2020-2021学年福建省宁德市高二上学期期末考试数学试题

2020-2021学年福建省宁德市高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．设点关于坐标原点的对称点是B，则等于（）A．4 B． C． D．2【答案】A【分析】求出点关于坐标原点的对称点是B，再利用两点之间的距离即可求得结果.【详解】点关于坐标原点的对称点是故选：A2．总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）第1行78166232080262426252536997280198第2行32049234493582003623486969387481A．27 B．26 C．25 D．24【答案】C【分析】利用随机数表法列举出样本的前个个体的编号，由此可得出结论.【详解】由随机数表法可知，样本的前个个体的编号分别为、、、、，因此，选出的第个个体的编号为.故选：C.3．已知a，b都是实数，那么“”是“方程表示圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】方程，即，表示圆则需，解得，因为，而反之不成立，所以“”是“方程表示圆”的充分不必要条件，故选：A4．若同时掷两个骰子，则向上的点数之和为6的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出所有基本事件的个数，找出点数之和为6的事件含有的基本事件的个数即可求解．【详解】根据题意，可知共有36个基本事件，其中向上的点数之和为6的事件含有（1,5）（5,1）（2,4）（4,2）（3,3）共5个基本事件，所以概率，故选：D5．某学校为了解传统教学和教改实验的课堂教学情况，选取20．人平均分成同样水平的两组（甲组采用教改实验教学，乙组采用传统教学），一学期以后根据他们的期末成绩绘制茎叶图，如图所示，则（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】观察茎叶图中的数据，得出甲、乙两组数据的分布特征，从而判断它们的平均数和方差的大小．【详解】观察茎叶图中的数据知，甲组数据主要集中在之间，且成单峰分布，比较集中些；乙组数据主要分布在之间，相对分散些；由此知平均数，方差．故选：B．【点睛】本题考查了利用茎叶图中的数据判断平均数与方差大小的应用问题，是基础题．6．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，，将异面直线与所成角转化为直线与所成角的大小来求解.【详解】如图所示，连接，，根据长方体的性质可知，则异面直线与所成角的大小等于与所成角的大小.在三角形中，，，所以.故选：C.【点睛】用定义法求解异面直线夹角问题时，首先要将所给的直线进行平移，找到两条异面直线夹角的平面角，然后通过求解三角形的方式求解出答案.7．已知抛物线的焦点为F，过F点倾斜角为的直线l与C交于A，B两点（A在B的右侧），则（）A．9 B． C． D．3【答案】D【分析】利用点斜式设出直线方程，代入抛物线方程，求出A，B两点的纵坐标，利用抛物线的定义，即可求得结果.【详解】抛物线的焦点为，故直线方程为：，设,，由题知联立，得，解得：利用抛物线定义知故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义，标准方程及简单的几何性质，利用抛物线定义得到是解题的关键，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于一般题.8．已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，若过点P所作的圆的两条切线互相垂直，则，则只需在双曲线上存在一点到坐标原点额距离为，设点，则利用有解求出离心率的取值范围.【详解】如图所示，设点为双曲线上一点，过点作圆的两条切线与，切点分别为与，连接，若两条切线互相垂直，则，设点，则有解，整理得有解，即，又，所以，又，故，解得.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围求解，求解离心率的的值及取值范围的关键在于画出图形，根据图形找到各边的数量关系，通过数量关系列出的齐次式求解.二、多选题9．下列有关命题的说法正确的是（）A．若命题为真命题，则命题p和命题q至少一个为真B．若命题为假命题，则命题p和命题q都是假命题C．命题“若，则”的否命题为“若，则”D．命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】AD【分析】A，B，由复合命题，的真假性及真值表可判断；C，由命题的否命题，即对条件结论都否定即可判断；D，先判断原命题的真假，再由互为逆否命题等价即可判断；【详解】对于A，：p、q中有一个为真，则为真，即有真为真，故A正确；对于B，：p、q中有一个为假，则为假，即有假即假，故B错误；对于C，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故C错误；对于D，命题“若，则”为真命题，互为逆否命题的命题真假性相同，故其逆否命题为真命题，故D正确.故选：AD10．某校为了解高二年级800名学生课余时间参加中华传统文化活动的情况（每名学生最多参加7场），随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：参加场数01234567占调查人数的百分比8%10%20%26%18%m%4%2%则以下四个结论中正确的是（）A．表中m的数值为12B．估计该年级参加中华传统文化活动场数不高于2场的学生约为144人C．