2023福建版数学中考复习题-二次函数

2023福建版数学中考

第三章变量与函数

3.4二次函数

基础练

考点1二次函数的概念、图象与性质

1.(2022福州一检，掇)下列y关于x的函数中，是二次函数的是(A)

2

A.y=5A2B.y=2-2x

C.y=2解-32+1D.片妥

解析二次函数的一般形式为片aM+bx+Ga/OTa,。。为常数，可得A正确，故选A.

2.(2022厦门一检，燧如图是抛物线片拟2+6x+c的示意图，则a的值可以是(A)

k

A.1B.OC.-lD.-2

解析由题图可知，抛物线开口向上，所以a>0,故选A.

3.(2022莆田一检，播)下列各点中，在二次函数片-解的图象上的是(A)

A.(l,-DB.(2,-2)

C.(3,-3)D.(4,-4)

解析当x=l时，片-〃=-L

当x=2时，片-〃=-4,

当x=3时，片-〃=-9,

当x=4时，片

所以点(L-1)在二次函数片的图象上，故选A.

4.(2022厦门一检，镇)抛物线y=a^+bx+c的对称轴是(D)

f\.x=-B.x=~

aa

C.x=—D.x=--

2a2a

解析抛物线片a*+6x+c的对称轴为直线x=/

5.(2022漳州一检，播)抛物线片区通过平移，得到抛物线片区+1,则该平移方式正确的是(A)

A.向上平移1个单位

B.向下平移1个单位

C.向左平移1个单位

D.向右平移1个单位

解析抛物线片/向上平移1个单位即可得到抛物线片必+L故选A.

6.(2022三明一检，幽将二次函数片解-4x+3通过配方可化为片a(x-/?)2+Z的形式，结果为

(A)

A.y=(%-2)2-lB.%(x-2)2+3

C.y=(x+2)2+3D.%(x+2)2-l

解析片解-4x+3=*-4x+4-l=(x-2)2-l.故选A.

7.(2022莆田二检，幽写出一个满足”当)c>2时7随x增大而减小"的二次函数解析式:

片-解(答案不唯一).

解析写出的二次函数满足G2时/随x增大而减小，说明该二次函数的图象开口向下，即a<0,

且对称轴x=/?在直线x=2左侧，即/?<2,符合这两个条件的二次函数均正确.

8.(2022莆田一检，僚)抛物线片解+6X+/77与x轴只有一个公共点，则用的值为

解析・抛物线片解+6*+/77与X轴只有一个公共点，

.'.d=Z?2-4ac=62-4/77=0,

解得/77=9.

9.(2022南平一检，幽抛物线*/与直线片6x+c的两个交点坐标分别为4-4,8)£2,2),则

关于x的方程a*-bx-c=0的解为所=-4,放=2.

解析求方程a兄-bx-c=0的解可看成函数片初2与y=bx+c图象的交点问题.函数图象的交

点的横坐标就是方程的解.

10.(2022莆田一检，熠一抛物线以(-1,9)为顶点，且经过x轴上一点(-4,0),求该抛物线解析式及

抛物线与p轴的交点坐标.

解析设抛物线解析式为j/=Kx-/;)2+&awO),

由题意知h=-1,k=9,

将(-4,0)代入片式x+邛+9,

得0=9a+9,解得a=-l,

.•.抛物线解析式为y=-(x+l)2+9.令x=0,则片8〃•.抛物线与p轴的交点坐标为(0,8).

11.(2022莆田一检，幽抛物线片aM+2x+c与x轴交于点/(-2,0)和点以6,0),与p轴交于点

C.

(1)求抛物线的解析式及点U的坐标.

(2)将抛物线片西+2*+右右移5个单位，下移自个单位得到新抛物线/当自变量x在3<y<9

的范围内时，求p的最小值.

⑶在x轴正半轴上有一动点汽/77,0),过点£作直线/lx轴，交抛物线片ag+2x+c于点月交抛

物线y于点Q若△0Q的面积为20,求加的值.

解析⑴把点420)和点仇6,0)代入片a/+2x+G

—4+c=0,

a+12+c=0f

<解得卜=/

1c=6,

二.抛物线的解析式为

片-评+2x+6.

,・・点「是抛物线片―/+2x+6与p轴的交点，

.・•点。的坐标为(0,6).

⑵片-评+2x+6化为顶点式是片卡片2)2+8,

将该抛物线右移5个单位，下移手个单位后，得抛物线y'=E(x-7)2+1,

―04/~~\9x

如图，在3*9的范围内,m3时.最小值，令7,则八十(3-7咒=费

:.y的最小值为

(3)由题意知户点坐标为(m,—[m2+2m+6),

Q点坐标为(m,—+7m—24),

・•/Q的长度为卜5〃7+30|.

・・・△CPQ的面积为20,

.-.ix/77x|-5/77+30|=20,

:.m的值为2或4或3+g.

