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文档简介
2023福建版数学中考
第三章变量与函数
3.4二次函数
基础练
考点1二次函数的概念、图象与性质
1.(2022福州一检,掇)下列y关于x的函数中,是二次函数的是(A)
2
A.y=5A2B.y=2-2x
C.y=2解-32+1D.片妥
解析二次函数的一般形式为片aM+bx+Ga/OTa,。。为常数,可得A正确,故选A.
2.(2022厦门一检,燧如图是抛物线片拟2+6x+c的示意图,则a的值可以是(A)
k
A.1B.OC.-lD.-2
解析由题图可知,抛物线开口向上,所以a>0,故选A.
3.(2022莆田一检,播)下列各点中,在二次函数片-解的图象上的是(A)
A.(l,-DB.(2,-2)
C.(3,-3)D.(4,-4)
解析当x=l时,片-〃=-L
当x=2时,片-〃=-4,
当x=3时,片-〃=-9,
当x=4时,片
所以点(L-1)在二次函数片的图象上,故选A.
4.(2022厦门一检,镇)抛物线y=a^+bx+c的对称轴是(D)
f\.x=-B.x=~
aa
C.x=—D.x=--
2a2a
解析抛物线片a*+6x+c的对称轴为直线x=/
5.(2022漳州一检,播)抛物线片区通过平移,得到抛物线片区+1,则该平移方式正确的是(A)
A.向上平移1个单位
B.向下平移1个单位
C.向左平移1个单位
D.向右平移1个单位
解析抛物线片/向上平移1个单位即可得到抛物线片必+L故选A.
6.(2022三明一检,幽将二次函数片解-4x+3通过配方可化为片a(x-/?)2+Z的形式,结果为
(A)
A.y=(%-2)2-lB.%(x-2)2+3
C.y=(x+2)2+3D.%(x+2)2-l
解析片解-4x+3=*-4x+4-l=(x-2)2-l.故选A.
7.(2022莆田二检,幽写出一个满足”当)c>2时7随x增大而减小"的二次函数解析式:
片-解(答案不唯一).
解析写出的二次函数满足G2时/随x增大而减小,说明该二次函数的图象开口向下,即a<0,
且对称轴x=/?在直线x=2左侧,即/?<2,符合这两个条件的二次函数均正确.
8.(2022莆田一检,僚)抛物线片解+6X+/77与x轴只有一个公共点,则用的值为
解析・抛物线片解+6*+/77与X轴只有一个公共点,
.'.d=Z?2-4ac=62-4/77=0,
解得/77=9.
9.(2022南平一检,幽抛物线*/与直线片6x+c的两个交点坐标分别为4-4,8)£2,2),则
关于x的方程a*-bx-c=0的解为所=-4,放=2.
解析求方程a兄-bx-c=0的解可看成函数片初2与y=bx+c图象的交点问题.函数图象的交
点的横坐标就是方程的解.
10.(2022莆田一检,熠一抛物线以(-1,9)为顶点,且经过x轴上一点(-4,0),求该抛物线解析式及
抛物线与p轴的交点坐标.
解析设抛物线解析式为j/=Kx-/;)2+&awO),
由题意知h=-1,k=9,
将(-4,0)代入片式x+邛+9,
得0=9a+9,解得a=-l,
.•.抛物线解析式为y=-(x+l)2+9.令x=0,则片8〃•.抛物线与p轴的交点坐标为(0,8).
11.(2022莆田一检,幽抛物线片aM+2x+c与x轴交于点/(-2,0)和点以6,0),与p轴交于点
C.
(1)求抛物线的解析式及点U的坐标.
(2)将抛物线片西+2*+右右移5个单位,下移自个单位得到新抛物线/当自变量x在3<y<9
的范围内时,求p的最小值.
⑶在x轴正半轴上有一动点汽/77,0),过点£作直线/lx轴,交抛物线片ag+2x+c于点月交抛
物线y于点Q若△0Q的面积为20,求加的值.
解析⑴把点420)和点仇6,0)代入片a/+2x+G
—4+c=0,
a+12+c=0f
<解得卜=/
1c=6,
二.抛物线的解析式为
片-评+2x+6.
,・・点「是抛物线片―/+2x+6与p轴的交点,
.・•点。的坐标为(0,6).
⑵片-评+2x+6化为顶点式是片卡片2)2+8,
将该抛物线右移5个单位,下移手个单位后,得抛物线y'=E(x-7)2+1,
―04/~~\9x
如图,在3*9的范围内,m3时.最小值,令7,则八十(3-7咒=费
:.y的最小值为
(3)由题意知户点坐标为(m,—[m2+2m+6),
Q点坐标为(m,—+7m—24),
・•/Q的长度为卜5〃7+30|.
・・・△CPQ的面积为20,
.-.ix/77x|-5/77+30|=20,
:.m的值为2或4或3+g.
