭圆E交于点A、B、当直线AB的方程为y=x-冬

时，直线AB过椭圆的一个顶点.

可得