考点2二次函数的综合应用

12.(2022厦门一检，小)某种爆竹被点燃后升空，并在最高处燃爆.该爆竹被点燃后离地高度

/X单位:m)关于离地时间*单位:s)的函数解析式是力=20广-5犬,其中子的取值范围是(B)

A.f>0B.0<f<2

C.2<f<4D.0<f<4

解析力=20£5犬=-5①2)2+20,

；-5<0,.,.抛物线开口向下，

・・・当t=2时力取得最大值，

抛物线的顶点即为爆竹的燃爆点.

."的取值范围为0«区2.故选B.

13.(2022福州一检，村汽车刹车后行驶的距离4单位:m)关于行驶的时间”单位:s)的函数解析

式是5=3犬+6t当抬时,5=6；当f=l时,5=9.

(1)求该函数的解析式；

(2)请结合平面直角坐标系中给出的点，画出符合题意的函数图象，并写出汽车刹车后到停下来

前进了多远.

12「(m)

9------.

6■—f:

3-：；

~0'i'153'2'5/(S)

2422

解析⑴••・当与时,s=6,

当片1时,5=9,

4+26,解得二

Q+b=9,

」•该函数的解析式是s=~6©+15t

⑵

该函数的图象如图所示.

汽车刹车后到停下来前进了Vm.

14.(2022南平一检，的已知抛物线片解-2ax+浜+2a-3,直线hy=x+a.

(1)记抛物线的顶点为N(p，G求g关于夕的函数关系式；

(2)设直线/与抛物线相交于点4氏在点48之间的抛物线上有一动点门求△以8的面积的最大

值.

解析(1)\六解-2ax+邛+2a-3

=(x-a)2+2a-3,

二.抛物线的顶点坐标为(a,2a-3),

•••抛物线的顶点为N[p,q),

:.q=2p-'i.

(2)解法一:如图，过点"作„*轴，交28于点M.

,・・直线/与抛物线相交于点A,B,

联立解析式，

(y=x+a,

'=x2—2ax+a2+2a—3,

.,.A2-(2a+l)x+a2+a-3=0,

.・./=[-(2a+l)]2-4(/+a-3)=13,

根据求根公式得

2a+l-\fl3

^A~~/

2a+l+V13

XB=~/

---|A^-XZI|=V13,

:.S^PAB=^PM•

=—PM.

2

.7?A^=j6vryp=-A2+(2a+l)x-a2-a+3="(x

••PM最大俵二？，

4

.・.△Q48的面积的最大值=当、?=等.

解法二:如图，平移直线/得到直线A,

当直线4与抛物线有唯一公共点时,Su/8的值最大.

设直线K'.y=x+m,

(y=x+m,

J(y=x2—2ax+a2+2a—3,

二.4-(2a+l)x+4+2a-/77-3=0,

/=[-(23+1)]2-4(矛+23-疗3)=0,整理得m^a~,

，直线h'.y=x+a-^.

设直线4交x轴于点C直线/交x轴于点。则有6(-a+^,0),ZX-a,0),

.\CD=-,

4

•・・直线/与抛物线相交于点力、B,

联立解析式，

xa

r(y=+>

7(y=x2—2ax+a2+2a—3,

.,.^-(25+1)%+^+5-3=0,

■'\XB-X/\=7(XA+XBy-4XAXB

=V13.

在直线片x+a上，

■\yB-yA=\xB-x^=y[\3,

-,'S^PAB=S^CAB=\CD,|加以|=2*,

2.o

・•・△848的面积的最大值是生亘.

8

15.(2022宁德一检，播)已知抛物线GL：片-解+2/77X+6和仿:%-解+2/7*+双〃>/77)相交于点

4过点Z的直线/片版+6与抛物线Gi交于另一点氏与抛物线仿交于另一点C抛物线Gi的

顶点为点M抛物线仿的顶点为点N.

(1)直接写出顶点例的坐标;(用含777的式子表示)

(2)当/77=-3,〃=2,且直线/〃*轴时，求证

⑶当k钝时，若/8=/C求直线/的表达式.(用含m,n的式子表示)

解析(1)顶点用的坐标是(力加+)).

(2)证明:连接BM,AN,MN国略)

"：m=-3,n=2,

二.抛物线GL,&的表达式分别是片-〃-6*3/=-〃+4%+2.

顶点例/V的坐标分别为(-3,6),(2,6).

(_1

解仁T；谭一：得

2

(y=-x+4%+2,v=_1

V4，

.,.点A的坐标为(一；，-：).

•・・直线/〃x轴,点48在直线/上，

.,.点8的纵坐标为-士

4

将片一代入片-〃-6x-3,

得-庐6x-3=±

4

解得为=一(舍)，及=£

・・•点8的坐标为(一£,一》.

...28=一一(一£)=5.

■:M、/V的坐标分别为(-3,6),(2,6),

:.MNHX轴,MN=5.

:.MNHAB,MN=AB.

..・四边形/8/I4/V是平行四边形.

:.MB=NA.

(3)由片-A2+2/77X+/77得片-/+/77(2x+1),

.・.抛物线G过定点(W，-》

同理,抛物线仿过定点(一发一)

・・•点A是抛物线GL和5的交点,

点A的坐标为(一3,—[).