考点2二次函数的综合应用
12.(2022厦门一检,小)某种爆竹被点燃后升空,并在最高处燃爆.该爆竹被点燃后离地高度
/X单位:m)关于离地时间*单位:s)的函数解析式是力=20广-5犬,其中子的取值范围是(B)
A.f>0B.0<f<2
C.2<f<4D.0<f<4
解析力=20£5犬=-5①2)2+20,
;-5<0,.,.抛物线开口向下,
・・・当t=2时力取得最大值,
抛物线的顶点即为爆竹的燃爆点.
."的取值范围为0«区2.故选B.
13.(2022福州一检,村汽车刹车后行驶的距离4单位:m)关于行驶的时间”单位:s)的函数解析
式是5=3犬+6t当抬时,5=6;当f=l时,5=9.
(1)求该函数的解析式;
(2)请结合平面直角坐标系中给出的点,画出符合题意的函数图象,并写出汽车刹车后到停下来
前进了多远.
12「(m)
9------.
6■—f:
3-:;
~0'i'153'2'5/(S)
2422
解析⑴••・当与时,s=6,
当片1时,5=9,
4+26,解得二
Q+b=9,
」•该函数的解析式是s=~6©+15t
⑵
该函数的图象如图所示.
汽车刹车后到停下来前进了Vm.
14.(2022南平一检,的已知抛物线片解-2ax+浜+2a-3,直线hy=x+a.
(1)记抛物线的顶点为N(p,G求g关于夕的函数关系式;
(2)设直线/与抛物线相交于点4氏在点48之间的抛物线上有一动点门求△以8的面积的最大
值.
解析(1)\六解-2ax+邛+2a-3
=(x-a)2+2a-3,
二.抛物线的顶点坐标为(a,2a-3),
•••抛物线的顶点为N[p,q),
:.q=2p-'i.
(2)解法一:如图,过点"作„*轴,交28于点M.
,・・直线/与抛物线相交于点A,B,
联立解析式,
(y=x+a,
'=x2—2ax+a2+2a—3,
.,.A2-(2a+l)x+a2+a-3=0,
.・./=[-(2a+l)]2-4(/+a-3)=13,
根据求根公式得
2a+l-\fl3
^A~~/
2a+l+V13
XB=~/
---|A^-XZI|=V13,
:.S^PAB=^PM•
=—PM.
2
.7?A^=j6vryp=-A2+(2a+l)x-a2-a+3="(x
••PM最大俵二?,
4
.・.△Q48的面积的最大值=当、?=等.
解法二:如图,平移直线/得到直线A,
当直线4与抛物线有唯一公共点时,Su/8的值最大.
设直线K'.y=x+m,
(y=x+m,
J(y=x2—2ax+a2+2a—3,
二.4-(2a+l)x+4+2a-/77-3=0,
/=[-(23+1)]2-4(矛+23-疗3)=0,整理得m^a~,
,直线h'.y=x+a-^.
设直线4交x轴于点C直线/交x轴于点。则有6(-a+^,0),ZX-a,0),
.\CD=-,
4
•・・直线/与抛物线相交于点力、B,
联立解析式,
xa
r(y=+>
7(y=x2—2ax+a2+2a—3,
.,.^-(25+1)%+^+5-3=0,
■'\XB-X/\=7(XA+XBy-4XAXB
=V13.
在直线片x+a上,
■\yB-yA=\xB-x^=y[\3,
-,'S^PAB=S^CAB=\CD,|加以|=2*,
2.o
・•・△848的面积的最大值是生亘.
8
15.(2022宁德一检,播)已知抛物线GL:片-解+2/77X+6和仿:%-解+2/7*+双〃>/77)相交于点
4过点Z的直线/片版+6与抛物线Gi交于另一点氏与抛物线仿交于另一点C抛物线Gi的
顶点为点M抛物线仿的顶点为点N.
(1)直接写出顶点例的坐标;(用含777的式子表示)
(2)当/77=-3,〃=2,且直线/〃*轴时,求证
⑶当k钝时,若/8=/C求直线/的表达式.(用含m,n的式子表示)
解析(1)顶点用的坐标是(力加+)).
(2)证明:连接BM,AN,MN国略)
":m=-3,n=2,
二.抛物线GL,&的表达式分别是片-〃-6*3/=-〃+4%+2.
顶点例/V的坐标分别为(-3,6),(2,6).
(_1
解仁T;谭一:得
2
(y=-x+4%+2,v=_1
V4,
.,.点A的坐标为(一;,-:).
•・・直线/〃x轴,点48在直线/上,
.,.点8的纵坐标为-士
4
将片一代入片-〃-6x-3,
得-庐6x-3=±
4
解得为=一(舍),及=£
・・•点8的坐标为(一£,一》.
...28=一一(一£)=5.
■:M、/V的坐标分别为(-3,6),(2,6),
:.MNHX轴,MN=5.
:.MNHAB,MN=AB.
..・四边形/8/I4/V是平行四边形.
:.MB=NA.
(3)由片-A2+2/77X+/77得片-/+/77(2x+1),
.・.抛物线G过定点(W,-》
同理,抛物线仿过定点(一发一)
・・•点A是抛物线GL和5的交点,
点A的坐标为(一3,—[).
