2022年吉林省辽源市高考文科数学一模试卷及答案解析

2022年吉林省辽源市高考文科数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，下列各题，只有一项符合题意要求。

1.（5分）若集合A={x|y=log2（x-2）},-x-6W0},则ACB=（）

A.（-2,2]B.[-2,2]C.（2,3）D.（2,3]

2.（5分）下列函数中，值域为R且在区间（0,+8）上单调递增的是（）

A.y=/+2rB.y=2j+lC.y=j?+lD.y=（x-1）因

3.（5分）已知a=k）go.92,Z?=logo,90.7,c=0.709,贝Ua,b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

TTTTTTT

4.（5分）已知单位向量a与b的夹角为若xa+b与a垂直，则实数x的值为（）

,11「在V3

A.IRB.—弓C.—nD.—=-

2222

5.（5分）若抛物线）2=2px的焦点与双曲线/-丁=2的右焦点重合，则2的值为（）

A.-2B.2C.-4D.4

6.（5分）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的

上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地

投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）

7.（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著.书中

有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙

丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相

邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（）

A.乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱

B.乙分8两，丙分8两，丁分8两

C.乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱

D.乙分9两，丙分8两，丁分7两

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71

8.（5分）将函数y=sin（2x+6）的图象沿着x轴向左平移g个单位长度后，得到一个偶函

8

数，则6的一个可能取值为（）

A.B.-C.D.-

8844

9.（5分）已知。是△ABC所在平面内一点，且满足（品一&）・（加一石）=0,则△ABC

是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

10.（5分）已知等差数列其前〃项和为S”m>0,方程（入2+入+］）1_（A2+1）

=0的两根是“2012、42013，则满足S">0的"的最大正整数为（）

A.4023B.4024C.4025D.4026

x2y2,

11.（5分）已知双曲线C：———=1Z?>0）的左、右焦点分别为尸1，尸2，过F2

a2b2

的直线与双曲线C的右支交于M,N两点.若则双曲线C的离心率的取值

范围是（）

A.（1,V3）B.（1,V5）C.（1,3）D.（V5,3）

12.（5分）已知定义在R上的偶函数/（X）,其导函数为/（x）,若^（x）-2f（x）

>0,/（-2）=1,则不等式与V工的解集是（）

X24

A.（-2,2）B.（…，-2）U（2,+oo）

C.（-2,0）U（0,2）D.（-8,0）U（0,2）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

y<x

13.（5分）已知变量x、y满足的约束条件卜+yW1,则z=3x+2y的最大值为.

.y>-1

14.（5分）直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球。的球面上，若AB1AC,AB=2百，

AC=2乃，A4i=8,则球。的表面积为.

111

15.（5分）若正实数m人满足则一+工+—^的最小值为______.

aba+b

16.（5分）下列命题中：

①/?：VxGR,/+x+120；

②q：3x（）GR,sim（）cosx（）=2；

（3）r：VxG（-8,o）,ex>x+\；

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④6：“在△ABC中，若sinA>sinB,则A>8”的逆命题.

正确的是.（填写所有正确的序号）.

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,若（a+c）sinB-bsinC=y/3bcosA.

（1）求角4;

（2）若△ABC的面积为2百，a=4,求△ABC的周长.

18.（12分）已知等差数列｛即｝中，公差dWO,%=35,且。2,“5，an成等比数列.

（1）求数列｛的｝的通项公式；

1

（2）若7；为数列｛------｝的前〃项和，且存在点N*,使得〃-应5+120成立，求实

anan+l

数入的取值范围.

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCZ）中，底面ABC。是正方形，PQ_L平面ABCQ,PD

=AB=2,E、F分别为AB、PC的中点.

（1）证明：直线EF〃平面以。；

（2）求点8到平面EFC的距离.

20.（12分）已知函数/（%）=2cosx（sinx—V5cos%）+V5.

（1）若/（a）=且aG（驾，等），求cos2a；

（2）记函数f（x）在原，刍上的最大值为6,且在[an,bn]（a<t）上单调递增，求实

数。的最小值.

21.（12分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为尸1（一75,0）,且C经过点P（遍，1）.

（1）求C的方程；

（2）设C与y轴的正半轴交于点。，直线/：y=fcv+,"与C交于A、8两点（/不经过。

点），且证明：直线/经过定点，并求出该定点的坐标.

22.（12分）设函数/（X）=lnx+^,m&R.

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(1)当m=1时，求函数/(x)的极值;

(2)若函数g(x)=/(x)一卷有两个零点，求实数机取值范围;

若对任意的心心。，等詈VI恒成立，求实数”的取值范围.