•.・抛物线GL,&的开口大小、方向均相同，

，抛物线仿可以看成由抛物线Gi沿射方向平移得到.

。三点在同一条直线上，

.•・抛物线GL上的点8/在抛物线&上的对应点分别是4c

.••由平移性质可得MNHBC.

设直线例/V的关系式为y=kix+ZZL.

,.・顶点例/V的坐标分别为(777,/7T2+/77),(77,/T2+〃)，

2

.(m+m=kxm4-瓦，

2

In+n=k^n+blt

解得ki=m+n+l,

.'-kBC=k1=m+n+X.

，「点/(—一在直线hy=kx+b上,

.•.-i=(/7?+n+1)x(-J)+

直线/的表达式为

片(Z77+77+l)X+^^+1.

提分练

考点1二次函数的概念、图象与性质

1.(2022南平一检，镇)二次函数片后2x+3的对称轴是(C)

A.x=-2Q.x=-1

C.x=lD.x=2

解析将二次函数化成顶点式片(x-l)2+2即可得到对称轴，故选C.

2.(2022宁德一检，播)关于二次函数片(x-1)2-2,下列说法正确的是(D)

A.有最大值1B.有最小值-1

C.有最大值2D.有最小值-2

解析由函数的性质及顶点式,可知抛物线开口向上，顶点为（1,-2）,故函数有最小值-2,故选D.

3.（2022南平一检，的在平面直角坐标系中,抛物线片2层保持不动，将x轴向上平移1个单位

①轴不动）,则在新坐标系下抛物线的解析式是（B）

A.%2A2+1B.y=2x^-1

C.y=2（x-1）2D.y=2（x+1）2

解析将x轴向上平移1个单位（7轴不动），相当于抛物线片2/向下平移1个单位，利用抛物

线的平移变化规律:左加右减，上加下减，即可得结论.故选B.

4.（2022福州一检，镇）二次函数片〃+（a+2）x+a的图象与x轴交点的情况是（C）

A.没有交点

B.有一个交点

C.有两个不同的交点

D.与a的值有关

解析/=（a+2）2-4a

=a2+4a+4-4a

=<32+4>0,

.•.二次函数图象与X轴有两个不同的交点.

5.（2022三明一检，中曾若点4L川£2,川,㈤在抛物线片左什1）2+4界0）上，且

"</<小,则用的值不可能是（C）

A.5B.3

C.-3D.-5

解析抛物线片Kx+l)2+Ga#0)的对称轴为直线x=-l,

点力(1%),8(2,g),。力㈤在抛物线片Kx+l)2+c上，且yi<yz<yi,

若a<0,则在对称轴的右侧y随x的增大而减小，点48都在对称轴右侧，而分,<妆,所以这种情

况不成立；

若3>0,则|/77+1|>|2+1|=3,解得/77<-4或/77>2,故777的值不可能是-3.故选C.

6.(2022漳州三检，播)在平面直角坐标系中，已知点(1,6),(3,〃)在抛物线片上，且

/77〃<0.设f的值可以是(C)

2a

D-l

解析'：y=ax^+bx=x{ax+b),

•・・抛物线与*轴交于(0,0)和(一，o).

・.•/77/7<0,且点(1,/77),(3,〃)在抛物线上,

-匕二1b3

即*1.故选c.

解题关键

由mn<0可知抛物线上(Lm),(3,〃)两点之间部分必与x轴有交点，故1<-^<3.

7.(2022漳州二检，僚)关于x的一元二次方程a(x+2)(x-l)+6=0(a<0,6>0)的解为用,迎且

则下列结论正确的是(D)

A.-2<AI<A5<1B.-2<XI<1<X2

C.XI<-2<X2<1D.XI<-2<1<X2

解析解法一:将方程变形为

(x+2)(x-i)=q，

a

令刃=(x+2)(Hl)〃=q,

画出图象,如图.

故选D.

解法二:将方程变形为a(x+2)(x-l)=-6,

令yi=a[x+2)(%-l),y2=-b.

1.a<0,b>0,

:.yi图象开口向下,-Z?<0,

画出图象,如图.

故选D.

解法三:令y\=a(x+2)(x-l),

/=a(x+2)(x-l)+6.

,.a<0,/?>0,

..必，放图象开口向下，

yi图象向上平移6个单位变成女图象,

画出图象,如图.

故选D.

8.（2022福州一检,#）已知点4xi,川,电⑵川，。电⑹均在抛物线片《N+ax+c上，其中

6

刃二|a+c下列说法正确的是（D）

A.若仇-阅引后-对，则yz>yi>y}.

B.若伙-阑N%-及则yz>yi>yi

C.若%必则阅<|至-刈

D.若/必则区-阅>|放-刈

解析・抛物线的解析式为片--A2+ax+c,

6

抛物线对称轴为直线

-.■^0,.-.~X^+X2=l，

oz

.•.A5=3,.'.^3,|a+c）为抛物线的顶点.