•.・抛物线GL,&的开口大小、方向均相同,
,抛物线仿可以看成由抛物线Gi沿射方向平移得到.
。三点在同一条直线上,
.•・抛物线GL上的点8/在抛物线&上的对应点分别是4c
.••由平移性质可得MNHBC.
设直线例/V的关系式为y=kix+ZZL.
,.・顶点例/V的坐标分别为(777,/7T2+/77),(77,/T2+〃),
2
.(m+m=kxm4-瓦,
2
In+n=k^n+blt
解得ki=m+n+l,
.'-kBC=k1=m+n+X.
,「点/(—一在直线hy=kx+b上,
.•.-i=(/7?+n+1)x(-J)+
直线/的表达式为
片(Z77+77+l)X+^^+1.
提分练
考点1二次函数的概念、图象与性质
1.(2022南平一检,镇)二次函数片后2x+3的对称轴是(C)
A.x=-2Q.x=-1
C.x=lD.x=2
解析将二次函数化成顶点式片(x-l)2+2即可得到对称轴,故选C.
2.(2022宁德一检,播)关于二次函数片(x-1)2-2,下列说法正确的是(D)
A.有最大值1B.有最小值-1
C.有最大值2D.有最小值-2
解析由函数的性质及顶点式,可知抛物线开口向上,顶点为(1,-2),故函数有最小值-2,故选D.
3.(2022南平一检,的在平面直角坐标系中,抛物线片2层保持不动,将x轴向上平移1个单位
①轴不动),则在新坐标系下抛物线的解析式是(B)
A.%2A2+1B.y=2x^-1
C.y=2(x-1)2D.y=2(x+1)2
解析将x轴向上平移1个单位(7轴不动),相当于抛物线片2/向下平移1个单位,利用抛物
线的平移变化规律:左加右减,上加下减,即可得结论.故选B.
4.(2022福州一检,镇)二次函数片〃+(a+2)x+a的图象与x轴交点的情况是(C)
A.没有交点
B.有一个交点
C.有两个不同的交点
D.与a的值有关
解析/=(a+2)2-4a
=a2+4a+4-4a
=<32+4>0,
.•.二次函数图象与X轴有两个不同的交点.
5.(2022三明一检,中曾若点4L川£2,川,㈤在抛物线片左什1)2+4界0)上,且
"</<小,则用的值不可能是(C)
A.5B.3
C.-3D.-5
解析抛物线片Kx+l)2+Ga#0)的对称轴为直线x=-l,
点力(1%),8(2,g),。力㈤在抛物线片Kx+l)2+c上,且yi<yz<yi,
若a<0,则在对称轴的右侧y随x的增大而减小,点48都在对称轴右侧,而分,<妆,所以这种情
况不成立;
若3>0,则|/77+1|>|2+1|=3,解得/77<-4或/77>2,故777的值不可能是-3.故选C.
6.(2022漳州三检,播)在平面直角坐标系中,已知点(1,6),(3,〃)在抛物线片上,且
/77〃<0.设f的值可以是(C)
2a
D-l
解析':y=ax^+bx=x{ax+b),
•・・抛物线与*轴交于(0,0)和(一,o).
・.•/77/7<0,且点(1,/77),(3,〃)在抛物线上,
-匕二1b3
即*1.故选c.
解题关键
由mn<0可知抛物线上(Lm),(3,〃)两点之间部分必与x轴有交点,故1<-^<3.
7.(2022漳州二检,僚)关于x的一元二次方程a(x+2)(x-l)+6=0(a<0,6>0)的解为用,迎且
则下列结论正确的是(D)
A.-2<AI<A5<1B.-2<XI<1<X2
C.XI<-2<X2<1D.XI<-2<1<X2
解析解法一:将方程变形为
(x+2)(x-i)=q,
a
令刃=(x+2)(Hl)〃=q,
画出图象,如图.
故选D.
解法二:将方程变形为a(x+2)(x-l)=-6,
令yi=a[x+2)(%-l),y2=-b.
1.a<0,b>0,
:.yi图象开口向下,-Z?<0,
画出图象,如图.
故选D.
解法三:令y\=a(x+2)(x-l),
/=a(x+2)(x-l)+6.
,.a<0,/?>0,
..必,放图象开口向下,
yi图象向上平移6个单位变成女图象,
画出图象,如图.
故选D.
8.(2022福州一检,#)已知点4xi,川,电⑵川,。电⑹均在抛物线片《N+ax+c上,其中
6
刃二|a+c下列说法正确的是(D)
A.若仇-阅引后-对,则yz>yi>y}.
B.若伙-阑N%-及则yz>yi>yi
C.若%必则阅<|至-刈
D.若/必则区-阅>|放-刈
解析・抛物线的解析式为片--A2+ax+c,
6
抛物线对称轴为直线
-.■^0,.-.~X^+X2=l,
oz
.•.A5=3,.'.^3,|a+c)为抛物线的顶点.
