2018-2019学年人教B版数学选修1-2学案第三章章末检测试卷（三）

章末检测试卷(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则()A．i∈S B．i2∈SC．i3∈S D.eq\f(2,i)∈S答案B2．设z1，z2为复数，则下列结论中正确的是()A．若zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＞0，则zeq\o\al(2,1)＞－zeq\o\al(2,2)B．|z1－z2|＝eq\r(?z1＋z2?2－4z1z2)C．zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0?z1＝z2＝0D．z1－eq\x\to(z1)是纯虚数或零答案D解析举例说明：若z1＝4＋i，z2＝2－2i，则zeq\o\al(2,1)＝15＋8i，zeq\o\al(2,2)＝－8i，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＞0，但zeq\o\al(2,1)与－zeq\o\al(2,2)都是虚数，不能比较大小，故A错；因为|z1－z2|2不一定等于(z1－z2)2，故|z1－z2|与eq\r(?z1＋z2?2－4z1z2)不一定相等，B错；若z1＝2＋i，z2＝1－2i，则zeq\o\al(2,1)＝3＋4i，zeq\o\al(2,2)＝－3－4i，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，但z1＝z2＝0不成立，故C错；设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z1)＝a－bi，故z1－eq\x\to(z1)＝2bi，当b＝0时是零，当b≠0时，是纯虚数．3．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．AB．BC．CD．D答案B解析由共轭复数的定义可得．4．复数eq\f(\r(2)－i3,1－\r(2)i)等于()A．i B．－iC．2eq\r(2)－i D．－2eq\r(2)＋i答案A解析eq\f(\r(2)－i3,1－\r(2)i)＝eq\f(\r(2)＋i,1－\r(2)i)＝eq\f(?\r(2)＋i?i,?1－\r(2)i?i)＝eq\f(?\r(2)＋i?i,\r(2)＋i)＝i.5.eq\x\to(z)是z的共轭复数．若z＋eq\x\to(z)＝2，(z－eq\x\to(z))i＝2(i是虚数单位)，则z等于()A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i答案D解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋eq\x\to(z)＝2a＝2，得a＝1.(z－eq\x\to(z))i＝2bi2＝2，得b＝－1，∴z＝1－i.6．设复数z满足eq\f(1－z,1＋z)＝i，则|1＋z|的值为()A．0B．1C.eq\r(2)D．2答案C解析由eq\f(1－z,1＋z)＝i，得z＝eq\f(1－i,1＋i)＝－i，∴|1＋z|＝|1－i|＝eq\r(2).7．已知f(n)＝in－i－n(n∈N＋)，则集合{f(n)}的元素个数是()A．2B．3C．4D．无数个答案B解析f(n)有三个值0,2i，－2i.8．已知关于复数z＝eq\f(2,1＋i)的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z在复平面内对应的点位于第四象限．其中的真命题为()A．p2，p3 B．p1，p4C．p2，p4 D．p3，p4答案D解析z＝eq\f(2,1＋i)＝eq\f(2?1－i?,?1＋i??1－i?)＝1－i，p1：|z|＝eq\r(1＋?－1?2)＝eq\r(2).p2：z2＝(1－i)2＝－2i.p3：z的共轭复数为1＋i，真命题．p4：z在复平面内对应点的坐标为(1，－1)，位于第四象限，真命题．故选D.9．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A(0,1)，B(－1,3)，则eq\f(z2,z1)等于()A．3＋i B．3－iC．－1＋3i D．－3－i答案A解析z1＝i，z2＝－1＋3i，eq\f(z2,z1)＝eq\f(－1＋3i,i)＝3＋i.10．已知eq\x\to(z)是复数z的共轭复数，z＋eq\x\to(z)＋z·eq\x\to(z)＝0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案A解析设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋eq\x\to(z)＝2x，z·eq\x\to(z)＝x2＋y2，所以由z＋eq\x\to(z)＋z·eq\x\to(z)＝0，得x2＋y2＋2x＝0，即(x＋1)2＋y2＝1，故选A.11．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则eq\f(a＋i2016,1＋i)的值为()A．1B．0C．1＋iD．1－i考点题点答案D解析复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，可得a＝1，eq\f(a＋i2016,1＋i)＝eq\f(1＋1,1＋i)＝eq\f(2?1－i?,?1＋i??1－i?)＝1－i.12．定义运算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，则符合条件eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1＋2i,1－i1＋i))＝0的复数z的共轭复数eq\x\to(z)对应的点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案A解析设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意可得定义运算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1＋2i,1－i1＋i))＝z(1＋i)－(1＋2i)(1－i)＝0，代入整理可得(a－b)＋(a＋b)i＝3＋i，解得a＝2，b＝－1，所以z＝2－i，所以eq\x\to(z)＝2＋i，所以复数z的共轭复数eq\x\to(z)对应的点在第一象限．故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．