当a>0时，抛物线上的点离对称轴越远,函数值越大;

当a<0时，抛物线上的点离对称轴越远,函数值越小.

若优-及区|的-刈，则点/离对称轴较近，点U离对称轴较远，当a>0时以故A选项错;

同理可知B选项错；

若乃》放，则3>0且点A离对称轴较远，故C选项错,D选项正确.故选D.

9.(2022福州二检，幽将抛物线片〃沿直线片3x方向平移VI5个单位长度，若平移后抛物线

的顶点在第一象限,则平移后抛物线的解析式是片(x-l)2+3.

解析由题可作出草图,如图：

设平移后顶点4%3及

则OB-x.AB-'ix,

由题知O4=A/10,

.-.A2+(3A)2=(VT0)2,

...AI=L及=-1(舍去》

••.Al,3),

.♦•平移后抛物线的解析式为尸(H1)2+3.

10.(2022宁德一检，小)已知二次函数片a解+6*+«»0)的图象经过点(-2必),(/77-3,〃),

(-1,0),(3〃),(7-%〃).则下列四个结论。必＞女653+仁0e方程a^+bx+c=0的解为

质=-1,放=5;④对于任意实数力总有其中正确结论是①②③(填写序号).

解析，.加〉。,.,.抛物线片aM+Z?x+c开口向上，

・抛物线片a*+bx+c过点(777-3,〃),(7-m,ri),

・••对称轴为直线x=m-3+7-m=2,即上=2.，6=-4a,

22a

,・・抛物线片d*+6x+u过(-1,0)/

:、a-b+6^0..二？(-43)+c=0,即5d+故②正确.

:.c=-Sa,

二二次函数为y=ax1-Aax-5a=a[x-2Y-^a.

图象大致如下：

由图象可知力>/，故①正确.

•.・抛物线对称轴为直线x=2,抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),

・•・由对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为(5,0),

，方程a>^+bx+c=Q的解为M=-1,*=5,故③正确.

•抛物线开口向上，顶点为(2,-9a),

・••对任意实数力总有仑-9a,故④错误.

综上,正确答案为①②③.

11.(2022漳州一检，的已知抛物线片a*-2ax+«a>0)与x轴交于点(2,0).

Q)求抛物线的对称轴及c的值.

(2)若该抛物线与直线y=x-2只有一个公共点.

①求抛物线的解析式；

②若点仇检女)在该抛物线上，当m-l<xi<m,m+l<X2<m+2时,均满足力求m的

取值范围.

解析(1)二・抛物线片a*-2ax+c与x轴交于点(2,0),

:.Q=Aa-Aa+c..,.c=Q.

:.y=ax^-2ax=a(x-Y)2-a.

••・抛物线的对称轴为直线x=l.

(2)①把片x-2代入片/々叫得^-(25+l)x+2=0,

■.・抛物线与直线片*2只有一个公共点，

.../=0,即(2a+l)2-8a=0,

解得a=~.

2

二.抛物线的解析式为y=^-x.

②分三种情况：

(i)当m<l时,需满足x=m+2的函数值小于x=m的函数值.

.,.1(/77+2)2-(/77+2)<|Z772-/77,

解得/77<0.

(ii)当777=1时,04XISL2WEW3,此时若Ai=o,歪=2,则％,=%,不合题意,舍去.

(iii)当/7?>1时,需满足x=m-l的函数值小于x=m+X的函数值.

.弓(/77-1)2-(/77-1)<3/77+1)2-(/77+1),解得m>l.

综上所述，当/77<0或m>l时，

对于/77-lSAiS/77,/77+lW放S/77+2,均满足

考点2二次函数的综合应用

12.(原创题，幽已知抛物线片a%+2x+c过3AlM，e(迎为，且xi是关于x的方程ax+l=0

的解，下列命题错误的是(D)

A.若为=1,则存在及使得yi>yi

B.若质=1,则任意至都有yi>yi

c.若放=1,则存在总使得yi>y2

D.若至=1,则任意总都有yi>y2

解析若用二1,

则a+l=O,解得a=-l.

.•片-A2+2x+-（*1）2+1+G

.•.抛物线的对称轴为直线x=L顶点坐标为（Ai,>i）,

.,.对于任意此都有yi>y2.

故A、B中命题正确.

若至=1,则抛物线的对称轴为直线!

①当a>0时广;<0,（用_丛）为抛物线的顶点,如图.

由图可知，女〉女.

②当a<0时厂:>0,（用必）为抛物线的顶点,如图.

由图可知,外2刃.

综上所述，当a>0时，/>外,当<3<0时/LN/.故C中命题正确,D中命题错误.

13.（2022湖北武汉中考，小）已知抛物线片a解+6x+Ga,6,c是常数）开口向下，过

4-L0）,仇刃0）两点，且1<m<2.下列四个结论：

①6>0；

②若m=|,则3a+2c<0;

③若点Mm必）,M迎刃在抛物线上,用＜也且xi+^＞L则/＞女；

④当a＜-l时，关于x的一元二次方程ax^+bx+c=l必有两个不相等的实数根.