当a>0时,抛物线上的点离对称轴越远,函数值越大;
当a<0时,抛物线上的点离对称轴越远,函数值越小.
若优-及区|的-刈,则点/离对称轴较近,点U离对称轴较远,当a>0时以故A选项错;
同理可知B选项错;
若乃》放,则3>0且点A离对称轴较远,故C选项错,D选项正确.故选D.
9.(2022福州二检,幽将抛物线片〃沿直线片3x方向平移VI5个单位长度,若平移后抛物线
的顶点在第一象限,则平移后抛物线的解析式是片(x-l)2+3.
解析由题可作出草图,如图:
设平移后顶点4%3及
则OB-x.AB-'ix,
由题知O4=A/10,
.-.A2+(3A)2=(VT0)2,
...AI=L及=-1(舍去》
••.Al,3),
.♦•平移后抛物线的解析式为尸(H1)2+3.
10.(2022宁德一检,小)已知二次函数片a解+6*+«»0)的图象经过点(-2必),(/77-3,〃),
(-1,0),(3〃),(7-%〃).则下列四个结论。必>女653+仁0e方程a^+bx+c=0的解为
质=-1,放=5;④对于任意实数力总有其中正确结论是①②③(填写序号).
解析,.加〉。,.,.抛物线片aM+Z?x+c开口向上,
・抛物线片a*+bx+c过点(777-3,〃),(7-m,ri),
・••对称轴为直线x=m-3+7-m=2,即上=2.,6=-4a,
22a
,・・抛物线片d*+6x+u过(-1,0)/
:、a-b+6^0..二?(-43)+c=0,即5d+故②正确.
:.c=-Sa,
二二次函数为y=ax1-Aax-5a=a[x-2Y-^a.
图象大致如下:
由图象可知力>/,故①正确.
•.・抛物线对称轴为直线x=2,抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),
・•・由对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为(5,0),
,方程a>^+bx+c=Q的解为M=-1,*=5,故③正确.
•抛物线开口向上,顶点为(2,-9a),
・••对任意实数力总有仑-9a,故④错误.
综上,正确答案为①②③.
11.(2022漳州一检,的已知抛物线片a*-2ax+«a>0)与x轴交于点(2,0).
Q)求抛物线的对称轴及c的值.
(2)若该抛物线与直线y=x-2只有一个公共点.
①求抛物线的解析式;
②若点仇检女)在该抛物线上,当m-l<xi<m,m+l<X2<m+2时,均满足力求m的
取值范围.
解析(1)二・抛物线片a*-2ax+c与x轴交于点(2,0),
:.Q=Aa-Aa+c..,.c=Q.
:.y=ax^-2ax=a(x-Y)2-a.
••・抛物线的对称轴为直线x=l.
(2)①把片x-2代入片/々叫得^-(25+l)x+2=0,
■.・抛物线与直线片*2只有一个公共点,
.../=0,即(2a+l)2-8a=0,
解得a=~.
2
二.抛物线的解析式为y=^-x.
②分三种情况:
(i)当m<l时,需满足x=m+2的函数值小于x=m的函数值.
.,.1(/77+2)2-(/77+2)<|Z772-/77,
解得/77<0.
(ii)当777=1时,04XISL2WEW3,此时若Ai=o,歪=2,则%,=%,不合题意,舍去.
(iii)当/7?>1时,需满足x=m-l的函数值小于x=m+X的函数值.
.弓(/77-1)2-(/77-1)<3/77+1)2-(/77+1),解得m>l.
综上所述,当/77<0或m>l时,
对于/77-lSAiS/77,/77+lW放S/77+2,均满足
考点2二次函数的综合应用
12.(原创题,幽已知抛物线片a%+2x+c过3AlM,e(迎为,且xi是关于x的方程ax+l=0
的解,下列命题错误的是(D)
A.若为=1,则存在及使得yi>yi
B.若质=1,则任意至都有yi>yi
c.若放=1,则存在总使得yi>y2
D.若至=1,则任意总都有yi>y2
解析若用二1,
则a+l=O,解得a=-l.
.•片-A2+2x+-(*1)2+1+G
.•.抛物线的对称轴为直线x=L顶点坐标为(Ai,>i),
.,.对于任意此都有yi>y2.
故A、B中命题正确.
若至=1,则抛物线的对称轴为直线!
①当a>0时广;<0,(用_丛)为抛物线的顶点,如图.
由图可知,女〉女.
②当a<0时厂:>0,(用必)为抛物线的顶点,如图.
由图可知,外2刃.
综上所述,当a>0时,/>外,当<3<0时/LN/.故C中命题正确,D中命题错误.
13.(2022湖北武汉中考,小)已知抛物线片a解+6x+Ga,6,c是常数)开口向下,过
4-L0),仇刃0)两点,且1<m<2.下列四个结论:
①6>0;
②若m=|,则3a+2c<0;
③若点Mm必),M迎刃在抛物线上,用<也且xi+^>L则/>女;
④当a<-l时,关于x的一元二次方程ax^+bx+c=l必有两个不相等的实数根.
其中正确的是①③④(填写序号).