若采用系统抽样方法进行调查，从该校高二800名学生中抽取容量为50的样本，则分段间隔为16D．根据上表知，从该校的高二年级的800名学生随机抽取80人，必有1人参加中华传统文化活动【答案】AC【分析】用所有组的百分比之和为即可解得的值，判断A是否正确；计算出样本中参加活动场数不高于2场的百分比，用总人数乘以百分比可得到参加活动场数不高于2场的人数，判断B是否正确；根据系统抽样的方法判断C是否正确；再根据图表可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，，得，故A正确；对于B选项，参加场数不超过2场的占，所以高二年级的名学生中参加场数不超过2场的人数大约为人，故B错；对于C选项，若采用系统抽样，且抽取容量为的样本，则分段间隔为，故C正确；对于D选项，从调查结果可发现，有的学生未参加过过传统文化活动，故D错.故选：AC.11．某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（）A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是【答案】ABC【分析】对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项.【详解】甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，随机事件“若能得3分”中有基本事件，故“能得3分”的概率为，故A正确.乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为：，随机事件“能得5分”中有基本事件，故“能得5分”的概率为，故B正确.丙同学随机选择选项（丙至少选择一项），由A、B中的分析可知共有基本事件种，分别为：选择一项：；选择两项：；选择三项或全选：，，随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，故C正确.丁同学随机至少选择两个选项，有C的分析可知：共有基本事件11个，随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，故D错.故选：ABC.【点睛】方法点睛：古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.12．已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，直线与交于、两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的是（）A．若，则的面积为B．四边形可能为矩形C．直线的斜率为D．若与、两点不重合，则直线和斜率之积为【答案】BC【分析】利用余弦定理、椭圆的定义以及三角形的面积公式可判断A选项的正误；根据四边形可能为矩形求出点的横坐标，可判断B选项的正误；利用斜率公式可判断C选项的正误；利用点差法可判断D选项的正误.【详解】在椭圆中，，，，设点、，则，如下图所示：对于A选项，由椭圆的定义可得，在中，由余弦定理可得，可得，因此，的面积为，A选项错误；对于B选项，由于直线与椭圆都关于原点对称，则点、也关于原点对称，又、关于原点对称，所以，四边形为平行四边形，若四边形为矩形，则，而，，，解得，B选项正确；对于C选项，，可知点，则，C选项正确；对于D选项，由于点、在椭圆上，则，上述两个等式相减得，可得，直线的斜率为，直线的斜率为，所以，，D选项错误.故选：BC.【点睛】结论点睛：有关点差法的结论如下：①设是椭圆的任意一条不与坐标轴垂直的弦，点为弦的中点，则直线和直线（其中为坐标原点）的斜率之积；②设是椭圆的任意一条过原点的弦，点是该椭圆上与点、不关于坐标轴对称的一点，则直线和的斜率之积为.三、填空题13．双曲线的渐近线方程为_________．【答案】（，或或或两个分开写，均给满分）【分析】由渐近线方程公式直接求解.【详解】由双曲线方程可知，，则渐近线方程.故答案为：（，或或）14．若命题“”是假命题，则a范围是_________．【答案】【分析】由题设可得为真命题，利用判别式可得a的范围.【详解】因为命题“”是假命题，故，恒成立，故即.故答案为：.15．如图所示，已知在四面体中，点、分别是棱、的中点，若，其中、、为实数，则的值为_________．【答案】【分析】连接，利用平面向量加法与减法法则可得出关于、的表达式，再由可得出、、的值，即可求得结果.【详解】连接，为的中点，则，又为的中点，则，，，因此，.故答案为：.四、双空题16．已知关于x的方程．（1）若时，方程有解，则实数a的取值范围是_________．（2）若方程有两解，则实数a的取值范围是_________．【答案】【分析】（1）令，分段讨论去绝对值可得出的函数图象是由双曲线和圆在轴的上方部分组成，则题目转化为与在的部分有交点即可数形结合求出；（2）题目等价于与的图象有2个交点，数形结合可求出.【详解】令，当，即或时，，整理可得，此时表示的图象是双曲线轴的上方部分，当，即时，，整理可得，此时表示的图象是以原点为圆心，1为半径的圆的上半部分，则可画出的函数图象如下：（1）当时，方程有解，即与在的部分有交点，当直线经过点时，，则观察图象可得；（2）若方程有两解，即与的图象有2个交点，可知与双曲线的一条渐近线平行，且与函数只有1个交点，当直线经过点时，，此时有1个交点，则观察图象可得，当直线在和之间时，有2个交点，满足题意，此时，当直线过时，有2个交点，满足题意，此时；当直线与圆部分相切与点C时，有2个交点，满足题意，此时，解得（舍负），综上，实数a的取值范围是.故答案为：；.