其中正确的是①③④（填写序号）.

解析•.・抛物线开口向下,.,曰＜（）.

••・抛物线过4-1,0),仇力0)两点，且l<m<2,

.•.对称轴在y轴右侧，即q>0.

又...^〈。，.,./^。，故①正确.

:点、/(-1,0)在抛物线上,，a-6+c=0.

3

3b-1+mT+弓1

——=-=——

22a224

=

-b~3r'.3-(—：a)+c=0,

整理得3a+2c0,故②错误.

yi-y2=axl+bxi+c-{axl+bx2+(^

=3(好-螃)+优为-加)

={Xl-X2}[a{Xi+X2]+b\.

,「-1,6是一元二次方程ax1+bx+c=Q的两个根,

:.-l+m=--,'：l<m<2

al

...0<上<1,又；<3<0,，3+6<0.

a

,.Xi+X2>l,.'-3(X1+X2)<a,

:.a[xi+X2)+b<a+b<0.

,.^Ai<A^.,.Ai-垃<0..,.>i-刃>0,.^.>l>/,故③正确.

,:-l+m=~,:.b=a(l-rn).

a

,：a-b+c=0,「.a-aQ-/77)+c=0,解得c^-am.

.•.抛物线片a区+bx+c与直线片1有两个交点.

.•.当a<-l时，关于x的一元二次方程a^+bx+c=l必有两个不相等的实数根，故④正确.

综上，正确的是①③④.

难点突破

本题主要考查二次函数的图象与性质及转化和消元的思想.对于②,要判断3a+2c<0是否

正确，首先求出6与a的数量关系，然后结合a-b+c=O消去b可得出3a+2c0;对于③，要判断

次与女的大小关系，可使用作差法，把刃-/与M+的联系起来;对于④，关于x的一元二次方程

a^+bx+c=l有两个不相等的实数根问题，可转化为抛物线片a*+6x+c与直线y=l有两个

交点问题.

14.（2022安徽中考，冰）如图1,隧道截面由抛物线的一部分力。和矩形力8。构成，矩形的一

边BC为12米,另一边为2米.以8C所在的直线为x轴，线段8U的垂直平分线为y轴，建立

平面直角坐标系X。规定一个单位长度代表1米,口0,8）是抛物线的顶点.

Q）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）在隧道截面内（含边界）修建"

m

”型或”

”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点凡丹在x轴上,例/V与矩形凸?丹见的一边平行且相

等，栅栏总长/为图中粗线段吊号外氏自丹,/14/V长度之和，请解决以下问题：

（i）修建一个"

m

”型栅栏，如图2,点闩，乌在抛物线上.设点凸的横坐标为/77（0<646）,求栅栏总长/与m

之间的函数表达式和/的最大值；

（ii）现修建一个总长为18米的栅栏,有如图3所示的”

m

”型和“

”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形a乃丹总面积的最大值，及取最大值

时点吊的横坐标的取值范围（凡在自右侧）.

图3（方案一）图3（方案二）

解析Q）依题意可设抛物线的函数表达式为片女+8.

由题意知4-6,2）,将4-6,2）代入片a/+8,

得2=363+8.

.__1

--a——.

6

.,.抛物线对应的函数表达式为片二#+8.

6

(2)(i)由题意知^(/77,0),^(m,-|m2+8),

由抛物线的对称性可得自(一犯一37n2+8),凡(-a0),

:.PiP2=--rh1+?>P2P3=2m

6ll

：.1=?>PiPz+PiPi

=3(-*2+8)+2/77

=--/772+2/77+24

2

=-如-2)2+26.

1.'-|<0,0</77<6,

.•.当m=2时,/存在最大值，最大值为26.

(ii)设弓凡=〃,凸的横坐标为b.

选择方案一：

・・・栅栏总长为18米，

.•臼丽等=6』

，S矩形P1P2P3/="(6-

=--fi2+6n

3

=+("-9)2+27.

•.3<0,80=12>9,

.,.当77=9时,S矩形P[P2P3P4有最大值，最大值为27,

此时巧乃=6「=3,即此的纵坐标为3,

==

.y~)^+83l

解得用=闻"=-闻.

•.•月.的横坐标为,典的横坐标为b~9.

,f-V30<b<V30,

1-V30<b-9<V30,

解得-同+9“S同.

选择方案二：

•.■栅栏总长为18米，

•，S矩形P]p2P3P4=爪'-

=-加+9〃

二当时，S矩形有最大值，最大值为学

此时乌丹=9-/7==即闩的纵坐标为2,

22

.•.片3A2+8=:

解得Ai=vn,A5=-vn.

;巧的横坐标为力的横坐标为吟

(-V21<b<V21,

-j-vn<b-1<V21,

MVHZVH

^-+-2<?<.

15.(2022漳州三检，婚)已知抛物线片勃2+6x+c关于y轴对称，且过点(L3和点(2,1).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点"-1,⑼和点双m-1,功在抛物线上，试比较夕。的大小；

(3)过点尺0,1)作与p轴不垂直的直线交抛物线于点力和点氏线段的垂直平分线交p轴于

点例试探究空是不是定值.若是，求出该定值;若不是，请说明理由.