解析•.・抛物线开口向下,.,曰<().
••・抛物线过4-1,0),仇力0)两点,且l<m<2,
.•.对称轴在y轴右侧,即q>0.
又...^〈。,.,./^。,故①正确.
:点、/(-1,0)在抛物线上,,a-6+c=0.
3
3b-1+mT+弓1
——=-=——
22a224
=
-b~3r'.3-(—:a)+c=0,
整理得3a+2c0,故②错误.
yi-y2=axl+bxi+c-{axl+bx2+(^
=3(好-螃)+优为-加)
={Xl-X2}[a{Xi+X2]+b\.
,「-1,6是一元二次方程ax1+bx+c=Q的两个根,
:.-l+m=--,':l<m<2
al
...0<上<1,又;<3<0,,3+6<0.
a
,.Xi+X2>l,.'-3(X1+X2)<a,
:.a[xi+X2)+b<a+b<0.
,.^Ai<A^.,.Ai-垃<0..,.>i-刃>0,.^.>l>/,故③正确.
,:-l+m=~,:.b=a(l-rn).
a
,:a-b+c=0,「.a-aQ-/77)+c=0,解得c^-am.
.•.抛物线片a区+bx+c与直线片1有两个交点.
.•.当a<-l时,关于x的一元二次方程a^+bx+c=l必有两个不相等的实数根,故④正确.
综上,正确的是①③④.
难点突破
本题主要考查二次函数的图象与性质及转化和消元的思想.对于②,要判断3a+2c<0是否
正确,首先求出6与a的数量关系,然后结合a-b+c=O消去b可得出3a+2c0;对于③,要判断
次与女的大小关系,可使用作差法,把刃-/与M+的联系起来;对于④,关于x的一元二次方程
a^+bx+c=l有两个不相等的实数根问题,可转化为抛物线片a*+6x+c与直线y=l有两个
交点问题.
14.(2022安徽中考,冰)如图1,隧道截面由抛物线的一部分力。和矩形力8。构成,矩形的一
边BC为12米,另一边为2米.以8C所在的直线为x轴,线段8U的垂直平分线为y轴,建立
平面直角坐标系X。规定一个单位长度代表1米,口0,8)是抛物线的顶点.
Q)求此抛物线对应的函数表达式;
(2)在隧道截面内(含边界)修建"
m
”型或”
”型栅栏,如图2、图3中粗线段所示,点凡丹在x轴上,例/V与矩形凸?丹见的一边平行且相
等,栅栏总长/为图中粗线段吊号外氏自丹,/14/V长度之和,请解决以下问题:
(i)修建一个"
m
”型栅栏,如图2,点闩,乌在抛物线上.设点凸的横坐标为/77(0<646),求栅栏总长/与m
之间的函数表达式和/的最大值;
(ii)现修建一个总长为18米的栅栏,有如图3所示的”
m
”型和“
”型两种设计方案,请你从中选择一种,求出该方案下矩形a乃丹总面积的最大值,及取最大值
时点吊的横坐标的取值范围(凡在自右侧).
图3(方案一)图3(方案二)
解析Q)依题意可设抛物线的函数表达式为片女+8.
由题意知4-6,2),将4-6,2)代入片a/+8,
得2=363+8.
.__1
--a——.
6
.,.抛物线对应的函数表达式为片二#+8.
6
(2)(i)由题意知^(/77,0),^(m,-|m2+8),
由抛物线的对称性可得自(一犯一37n2+8),凡(-a0),
:.PiP2=--rh1+?>P2P3=2m
6ll
:.1=?>PiPz+PiPi
=3(-*2+8)+2/77
=--/772+2/77+24
2
=-如-2)2+26.
1.'-|<0,0</77<6,
.•.当m=2时,/存在最大值,最大值为26.
(ii)设弓凡=〃,凸的横坐标为b.
选择方案一:
・・・栅栏总长为18米,
.•臼丽等=6』
,S矩形P1P2P3/="(6-
=--fi2+6n
3
=+("-9)2+27.
•.3<0,80=12>9,
.,.当77=9时,S矩形P[P2P3P4有最大值,最大值为27,
此时巧乃=6「=3,即此的纵坐标为3,
==
.y~)^+83l
解得用=闻"=-闻.
•.•月.的横坐标为,典的横坐标为b~9.
,f-V30<b<V30,
1-V30<b-9<V30,
解得-同+9“S同.
选择方案二:
•.■栅栏总长为18米,
•,S矩形P]p2P3P4=爪'-
=-加+9〃
二当时,S矩形有最大值,最大值为学
此时乌丹=9-/7==即闩的纵坐标为2,
22
.•.片3A2+8=:
解得Ai=vn,A5=-vn.
;巧的横坐标为力的横坐标为吟
(-V21<b<V21,
-j-vn<b-1<V21,
MVHZVH
^-+-2<?<.