【点睛】关键点睛：本题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是得出的函数图象是由双曲线和圆在轴的上方部分组成，将题目转化为与的图象的交点问题.五、解答题17．设命题p：实数a满足，命题q：方程：表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若，为真命题，求a的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数t的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）当时，分别求两个命题为真命题时，的取值范围，再求交集；（2）将充分不必要条件转化为子集问题，求实数的取值范围.【详解】解：(1)当时，，解得：，由方程:表示焦点在轴上的椭圆，得得：为真命题，则得（2）由得，得若是的充分不必要条件，则则，且不能同时取等.得.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．18．为创建全国文明城市，宁德市进行“礼让斑马线”交通专项整治活动，按交通法规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．下表是2020年宁德市某一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为，其中违章情况统计数据如下表：月份12345违章驾驶员人数10085807065（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程；（2）预测该路口2020年9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；并估计该路口经过几个月后“不礼让”的不文明行为可以消失．参考公式：，，参考数据：．【答案】（1）；（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为29，经过13个月“不礼让”的不文明行为可以消失.【分析】（1）首先求，，根据参考公式，分别求和，求解回归直线方程；（2）令代入回归直线方程，求的预报值，并令，求.【详解】（1）由表中数据知，∴即，∴所求回归直线方程为.（2）令，则人.令得答：预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为21，故估计经过13个月“不礼让”的不文明行为可以消失.19．某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，对视力情况绘制了如下频率分布直方图．如图所示．从左至右五个小组的频率之比依次是．（1）求x的值；（2）估计该校学生视力的平均值；（3）用频率估计概率，若从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，求抽出的学生中有两名视力不低于的概率．【答案】（1）；（2）0.66；（3）.【分析】（1）从左至右五个小组的频率之比依次是，得出每组的频率，然后用第一组的频率比组距即可得到的值；（2）在频率分布直方图中，用每个区间的中点值乘以该组的频率求和便可得到平均值；（3）先计算出随机抽取六名学生时，第3组至第5组的学生人数，然后根据古典概型的计算方法求解抽出的学生中有两名视力不低于的概率.【详解】解：（1）因为从左至右五个小组的频率之比依次是，故直方图中从左到右各组频率依次为，，，，，而组距为故（2）设该校学生视力平均值为，则（3）由第3组至第5组的频率比为得，从第3组抽取的人数为3人，记为；从第4组抽取的人数为2人，记为；从第5组抽取的人数为1人，记为，则从这6人中随机抽取两名学生的情况有：共15种，其中视力不低于0.8的有共3种，故从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，抽出的学生中有两名视力不低于0.8的概率为.【点睛】本题考查频率分布直方图的运用及古典概型概率的计算，解答的思路如下：

（1）利用频率分布直方图估计样本的平均数时，只需利用每个区间的中点值乘以本组的频率一个求和即可；（2）计算古典概型时，可采用列举法、列表法或树状图法，得出基本事件的总个数及某事件成立时所包含的基本事件个数是关键.20．已知，，动点P满足，直线．（1）求动点P的轨迹方程C；（2）若直线l与C相切，求k的值；（3）若直线l与C相交于M，N两点，O为坐标原点，的面积为，求k的值．【答案】（1）；（2）；（3）或.【分析】（1）设，利用两点间的距离公式，直接列方程即可求解.（2）根据圆心到直线的距离等于半径即可求解.（3）利用三角形的面积公式可得或，从而可得圆心到直线的距离为或，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】（1）设，则（2）直线与相切，，得（3），或圆心到直线的距离为或由得由得.或21．如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是棱长为2的菱形，侧面底面，O是AD的中点，．（1）证明：面PAD；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）分别求平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量求两法向量夹角的余弦，进而求正弦即可.【详解】（1）证明：连结，底面是菱形，，则为等边三角形，又平面平面，平面平面，平面平面（2）连结，是等边三角形，是的中点，由（1）得，两两垂直，如图建立空间直角坐标系