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第六章大数定律与中心极限定理本章要解决的问题

为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？为何能以样本均值作为总体期望的估计？为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？大样本统计推断的理论基础是什么？答复大数定律中心极限定理设非负随机变量

X的期望E(X)存在，则对于任意实数

>0,马尔可夫（Markov）不等式证仅证连续型随机变量的情形6.1契比雪夫不等式设随机变量

X的k阶绝对原点矩E(|X|k)存在，则对于任意实数

>0,推论1证由马尔可夫（Markov）不等式有设随机变量

X的方差D(X)存在，则对于任意实数

>0,推论2

——切贝雪夫（chebyshev）不等式或证由马尔可夫（Markov）不等式有：例1

设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中,良种所占比例与

1/6比较上下小于1%的概率.解设

X

表示6000粒种子中的良种数,X~B(6000,1/6)实际精确计算：用Poisson分布近似计算：=np=1000例2

设每次试验中，事件A发生的概率为0.75,

试用Chebyshev不等式估计,n

多大时,才能在

n

次独立重复试验中,事件

A出现的频率在0.74~0.76之间的概率大于0.90?解设

X

表示

n

次独立重复试验中事件A发生的次数,则X~B(n,0.75)要使，求n即即由Chebyshev不等式，=0.01n,故令解得1、Chebyshev大数定律（定理）则有是相互独立的随机变量序列，每一都有有限的方差，且有公共上界，可设6.2大数定律证明：对随机变量，利用契比雪夫不等式，有：或者定义a

是一常数，(或则称随机变量序列依概率收敛于常数a,记作契比雪夫大数定律即是一系列随机变量，设有若2、辛钦大数定律

设相互独立，服从同一分布，且具有数学期望E(Xk)=,k=1,2,…,则对任意正数

>0证明：在Chebyshev大数定律中代入即得即辛钦大数定律的意义：当

n

足够大时，算术平均值几乎就是一个常数,可以用算术平均值近似地代替数学期望.具有相同分布的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.即回答了：为何能以样本均值作为总体期望的估计？3、贝努里（Bernoulli）大数定律设

nA

是n

次独立重复试验中事件A发生的次数,p

是每次试验中A发生的概率，则有或证引入随机变量序列{Xk}设则相互独立，在辛钦大数定律中代入即得即在概率的统计定义中，事件A

发生的频率“稳定于”事件A在一次试验中发生的概率是指：频率与

p

有较大偏差是小概率事件,因而在n

足够大时,可以用频率近似代替

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