(3)

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2022年吉林省辽源市高考文科数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，下列各题，只有一项符合题意要求。

1.（5分）若集合4={xly=k）g2（x-2）},B={x\^-x-6^0},则AA8=（）

A.（-2,2]B.[-2,2]C.（2,3）D.（2,3]

【解答】解：VA={xb>=log2（x-2）}=（2,+8）,8={4?-x-6W0}=[-2,3],

.,.AAB=（2,3].

故选：D.

2.（5分）下列函数中，值域为R且在区间（0,+8）上单调递增的是（）

A.y=/+2xB.y=2x+lC.y=x3+lD.y=（x-1）|x|

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,y—j?+2x—（x+1）2-1.其值域为[-1,+°°）,不符合题意；

对于B,丫=2.，其值域为（0,+8）,不符合题意；

对于C,y=?+L值域为R且在区间（0,+8）上单调递增，符合题意；

%2—X.X>0I

,一，在区间（0,-）上为减函数，不符合题意;

{-x2+x,x<02

故选：C.

3.（5分）已知a=k）go.92,t=logo,90.7,c=0.709,则a,b,c的大小关系是（）

A.a<h<cB.h<a<cC.a<c<bD.c<a<h

【解答】解：Vlogo,92<logo,91=0,：.a<0,

Vlogo.90.7>logo,90.9=1,：.b>\,

V0<0.7°-9<0.7°=l,/.0<C<L

•\a<c<b,

故选：C.

TT7TTTT

4.（5分）已知单位向量a与b的夹角为三，若xa+b与a垂直，则实数冗的值为（）

11V373

A.-B.-4C.—D.一苧

2222

【解答】解：根据题意，单位向量友与b的夹角为三，则彘b=1X1Xcos===,

332

若xa+b与&垂直，贝ij+b）・Q=工滔+益8=x+^=。,

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解可得X=-1；

故选：B.

5.（5分）若抛物线V=2px的焦点与双曲线，-『=2的右焦点重合，则p的值为（）

A.-2B.2C.-4D.4

【解答】解「•双曲线的标准形式为：--^-=1

.•./=y=2,可得c=〃2+炉=2,双曲线的右焦点为F（2,0）

:抛物线）2=2*（/?>0）的焦点与双曲线/-/=2的右焦点重合，

=2,可得p=4

故选：D.

6.（5分）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的

上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地

投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）

uD.1——12

【解答】解：由题意，正方形的面积为22=4.圆的面积为1T.

所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1-%

故选：A.

7.（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著.书中

有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙

丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相

邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（）

A.乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱

B.乙分8两，丙分8两，丁分8两

C.乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱

D.乙分9两，丙分8两，丁分7两

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【解答】解：由题意得，甲乙丙丁所得钱数成等差数列

则。1=10.4,45=5.6,

则4d=5.6-10.4=-4.8,

所以d=-1.2,

历?以42=ai+d=9.2,。2="1+24=8,43="1+3。/=6.8.

故选：C.

7T

8.（5分）将函数y=sin（2x+8）的图象沿着x轴向左平移「个单位长度后，得到一个偶函

数，则8的一个可能取值为（）

777TJTTC

A.一号B.一C.―一D.-

8844

n

【解答】解：将函数y=sin⑵+3）的图象沿着工轴向左平移9个单位长度后，

可得：y=sin[2（X+1）+6]=sin（2¥+今+6）,

得到一个偶函数，即Y+8=%r+*（髭Z）,

当％=0时，3=%

71

8的一个可能取值为一.

4

故选：D.

9.（5分）已知。是△ABC所在平面内一点，且满足（辰1—人）•（访一而）=0,则AABC

是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

【解答】解：：（品一21）«加一疝））=0,

/.^BC+AOBA=0,即-（CB+M）-BA=0.

取A8的中点为E,

则ICE'BA=0,

：.CE±AB,E为AB的中点,

.♦.△ABC为等腰三角形.

故选：A.

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10.(5分)已知等差数列｛〃〃｝,其前〃项和为5〃，611>0,方程X2-(A2+A+l)X-(A2+l)

=0的两根是〃2012、〃2013，则满足S”>0的〃的最大正整数为()

A.4023B.4024C.4025D.4026

【解答】解：因为等差数列｛斯｝中，0>0,方程7-(A2+A+l)X-(A2+l)=0的两根

是42012、42013，

所以〃2012+。2013=入2+入+1>0，。2012・。2013=一(入?+1)<0,

所以。2012>0，。2013V0，。2012+。2013>0，

则§4024=2012(Q1+Q4024)=2012(4/2012+^2013)>0,$4025=4025(」)+。4025),=402542013

<0,

满足Sn>0的n的最大正整数九=4024.