解析（1:•抛物线关于y轴对称,•・.6=0.

又•.・抛物线过点（1,1（2,1）,

」..a+c，，解得卜=口

Aa+c=1,lc=0.

了.抛物线的解析式为片，

（21,点。（-1,夕）在抛物线片%2上,•.夕=%

解法一。・图象开口向上，且点。（一1,关于y轴的对称点的坐标为（1,

.,.由图象可知：

当或m-l=l,

即m=0或m=2时，P=<7

当或/77-1>1,

即〃）<0或〃7>2时，夕<[

当

即0</??<2Bf,p>q.

.,.当"7=0或"7=2时，夕=名

当/7?<0或m>2时，夕<%

当0<m<2时，夕>g.

解法二:？g=K（/77-l）2

把看成Z77的函数，由图象可知：

当m=0或m=2时，夕=q

当m<0或m>2时，夕<[

当Q<m<2时，夕〉q.

(3)黑为定值,定值是2.

设4始")，仇刈刃)，

直线的解析式为片奴+1(后0).

把片攵x+1代入片中，

得解-4狂4=0.

・"=16依+16>0,

xi=2k+27k2+l,X2=2k-27k2+1.

则A1+必=4Aj4+女=4吊+X2)+2

=4N+2,

Xi-X2=47k2+1,

yi-yz=k(xi-X2)=4k\/k2+1.

解法一:如图，过点8作8/V_Ly轴，过点A作力/V/Zy轴,交点为N.

易得线段中点尸的坐标为(2£2N+1).

又1),.・・根据勾股定理，可得FP=NQk)2+(2H+1-

=|2AjVl+/c2.

..2MPF=LBNA=90°,

乙MFP=LBFO=KBAN,

.uFPMiANB.

又|/-尤|=

.AB_AN_\4k\y/k2+l_2

''FM~FP~\2k\\lk2+l~•

解法二:设的垂直平分线上的任意一点Q的坐标为(/外.

,:QA二QB「.Q俘二QN.

根据勾股定理，可得(X-M)2+伊㈤2=(*_均2+3一g)2,

整理得片红力.x+皂匕空02+生叁

'yi-及2(yx-y2)2

片/X+2N+3.

令X=O,得片2?+3,即M0,2N+3)〃“=2?+2=2(?+l).

根据勾股定理，可得

AB=d(X\一/2)2+Q1—%)2

=J16(/C2+I)2=4(N+1).

.4B=4(k2+i)=2

*FM-2(/C2+1)~•

16.(2022宁德二检，衣时如图1,抛物线片%2与直线片6(。是常数)交于48两点(点力在点B

的左边)，且AO/S是直角三角形.

(1)求m的值；

(2)如图2,将抛物线片评向下平移，得到抛物线片评关若抛物线片评M与直线片777交于

C。两点(点。在点。的左边)，与X轴正半轴交于点£求证:旧是直角三角形；

(3)如图3,若抛物线片a(x-/?)2-4(a>0)与直线片5交于例/V两点(点例在点/V的左边)，点K

在抛物线片Kx-/?)2-4上，当A/VZ/VK是直角三角形时，直接写出点《的坐标.(用含a力的代数式

表示)

图2

图3

解析Q）如图，设28与y轴的交点为P

,直线片/77平行于x轴，片%2的图象关于y轴对称,

:.OPA-AB.OA-OB.

•・•△048是直角三角形.

・・2/80=2必0=45°QP=PB.

.•.点8的坐标为（777,/77）.

；点、以/77,/77）在抛物线片上，

.，.777=｝加J，777W0,.，.777=4.

⑵证明:如图，分别过点C。作轴于点轴于点Q.

联立［y

ly=4,

得/i=-2>Jk.+4,（x2=+4,

k=4,ly2=4.

.••点。的坐标为（-2/F不44）,

点。的坐标为（24FT44）.

将片0代入片］庐-左

解得用=2迎，必=-2遍（舍去）.

.・•点£的坐标为（2%,0）.

:.EQ=27k+4-2例,

QD=A,EH=2瓜+2VFT4,CH=4.

证法一:...（2"表+4-2迎）（2迎+2，表+4）=4（攵+4）-4攵=16,

:.EQ-EH=QD-CH:.—=—.

YYEQQD

■:乙CHE=4EQD=q。*

:©CHEjEQD.

:.乙CEH=KEDQ.

YNDEQ+ZEDQTO。,

:.2DEQ+4CEH=9b°.

・•.N。纥=90：

••・△。£是直角三角形.

证法二:在RbSE中,根据勾股定理，得

9="+/7£=42+(2迎+2VF7)2=32+8Z+8jk(4+k).

同理可得改=32+8k8d(4+k).

.・.£C+Q=64+16左

•.-OT=[2VFT4-(-2VFF4)]2=64+16^

:.E6EI>=8.

是直角三角形.