15.(2022漳州三检,婚)已知抛物线片勃2+6x+c关于y轴对称,且过点(L3和点(2,1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点"-1,⑼和点双m-1,功在抛物线上,试比较夕。的大小;
(3)过点尺0,1)作与p轴不垂直的直线交抛物线于点力和点氏线段的垂直平分线交p轴于
点例试探究空是不是定值.若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
解析(1:•抛物线关于y轴对称,•・.6=0.
又•.・抛物线过点(1,1(2,1),
」..a+c,,解得卜=口
Aa+c=1,lc=0.
了.抛物线的解析式为片,
(21,点。(-1,夕)在抛物线片%2上,•.夕=%
解法一。・图象开口向上,且点。(一1,关于y轴的对称点的坐标为(1,
.,.由图象可知:
当或m-l=l,
即m=0或m=2时,P=<7
当或/77-1>1,
即〃)<0或〃7>2时,夕<[
当
即0</??<2Bf,p>q.
.,.当"7=0或"7=2时,夕=名
当/7?<0或m>2时,夕<%
当0<m<2时,夕>g.
解法二:?g=K(/77-l)2
把看成Z77的函数,由图象可知:
当m=0或m=2时,夕=q
当m<0或m>2时,夕<[
当Q<m<2时,夕〉q.
(3)黑为定值,定值是2.
设4始"),仇刈刃),
直线的解析式为片奴+1(后0).
把片攵x+1代入片中,
得解-4狂4=0.
・"=16依+16>0,
xi=2k+27k2+l,X2=2k-27k2+1.
则A1+必=4Aj4+女=4吊+X2)+2
=4N+2,
Xi-X2=47k2+1,
yi-yz=k(xi-X2)=4k\/k2+1.
解法一:如图,过点8作8/V_Ly轴,过点A作力/V/Zy轴,交点为N.
易得线段中点尸的坐标为(2£2N+1).
又1),.・・根据勾股定理,可得FP=NQk)2+(2H+1-
=|2AjVl+/c2.
..2MPF=LBNA=90°,
乙MFP=LBFO=KBAN,
.uFPMiANB.
又|/-尤|=
.AB_AN_\4k\y/k2+l_2
''FM~FP~\2k\\lk2+l~•
解法二:设的垂直平分线上的任意一点Q的坐标为(/外.
,:QA二QB「.Q俘二QN.
根据勾股定理,可得(X-M)2+伊㈤2=(*_均2+3一g)2,
整理得片红力.x+皂匕空02+生叁
'yi-及2(yx-y2)2
片/X+2N+3.
令X=O,得片2?+3,即M0,2N+3)〃“=2?+2=2(?+l).
根据勾股定理,可得
AB=d(X\一/2)2+Q1—%)2
=J16(/C2+I)2=4(N+1).
.4B=4(k2+i)=2
*FM-2(/C2+1)~•
16.(2022宁德二检,衣时如图1,抛物线片%2与直线片6(。是常数)交于48两点(点力在点B
的左边),且AO/S是直角三角形.
(1)求m的值;
(2)如图2,将抛物线片评向下平移,得到抛物线片评关若抛物线片评M与直线片777交于
C。两点(点。在点。的左边),与X轴正半轴交于点£求证:旧是直角三角形;
(3)如图3,若抛物线片a(x-/?)2-4(a>0)与直线片5交于例/V两点(点例在点/V的左边),点K
在抛物线片Kx-/?)2-4上,当A/VZ/VK是直角三角形时,直接写出点《的坐标.(用含a力的代数式
表示)
图2
图3
解析Q)如图,设28与y轴的交点为P
,直线片/77平行于x轴,片%2的图象关于y轴对称,
:.OPA-AB.OA-OB.
•・•△048是直角三角形.
・・2/80=2必0=45°QP=PB.
.•.点8的坐标为(777,/77).
;点、以/77,/77)在抛物线片上,
.,.777=}加J,777W0,.,.777=4.
⑵证明:如图,分别过点C。作轴于点轴于点Q.
联立[y
ly=4,
得/i=-2>Jk.+4,(x2=+4,
k=4,ly2=4.
.••点。的坐标为(-2/F不44),
点。的坐标为(24FT44).
将片0代入片]庐-左
解得用=2迎,必=-2遍(舍去).
.・•点£的坐标为(2%,0).
:.EQ=27k+4-2例,
QD=A,EH=2瓜+2VFT4,CH=4.
证法一:...(2"表+4-2迎)(2迎+2,表+4)=4(攵+4)-4攵=16,
:.EQ-EH=QD-CH:.—=—.
YYEQQD
■:乙CHE=4EQD=q。*
:©CHEjEQD.
:.乙CEH=KEDQ.
YNDEQ+ZEDQTO。,
:.2DEQ+4CEH=9b°.
・•.N。纥=90:
••・△。£是直角三角形.
证法二:在RbSE中,根据勾股定理,得
9="+/7£=42+(2迎+2VF7)2=32+8Z+8jk(4+k).
同理可得改=32+8k8d(4+k).
.・.£C+Q=64+16左
•.-OT=[2VFT4-(-2VFF4)]2=64+16^
:.E6EI>=8.
是直角三角形.