故选：B.

X2V2

11.(5分)已知双曲线C：—--=1(67>O,h>0)的左、右焦点分别为F1，尸2，过尸2

azb2

的直线与双曲线C的右支交于M,N两点.若则双曲线C的离心率的取值

范围是()

A.(1,V3)B.(1,V5)C.(1,3)D.(V5,3)

【解答】解：设尸s,由双曲线的定义，可得|MFi|=s+2a,

由|MN|=|MQ|,可得WF2|=|MV|-\MF2\=2a,

由双曲线的定义，可得|NQ|=2a+|NF2l=4a,

222f2

-4-AKir,cf/c.K,r16a+4a—4c51

在△NQ772中，COSZF1NF2=---5—:~5----=7—7,—

则eV、/l又e>l,

所以l<e<V5,

故选：B.

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12.(5分)已知定义在R上的偶函数f(x),其导函数为/(X),若^(x)-2f(%)

>0,/(-2)=1,则不等式*V-的解集是()

*4

A.(-2,2)B.(…，-2)U(2,+8)

C.(-2,0)U(0,2)D.(…，o)u(0,2)

【解答】解：令g(x)=写，则g'(x)=N[(x);2xf(x)=x[(x),2/(x),

因为城(x)-2f(x)>0,

所以，当x>0时，，g'(x)>0,即g(x)在区间(0,+8)单调递增；

又/(x)是R上的偶函数，

所以g(x)=等是(-8,0)U(0,+8)上的偶函数，

又/⑵=/•(-2)=1；

故且⑵二筝小

于是，不等式△当V工化为g(x)<g(2),

4

故仇|V2,

解得-2<x<2,又x#0,

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

y<x

13.(5分)已知变量x、y满足的约束条件卜+yW1,则z=3x+2v的最大值为4.

y>-1

【解答】解：由z=3x+2y得y=—江+参

作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)：

平移直线y=+5由图象可知当直线y=-获+5经过点C时，直线y=-鼠+冬的

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截距最大，

此时Z也最大,

由得1；二即52,-1)

将C(2,-1)代入目标函数z=3x+2y,

得z=6-2—4.

故答案为：4.

14.(5分)直三棱柱ABC-AiBiCi的6个顶点都在球。的球面上，若ABLAC,AB=2^3,

AC=2乃，A4i=8,则球0的表面积为IOOTT.

【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，

题意得知直三棱柱ABC-AyB\C\的6个顶点都在球0的球面上，则三棱柱为球。的内

接直三

棱柱(如图所示)；由勾股定理可知

BC=J(2g)2+(2通尸=6,

可得球。的半径R=OB=1V62+82=5,

由公式^二由次2有球的表面积S=4HX52=100n.

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故答案为：100n.

1115

15.(5分)若正实数〃，满足加?=1,则一+1+—^的最小值为-.

aba+b-2—

【解答】解：因为正实数。，人满足必=1,

则〃+/?22,

令t=a+b,

则/⑺=什控［2,+8)上单调递增，/(/)>|,

111a+b115rli1—°，人，5

则一+1+Z~厂+Z=a+^+77T7；-亍即一+1+^的最小值为：；•

aba+baba+ba+b2aba+b2

故答案为：f.

2

16.(5分)下列命题中：

①p：VxGR,/+X+1》0；

②q：3XO€R>siorocosxo—2；

③r：VxG(-8,o),ex>x+\；

④s：“在△ABC中，若sin4>sin8,则A>B”的逆命题.

正确的是①③④.(填写所有正确的序号).

【解答】解：①,.,，+x+l=(x+；),+,乂)，故正确；

②：sinxco&x=%n2xe'；］,故错误;

③令/(x)—ex-x-i(x<0),

则/(x)=/-1<0,

所以『(x)在(-8,o)单调递减，

又因为/(0)=0,

所以fG)>0,即，>x+l,故正确；

④“在△ABC中，若sinA>sin8,则A>8”的逆命题为：“在△ABC中，若A>8,则sinA

>sin8"，由正弦定理可知为真命题，故正确；

故答案为：①③④.

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(10分)在△ABC中，角A、8、C的对边分别是a、b、c,若(a+c'jsinB-bsinC=yf3bcosA.

(1)求角4；

(2)若△ABC的面积为2V5,a=4,求△ABC的周长.

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【解答】解：(1)由正弦定理，知一二=一二=一£二，

sinAsinBsinC

(a+c)sinB—bsinC=V3bcosA,

/.(^sinA+sinC)sinB—sinBsinC=yJSsinBcosA,

化简得，sinAsinB=V3sinBcosA,

VsinB^O,

tanA=V3,

・・・A是△ABC的内角，

AA=60°.