(3)点《的坐标为！方+强三,5-J或'/7-迤三,5-9.

aaaa

详解:将抛物线片式H/?)2-4向左平移力个单位得到抛物线片a*-4.

设△用八伏平移后得到△M'N'K",

如图.过点《作x轴的平行线4分别过点例;/V作MILb干点、L,N'Tlh干点、T.

N'1

芍4

联立忱厂

3y[a3y/a

yi—5.

.•.点〃的坐标为(一学,5),

点/V'的坐标为(呼,5).

设K'的坐标为ga〃-G,M'L=t.

.'.t=5-(an2-4)=9-an2.

易证WAM'LK'SgK'TN'.

:.LK'-K'T=N'T-M'L,

即g=(乎+n)(呼_九)

=^-n2=i(9-an2).

a

t^O'-匕一.

ra

.•.点《'的纵坐标为

5--a.

解方程以-4=5二得x=±叵三.

aa

(,

・••点《'的坐标为(等i,5—?或L警卫,5常.

・••点《的坐标为।/?+叵三,5二।或।力-叵三,5二1

aaaa

17.(2022龙岩二检，妙)已知抛物线片3x+4)(x-/77-2)(6>0)与x轴交于/,8两点(点/在点B

的左边)，与p轴交于点C且△Z8U的外接圆的半径为/；过点。且平行于x轴的直线交抛物线于

点T.

(1)当777=1时，求tanN/8U的值；

(2)若直线ZC"的解析式分别为片hx+d片如什仇求证洗1+依=0；

(3)若△/8U的外接圆与y轴交于另一点。且厂的周长为才试判断:的值是不是定值.若是,

请求出该定值;若不是，请说明理由.

解析Q)当加=1,片0时，

3x+4)(x-3)=0,

.,.Ai=-4,A5=3>Ai.

・・.440),8(3,0).

当m=l,x=Q时，

y=|x4x(-3)=-6,

.-.tanz/15C=—=-=2.

OB3

(2)当y=0时，

|(Y+4)(A--/77-2)=0,

.•.始=-4,M=/77+2.

'.m>0,.'.X4>X3,

.•.4-4,0),8(777+2,0),

当x=0时，

y=-x4x(-/n-2)=-2/77-4,

..《0,-2/77-4).

,:CT〃x轴,

当片-2777-4时，

|(z+4)(>v-777-2)=-2/77-4,

解得X=0或777-2,

・・•直线■的解析式分别为

y=kix+bi,y=kix+bi,

,(—4kl+bi=0,

二.可列万程组〃„.

Si=—2m—4,

((m+2)/C2+b2=0,

^\(m—2)/C2+b2=-2m—4,

解得h=竽后=等,

；.h+依=0.

(3f的值是定值.

过7■作7F1X轴于E,

连接BC.BD.AD.CTJD.BT,

由⑵得,4-40),8(m+2,0),00,-2/77-4).

■：AC=AC,

:.乙ABC二乙ADC,

.•.tanz/15C=tanZ/4Z7C,

.OA^_OC__l-2?n-4l_2

'OD~OB~\m+2\~1

1.OD=2,

•.•/77>0,」.-2/77-4<0,即点。在y轴的负半轴上,

7(/77-2,-2/77-4),

:.BD=>JOD2+OB2

=J4+(m+2/,

TD=\ICD2+TC2

=y/(2m+6)2+(m-2)2,

BT=yJOC2+BE2

=yj(2m+4)2+[(m+2)-(m-2)]2

=2y/(m+2)2+4,

:.BT=2BD,

80+872=5(苏+4/77+8),

b=5(/772+4/77+8),

.・M+8"=型

"DBT=9G。,

：.TD=ylBD2+BT2=4SBD,

D为△28。外接圆的直径，即TD=2r,

.一aBD

'2'

:.t=BT+BD+DT二心+后BD,

.t_(3+V5)BD_6V5Q

•--------7=-------rZ.

「号BD5

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一、选择题(每小题4分，共40分)

1.(2022龙岩一检)点〃3,2)关于原点。的对称点户的坐标是(C)

A.(3,-2)B.(-3,2)

C.(-3,-2)D.(2,3)

解析平面直角坐标系内任意一点(/勿关于原点的对称点为(-%-勿,即得R3,2)关于原点的对

称点为「(-3,-2).

2.(2022龙岩一检)抛物线片，层向右平移2个单位后的抛物线的解析式为(D)

A.片-评+2B.片-?x+2)2

C.片-7-2D.片—(x-2)2

解析根据"上加下减、左加右减"口诀，可得将抛物线片-%2向右平移2个单位后的表达式

为片T（X-2）2.

3.（2021福州一检）已知二次函数片-必-2*+3,下列叙述中正确的是（D）

A.图象的开口向上

B.图象的对称轴为直线后1

C.函数有最小值

D.当x>-l时,函数值y随自变量x的增大而减小

解析•.%-解-2x+3=-（x+l）2+4,

.•.图象开口向下,对称轴为直线4-L函数有最大值，当»-1时/随x的增大而减小，故A、B、

C错误,D正确.