(3)点《的坐标为!方+强三,5-J或'/7-迤三,5-9.
aaaa
详解:将抛物线片式H/?)2-4向左平移力个单位得到抛物线片a*-4.
设△用八伏平移后得到△M'N'K",
如图.过点《作x轴的平行线4分别过点例;/V作MILb干点、L,N'Tlh干点、T.
N'1
芍4
联立忱厂
3y[a3y/a
yi—5.
.•.点〃的坐标为(一学,5),
点/V'的坐标为(呼,5).
设K'的坐标为ga〃-G,M'L=t.
.'.t=5-(an2-4)=9-an2.
易证WAM'LK'SgK'TN'.
:.LK'-K'T=N'T-M'L,
即g=(乎+n)(呼_九)
=^-n2=i(9-an2).
a
t^O'-匕一.
ra
.•.点《'的纵坐标为
5--a.
解方程以-4=5二得x=±叵三.
aa
(,
・••点《'的坐标为(等i,5—?或L警卫,5常.
・••点《的坐标为।/?+叵三,5二।或।力-叵三,5二1
aaaa
17.(2022龙岩二检,妙)已知抛物线片3x+4)(x-/77-2)(6>0)与x轴交于/,8两点(点/在点B
的左边),与p轴交于点C且△Z8U的外接圆的半径为/;过点。且平行于x轴的直线交抛物线于
点T.
(1)当777=1时,求tanN/8U的值;
(2)若直线ZC"的解析式分别为片hx+d片如什仇求证洗1+依=0;
(3)若△/8U的外接圆与y轴交于另一点。且厂的周长为才试判断:的值是不是定值.若是,
请求出该定值;若不是,请说明理由.
解析Q)当加=1,片0时,
3x+4)(x-3)=0,
.,.Ai=-4,A5=3>Ai.
・・.440),8(3,0).
当m=l,x=Q时,
y=|x4x(-3)=-6,
.-.tanz/15C=—=-=2.
OB3
(2)当y=0时,
|(Y+4)(A--/77-2)=0,
.•.始=-4,M=/77+2.
'.m>0,.'.X4>X3,
.•.4-4,0),8(777+2,0),
当x=0时,
y=-x4x(-/n-2)=-2/77-4,
..《0,-2/77-4).
,:CT〃x轴,
当片-2777-4时,
|(z+4)(>v-777-2)=-2/77-4,
解得X=0或777-2,
・・•直线■的解析式分别为
y=kix+bi,y=kix+bi,
,(—4kl+bi=0,
二.可列万程组〃„.
Si=—2m—4,
((m+2)/C2+b2=0,
^\(m—2)/C2+b2=-2m—4,
解得h=竽后=等,
;.h+依=0.
(3f的值是定值.
过7■作7F1X轴于E,
连接BC.BD.AD.CTJD.BT,
由⑵得,4-40),8(m+2,0),00,-2/77-4).
■:AC=AC,
:.乙ABC二乙ADC,
.•.tanz/15C=tanZ/4Z7C,
.OA^_OC__l-2?n-4l_2
'OD~OB~\m+2\~1
1.OD=2,
•.•/77>0,」.-2/77-4<0,即点。在y轴的负半轴上,
7(/77-2,-2/77-4),
:.BD=>JOD2+OB2
=J4+(m+2/,
TD=\ICD2+TC2
=y/(2m+6)2+(m-2)2,
BT=yJOC2+BE2
=yj(2m+4)2+[(m+2)-(m-2)]2
=2y/(m+2)2+4,
:.BT=2BD,
80+872=5(苏+4/77+8),
b=5(/772+4/77+8),
.・M+8"=型
"DBT=9G。,
:.TD=ylBD2+BT2=4SBD,
D为△28。外接圆的直径,即TD=2r,
.一aBD
'2'
:.t=BT+BD+DT二心+后BD,
.t_(3+V5)BD_6V5Q
•--------7=-------rZ.
「号BD5
章节检测
一、选择题(每小题4分,共40分)
1.(2022龙岩一检)点〃3,2)关于原点。的对称点户的坐标是(C)
A.(3,-2)B.(-3,2)
C.(-3,-2)D.(2,3)
解析平面直角坐标系内任意一点(/勿关于原点的对称点为(-%-勿,即得R3,2)关于原点的对
称点为「(-3,-2).
2.(2022龙岩一检)抛物线片,层向右平移2个单位后的抛物线的解析式为(D)
A.片-评+2B.片-?x+2)2
C.片-7-2D.片—(x-2)2
解析根据"上加下减、左加右减"口诀,可得将抛物线片-%2向右平移2个单位后的表达式
为片T(X-2)2.
3.(2021福州一检)已知二次函数片-必-2*+3,下列叙述中正确的是(D)
A.图象的开口向上
B.图象的对称轴为直线后1
C.函数有最小值
D.当x>-l时,函数值y随自变量x的增大而减小
解析•.%-解-2x+3=-(x+l)2+4,
.•.图象开口向下,对称轴为直线4-L函数有最大值,当»-1时/随x的增大而减小,故A、B、
C错误,D正确.