(2);△ABC的面积为2V5,

bcsinA=2^3,

2

由⑴知A=60°，:.bc=8,

由余弦定理得，a2=b2+c1-2/?CCOSA=/?2+C2-be=(b+c)2-3/?c,

:.(b+c)2-24=16,即b+c=2VIU,

・•・/\ABC的周长为4+2V10.

18.(12分)已知等差数列｛a卸中,公差dWO,S7=35,且◎好mi成等比数列.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

1

(2)若〃为数歹U｛----------｝的前〃项和，且存在“WN*,使得7；?-福〃+120成立，求实

anan+l

数人的取值范围.

，7x6

【解答】解:⑴由题意可得：‘a】+~d=35,dWO,化为色:3d=5,

(ai+4d)2=(ai+d)(ai+10d)(za=%

解峭二；，

・・Cln~~2+(〃-1)=71+1.

1111

(2)-----------------------------------------------

一anan+1(n+l)(n+2)n+1n+2'

"Tn=弓_3+《_》+…+(备一击)=±一击.

1]

不等式7)1-Aa”+1>0,即——----A(n+2)20.化为：A<-y.

2n+22(n+2)

V——^――=-------4<——­7=~当且仅当〃=2时取等号.

2(n+2)22(n+》4)2x(2<4+4)16

,:存在〃6N*,使得Tn--"+1>0成立，

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.•.实数人的取值范围是（—8,春］.

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8CO是正方形，PD_L平面ABC。，PD

=AB=2,E、尸分别为A8、PC的中点.

（1）证明：直线所〃平面必。；

（2）求点B到平面EFC的距离.

【解答】解：（1）证明：取PD的中点G,连结fG,AG,

1

•.•/为PC的中点，J.FG//CD,1.FG=|CD,

i

：4£：〃8,且4£：=今。，

四边形AEFG为平行四边形，，EF〃AG,

平面％。，AGu平面用。，〃平面BAD

(2)底面ABC。，/为PC的中点，

二点F到平面BCE的距离为］PD=1,

11

:S^BCE=2xBExBC=2x1x2=1,

.ill

**•^F-BCE=3,d=wXlXl=w，

'：EC=V5,EF=AG=V5,FC=V2,S„EFC=1xV2x

设B到平面EFC的距离为d,

i12

则VF-BCE=VB-EFC=可xS^EFCXd=可解得d=可，

2

・・.点B到平面EFC的距离为；.

3

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p

(1)若f(a)=±,且(普，竽)，求cos2a；

(2)记函数f(x)在单刍上的最大值为。且在M，bn]Ca<b)上单调递增，求实

数。的最小值.

【解答】解：(1)/(x)=2cosx(sinx—V3cosx)+V3=sin2x—V3cos2x=2sin(2x-亨),

■:f(a)=

JL

rr]

/.2sin(2a—9)=],

/.sin(2a—5)=\

04

..「,5〃2TT、

・aw(诵，9丁

54

.*.2aGl^rr,「r],

・・・2a一1畤n],

・“c兀、回

..cos(2a—g)=—^―,

7T7T7T九7T兀

/.cos2a=cos(2a—9+可)=cos(2a—可)cos——sin(2a—j)sin-

>/1511/3回+乃

=~~X2-4XT=8-

(2),•*x6[^9月,

•♦②弋吟飙

当2x—=鄂寸，f(X)max=2=b,

:・b=2,

由一号+2ATT〈2X—当工与+2匕T得，+Ki这xW+内1,

L3Z121Z

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TC5

：.f(x)的单调递增区间是，［石+Kr,—zr+hr］,kez

•函数/(%)在［on,2nJ(〃V2)上单调递增，

，力、1317…n5

.,.2=1时增区间是，［—n,—nJ,%=0时增区间是［—，—TTJ,

12121212

1Q

则Cl>豆，

...实数。的最小值是兰

12

21.(12分)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为Fi(一g，0),且C经过点P(百，1).

(1)求C的方程；

(2)设C与)，轴的正半轴交于点。，直线/：y=fcr+w与C交于A、8两点(/不经过。

点)，且AO_LBD证明：直线/经过定点，并求出该定点的坐标.

【解答】⑴解：由题意，设椭圆C：各咚=Ma〉b>0),焦距为2c,

则c=B，椭圆的另一个焦点为尸2(,，0),

71

由椭圆定义得2Q=|PFi|+\PF2\=；+*=4,则a=2,

*.b=yja2-c2=1,

第2

**.C的方程丁+y2=1；

4

(2)证明：由已知得。(0,1),

y=