4.（2021福州一检）已知甲，乙两地相距“单位:km）,则汽车从甲地匀速行驶到乙地，所用的时间

*单位:h）关于行驶速度乂单位:km/h）的函数图象是（B）

解析,•,弓

:.t与匕之间是反比例函数关系.

又根据实际意义可知i/>0,>0,

二•函数图象在第一象限.故选B.

5.（2021南平二检）下列四个函数的图象，一定不过原点的是(B)

A.产xB/.y=-X-

C.片-A2D.%A2

解析反比例函数片:中的左、x、y都不可能为0,所以它的图象不可能经过原点.故选B.

6.（2021浙江金华中考）已知点4MM,8（检发）在反比例函数片《的图象上，若M<0（后则

(B)

A.",<0〈妆B.y2<0<yi

C.yi<y2<0D.y2<yi<0

解析反比例函数片-g的图象分布在第二、四象限，

当x<0时,y>0,

当筋>0时/<0,

...总<0<也」.3,>0>为故选B.

7.（2021浙江宁波中考）如图，正比例函数与=卜*%<0）的图象与反比例函数〃=掾（&<0）的图

象相交于48两点，点8的横坐标为2,当外>/时,x的取值范围是（C）

A.xc-2或%>2

B.-2<%<0或x>2

C.x<-2或0<x<2

D.-2<%<0或0<x<2

解析•.・正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称〃•.点A与点8关于原点对称•点B

的横坐标为2,.,.点/的横坐标为-2.由题图可得，当x<-2或0cx<2时，正比例函数%,=41Mh<0）

的图象在反比例函数女=项由<0）的图象的上方,.,.当x<-2或0<x<2时必>妆.故选C.

8.(2021福州一检)将点(3,1)绕原点顺时针旋转90相到的点的坐标是(B)

A.(-3,-l)

C.(3,-l)D.(-l,3)

解析如图所示，过A作AB±y轴于8点，过工作4cLy轴于。点,则z.ABO=^A'CO=90:

连接OA,OA'.

y

B■-'A

7)

c

设则AB=3,OB=1.

由旋转的性质可知OA=OA'^AOA'=^°.

又..2/+"。8=90；

N4"+N/O8=90：

:./.A=^A'OC,

・•・△/88AOC4《AAS),

:.OC=A8=3IA'C=OB=1,

・・./(L-3).故选B.

9.(2022莆田一检)已知二次函数片解+6x+c的图象与x轴的两个交点分别是(-1,0)和(3,0),

且抛物线经过点(-4,刃)和(4,女)，则下列关于"、放的大小关系判断正确的是(C)

A.%.<0(%B.y2<0<yi

C.0<y2<yi0.0<yi<y2

解析•••图象经过(-1,0),(3,0),

.,.对称轴为直线x=二二蛆=1.

2

图象大致如图所示.

­.|-4-l|>|4-l|JLa=l>0,

，0</<外.故选C.

解后反思

本题考查二次函数图象上点的纵坐标的大小比较.根据抛物线开口向上，图象上的点离对称

轴越远，纵坐标越大，即可得解.

10.（2022龙岩二检）已知点4Al"）,8（均㈤均在抛物线片a*-2ax+4（aH0）上,若

M（检用+歪=1-己则（D）

A.当a>-l时必</

B.当a>-l时必>/

C.当a<-l时/（万

D.当a<-l时口〉放

解析由抛物线片a/-2ax+4（a声0）得片a（x-l）2+（4-a）,故抛物线对称轴是直线x=l.

①当a>0时，抛物线开口向上,l-a<2,直线代管,即直线*二”在对称轴x=l左侧〃••点/比

点8距离对称轴更远

②当-l<a<0时，抛物线开口向下，同理H〈放.

.•.当3>-1，且X\<X2时和乂的大小不确定3AB都错误.

③当a<-l时，抛物线开口向下直线即直线后詈在对称轴x=l右侧，

.•.点8比点A距离对称轴更远,

..力>女,故选D.

二、填空题（每小题4分，共24分）

11.（2022漳州三检）若函数片（的图象经过点Q,阿,则m的值是

解析点（1,6）在片;图象上"•./77=：=3.

12.（2021四川凉山中考）函数片”中，自变量x的取值范围是贬-3且淤0.

解析根据题意得X+3N0且/0,解得应-3且/0.

13.（2020漳州线上质检）如图,若一次函数片-2x+6的图象与两坐标轴分别交于48两点，点/

的坐标为（0,3）,则不等式-2x+6>0的解集为x<|.

解析■./（0,3）在直线；/=-2*+6上,二6=3,，片-2*+3,

令片0,得-2x+3=0,解得x=|,「.8（|,0）

由题图可知，当x<|时，一次函数图象在x轴上方，

不等式-2x+6>0的解集为x<~.

2

14.（2021湖南永州中考）已知函数y=^0_2x>:若片Z则x=2.

解析片康安，

•.,当0sx<l时,Os/<L

.•.当y=2时，疮L

，2x-2=2,解得后2.

15.（