4.(2021福州一检)已知甲,乙两地相距“单位:km),则汽车从甲地匀速行驶到乙地,所用的时间
*单位:h)关于行驶速度乂单位:km/h)的函数图象是(B)
解析,•,弓
:.t与匕之间是反比例函数关系.
又根据实际意义可知i/>0,>0,
二•函数图象在第一象限.故选B.
5.(2021南平二检)下列四个函数的图象,一定不过原点的是(B)
A.产xB/.y=-X-
C.片-A2D.%A2
解析反比例函数片:中的左、x、y都不可能为0,所以它的图象不可能经过原点.故选B.
6.(2021浙江金华中考)已知点4MM,8(检发)在反比例函数片《的图象上,若M<0(后则
(B)
A.",<0〈妆B.y2<0<yi
C.yi<y2<0D.y2<yi<0
解析反比例函数片-g的图象分布在第二、四象限,
当x<0时,y>0,
当筋>0时/<0,
...总<0<也」.3,>0>为故选B.
7.(2021浙江宁波中考)如图,正比例函数与=卜*%<0)的图象与反比例函数〃=掾(&<0)的图
象相交于48两点,点8的横坐标为2,当外>/时,x的取值范围是(C)
A.xc-2或%>2
B.-2<%<0或x>2
C.x<-2或0<x<2
D.-2<%<0或0<x<2
解析•.・正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称〃•.点A与点8关于原点对称•点B
的横坐标为2,.,.点/的横坐标为-2.由题图可得,当x<-2或0cx<2时,正比例函数%,=41Mh<0)
的图象在反比例函数女=项由<0)的图象的上方,.,.当x<-2或0<x<2时必>妆.故选C.
8.(2021福州一检)将点(3,1)绕原点顺时针旋转90相到的点的坐标是(B)
A.(-3,-l)
C.(3,-l)D.(-l,3)
解析如图所示,过A作AB±y轴于8点,过工作4cLy轴于。点,则z.ABO=^A'CO=90:
连接OA,OA'.
y
B■-'A
7)
c
设则AB=3,OB=1.
由旋转的性质可知OA=OA'^AOA'=^°.
又..2/+"。8=90;
N4"+N/O8=90:
:./.A=^A'OC,
・•・△/88AOC4《AAS),
:.OC=A8=3IA'C=OB=1,
・・./(L-3).故选B.
9.(2022莆田一检)已知二次函数片解+6x+c的图象与x轴的两个交点分别是(-1,0)和(3,0),
且抛物线经过点(-4,刃)和(4,女),则下列关于"、放的大小关系判断正确的是(C)
A.%.<0(%B.y2<0<yi
C.0<y2<yi0.0<yi<y2
解析•••图象经过(-1,0),(3,0),
.,.对称轴为直线x=二二蛆=1.
2
图象大致如图所示.
.|-4-l|>|4-l|JLa=l>0,
,0</<外.故选C.
解后反思
本题考查二次函数图象上点的纵坐标的大小比较.根据抛物线开口向上,图象上的点离对称
轴越远,纵坐标越大,即可得解.
10.(2022龙岩二检)已知点4Al"),8(均㈤均在抛物线片a*-2ax+4(aH0)上,若
M(检用+歪=1-己则(D)
A.当a>-l时必</
B.当a>-l时必>/
C.当a<-l时/(万
D.当a<-l时口〉放
解析由抛物线片a/-2ax+4(a声0)得片a(x-l)2+(4-a),故抛物线对称轴是直线x=l.
①当a>0时,抛物线开口向上,l-a<2,直线代管,即直线*二”在对称轴x=l左侧〃••点/比
点8距离对称轴更远
②当-l<a<0时,抛物线开口向下,同理H〈放.
.•.当3>-1,且X\<X2时和乂的大小不确定3AB都错误.
③当a<-l时,抛物线开口向下直线即直线后詈在对称轴x=l右侧,
.•.点8比点A距离对称轴更远,
..力>女,故选D.
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.(2022漳州三检)若函数片(的图象经过点Q,阿,则m的值是
解析点(1,6)在片;图象上"•./77=:=3.
12.(2021四川凉山中考)函数片”中,自变量x的取值范围是贬-3且淤0.
解析根据题意得X+3N0且/0,解得应-3且/0.
13.(2020漳州线上质检)如图,若一次函数片-2x+6的图象与两坐标轴分别交于48两点,点/
的坐标为(0,3),则不等式-2x+6>0的解集为x<|.
解析■./(0,3)在直线;/=-2*+6上,二6=3,,片-2*+3,
令片0,得-2x+3=0,解得x=|,「.8(|,0)
由题图可知,当x<|时,一次函数图象在x轴上方,
不等式-2x+6>0的解集为x<~.
2
14.(2021湖南永州中考)已知函数y=^0_2x>:若片Z则x=2.
解析片康安,
•.,当0sx<l时,Os/<L
.•.当y=2时,疮L
,2x-2=2,解得后2.
15.(
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