答案(3,4)解析∵z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所对应的点在第二象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－4m<0，,m2－m－6>0，))解得3<m<4.14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且eq\f(z1,z2)为纯虚数，则实数a的值为________．答案eq\f(8,3)解析eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋2i,3－4i)＝eq\f(?a＋2i??3＋4i?,?3－4i??3＋4i?)＝eq\f(3a＋4ai＋6i－8,25)＝eq\f(3a－8,25)＋eq\f(4a＋6,25)i，∵eq\f(z1,z2)为纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3a－8,25)＝0，,\f(4a＋6,25)≠0，))∴a＝eq\f(8,3).15．已知复数z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a，b∈R)，若|z1|<z2，则b的取值范围为________．答案(－1,1)解析由题意知，a＝0，故z1＝bi，z2＝1.∵|z1|<z2，∴|bi|<1，∴－1<b<1.16．下列说法中正确的是________．(填序号)①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈?CR，则必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝y，,1＝－?3－y?；))②2＋i>1＋i；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z＝eq\f(1,i)，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．答案⑤解析由y∈?CR知y是虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝y，,1＝－?3－y?))不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3＋1＝eq\f(1,i3)＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时：(1)z是实数；(2)z是纯虚数．解(1)要使复数z为实数，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2>0，,m2＋3m＋2＝0，))解得m＝－2或m＝－1.即当m＝－2或m＝－1时，z是实数．(2)要使复数z为纯虚数，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2＝1，,m2＋3m＋2≠0，))解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数．18．(12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝eq\f(15－5i,?2＋i?2).求：(1)z1z2；(2)eq\f(z1,z2).解z2＝eq\f(15－5i,?2＋i?2)＝eq\f(15－5i,3＋4i)＝eq\f(?15－5i??3－4i?,?3＋4i??3－4i?)＝eq\f(25－75i,25)＝1－3i，则(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)eq\f(z1,z2)＝eq\f(2－3i,1－3i)＝eq\f(?2－3i??1＋3i?,?1－3i??1＋3i?)＝eq\f(11＋3i,10)＝eq\f(11,10)＋eq\f(3,10)i.19．(12分)已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z.(1)求z并求其在复平面上对应的点的坐标；(2)求eq\f(?1＋i?2?3＋4i?2,2z)的共轭复数．解(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由已知，得eq\r(x2＋y2)＝1＋3i－(x＋yi)＝(1－x)＋(3－y)i.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＝1－x，,0＝3－y，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝3，))所以z＝－4＋3i.其在复平面上对应的点的坐标为(－4,3)．(2)由(1)知z＝－4＋3i，所以eq\f(?1＋i?2?3＋4i?2,2z)＝eq\f(2i×?9＋24i－16?,2?－4＋3i?)＝eq\f(24＋7i,4－3i)＝eq\f(?24＋7i??4＋3i?,?4－3i??4＋3i?)＝eq\f(75＋100i,25)＝3＋4i，共轭复数为3－4i.20．(12分)已知复数z满足|z|＝eq\r(2)，z2的虚部是2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．解(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.21．(12分)已知复数z＝eq\f(?－1＋3i??1－i?－?1＋3i?,i)，ω＝z＋ai(a∈R)，当eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ω,z)))≤eq\r(2)时，求a的取值范围．解因为z＝eq\f(?－1＋3i??1－i?－?1＋3i?,i)＝eq\f(1＋i,i)＝1－i，所以|z|＝eq\r(2).又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ω,z)))≤eq\r(2)，所以|ω|≤2.而ω＝z＋ai＝(1－i)＋ai＝1＋(a－1)i(a∈R)，则eq\r(12＋?a－1?2)≤2?(a－1)2≤3，所以－eq\r(3)≤a－1≤eq\r(3)，1－eq\r(3)≤a≤1＋eq\r(3).22．(12分)求同时满足下列条件的所有的复数z.(1)z＋eq\f(10,z)∈R，且1<z＋eq\f(10,z)≤6；(2)z的实部和虚部都是整数．解设z＝x＋yi(x，y∈Z)，则z＋eq\f(10,z)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(10,x2＋y2)))＋yeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(10,x2＋y2)))i.因为z＋eq\f(10,z)∈R，所以yeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs