2020届华大新高考联盟名校高三考试数学（理）试题

/26/26/2020届华大新高考联盟名校高三押题考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】本题首先可以通过计算得出集合或以及集合，然后通过交集的相关性质即可得出结果.【详解】因为，即，解得或，所以集合或，因为，解得，所以集合，故，故选：D.【点睛】本题考查集合的运算，主要考查交集的相关性质，考查对数函数的定义域以及绝对值不等式的解法，考查计算能力，体现了基础性与综合性，是简单题.2．已知复数满足，则的共轭复数为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】转化为，再利用复数的乘除法运算计算即可.【详解】解：由题知，所以的共轭复数为.故选：A.【点睛】本题考查复数的乘除法运算，共轭复数的概念，是考查数学运算能力，是基础题.3．随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势，我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品”.下图是2015年—2019年，我国对快递行业发展的统计图.下面描述错误的是（）A．从2015到2019年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势B．2016年，快递业务量增长速度最快C．从2016到2019年，快递业务量增长速度连续上升D．从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓【答案】C【解析】本题首先可以结合图像判断出A正确，然后求出从2016到2019年每一年的快递业务量增长率，即可得出结果.【详解】结合图像易知，我国快递业务量保持逐年增长的趋势，A正确，2016年，快递业务量增长率为；2017年，快递业务量增长率为；2018年，快递业务量增长率为；2019年，快递业务量增长率为；故2016年的快递业务量增长速度最快，B正确，从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓，C错误，D正确，故选：C.【点睛】本题主要考查学生对增长率的理解，能否从题意中找出需要的信息是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.4．设，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用对数运算，化为同底的对数，再利用对数函数单调性比较大小即可.【详解】解：∵，∴∵，∴综上.故选：B.【点睛】本题考查了对数的运算，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．5．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】首先根据奇函数，排除A、D，再根据，，排除C，即可得到答案。【详解】的定义域为，∵，∴函数奇函数，排除A、D，又因为，，排除C。故选：B【点睛】本题主要考查函数的图象，同时考查了函数的奇偶性，特值法为解决本题的关键，属于中档题。6．2020年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北.某地有3名医生、6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据分步计数原理，先求分医生的方案数，再求分护士的方案数，两者相乘得到总的方案数；求医生甲、护士乙和另一名护士作为一组分到同一家医院方案数，再求剩下的2名医生分到另两家医院的方案数，再求剩下的4名护士分到另两家医院的方案数，三者相乘得到医生甲和护士乙分到同一家医院的方案数，则概率可求.【详解】3名医生分到三家医院的方案有，6名护士分到三家医院的方案有，所以分配方案共有.医生甲、护士乙和另一名护士作为一组分到同一家医院方案有，剩余的2名医生分到另2家医院方案有，剩余的4名护士分到另2家医院方案有，所以医生甲和护士乙分到同一家医院的方案共有，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为.故选：D.【点睛】本题主要考查分步计数原理和古典概型的应用，属于中档题.7．中，、分别是、上的点，且，，与交于点，则下列式子正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】作出图形，连接，利用相似三角形计算得出，进而可得出，结合平面向量的基本定理可得解.【详解】如下图所示：连接，则，，，，因此，.故选：D.【点睛】本题考查利用基底表示平面向量，解答的关键就是推导出，考查计算能力，属于中等题.8．珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度．2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在点处的测量觇标高10米，攀登者们在处测得到觇标底点和顶点的仰角分别为70°，80°，则、的高度差约为（）A．10米 B．9.72米 C．9.40米 D．8.62米【答案】C【解析】先根据题意建立三角形模型，再根据三角形的知识求解即可.【详解】解：根据题意画出如图的模型，则，，，所以，，所以，所以在中，（米）故选：C.【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，考查数学建模能力，是基础题.9．双曲线的方程为：（，），过右焦点作双曲线一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点，与双曲线右支交于点，点恰好为的中点，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．3【答案】A【解析】求出双曲线的渐近线方程，求出过右焦点的直线方程，求出的坐标，得到中点坐标，代入双曲线方程，求解即可.【详解】双曲线（，）的右焦点，双曲线的渐近线方程不妨为：，则过双曲线的右焦点作一条渐近线的平行线为：由，解得，线段的中点恰好在此双曲线上，可得：，即，得，故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线离心率的求法，属于中档题.10．中，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】本题首先可以根据得出，然后根据得出，与联立解得，最后将、代入中即可得出结果.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，化简得，代入，解得，再将、代入中，即，故选：C.【点睛】本题考查正弦定理边角互化以及余弦定理解三角形，考查的公式为，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.11．已知函数，若关于的方程恰好有4个实根，，，，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意，作出函数的图象，利用方程恰好有4个实根，可得，设，进而可得，可得，故可得结论.【详解】由题意，函数，则函数的图象为：由图象可知，方程恰好有4个实根，则实数，设，则为方程的两个实根，故，由，即，即，所以，，而，故的取值范围为.故选：D.【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，分析能力，属于基础题.12．正方体的棱长为3，点，分别在棱，上，且，，下列命题：①异面直线，所成角的余弦值为；②过点，，的平面截正方体，截面为等腰梯形；③三棱锥的体积为；④过作平面，使得，则平面截正方体所得截面面积为．其中所有真命题的序号为（）A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】C【解析】对于①：取的三等分点为，使，利用已知条件找到异面直线，所成的角，即可得出结果；对于②：取的三等分点为，使，利用已知条件得到四边形即为所求截面，即可得出结论；对于③：利用等体积法求解即可；对于④：取的三等分点为，使，取的三等分点为，使，猜想出面即为所求的截面，建立空间坐标证明推测，代入数值即可求出结论【详解】对于①：取的三等分点为，使，又，且，四边形为平行四边形，且，四边形为平行四边形，，则为异面直线，所成的角，连接，由题意得：，所以；故①正确；对于②：取的三等分点为，使，又，且，四边形为平行四边形，则且，又由①得：且，则且，四边形为平行四边形，，取的中点为，连接，又，，则四边形即为所求截面，由题意知：，则②不正确；对于③：，又面，，，故③正确；对于④：取的三等分点为，使，取的三等分点为，使，，则面即为所求的截面，建立如图所示的空间坐标系，则，，，所以面；由已知条件得：，等腰梯形的高为：，所以截面面积为：.故④正确.故选：C.【点睛】本题主要考查异面直线所成角以及线线平行问题，还考查了等体积法求四棱锥的体积以及利用空间向量解决线面垂直问题；问题的关键是截面不容易找.属于较难题.二、填空题13．已知实数，满足约束条件，则的最大值为______．【答案】6【解析】作出不等式组对应的可行域，如下图阴影部分，当目标函数过点时，取得最大值，求解即可.【详解】作出不等式组对应的可行域，如下图阴影部分，联立，可得，目标函数可化为，当目标函数过点时，取得最大值，.故答案为：6.【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合的数学方法的应用，属于基础题.14．函数在点处的切线方程为______．【答案】【解析】先求出切点，然后结合导数的几何意义可求出切线斜率，进而可求出切线方程.【详解】由题意，，即切点为，对函数求导，，则，即切线的斜率为，所以切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，属于基础题.15．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，则四边形面积的最小值为______．【答案】2【解析】易知直线和的斜率都存在且不为0，设直线的方程为，与抛物线的方程联立，结合韦达定理，可求出的表达式，同理可得出的表达式，由四边形的面积，并结合基本不等式可求得面积的最小值.【详解】由题意可知，直线和的斜率都存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的斜率为，焦点的坐标为，则直线的方程为，联立，得，则，所以，同理可得，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以四边形面积的最小值为2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系应用，弦长的求法，基本不等式的应用，意在考查学生的数学运算能力.三、双空题16．如图有标号为1，2，3的三根柱子，在1号柱子上套有个金属圆片，从下到上圆片依次减小.按下列规则，把金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，要求：①每次只能移动一个金属圆片；②较大的金属圆片不能在较小的金属圆片上面．（1）若时，至少需要移动______次；（2）将个金属圆片全部移到3号柱子，至少需要移动______次．【答案】7【解析】分别讨论时，的值，再合情推理即可.【详解】解：设是把个金属圆片从1号柱子移到3号柱子过程中移动的金属圆片最少次数，∴当时，；当时，小金属圆片移到2号柱，大金属圆片移3号柱，再将小金属圆片从2号柱移到3号柱，完成任务，所以共移动的次数为：；当时，用种方法把中、小金属圆片移动到2号柱，大金属圆片移动到3号柱，再用种方法把中、小金属圆片移动到2号柱移动到3号柱，完成任务，所以共移动的次数为：；当时，用种方法把前三片金属圆片移动到2号柱，最后一片大金属圆片移动到3号柱，再用种方法把2号柱金属圆片移动到3号柱，完成任务，所以共移动的次数为：；以此类推，【点睛】本题考查合情推理知识点，考查逻辑推理能力，是中档题.四、解答题17．已知函数的周期为．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的取值范围．【答案】（1），；（2），．【解析】（1）先利用降幂公式和辅助角公式将函数化成，再根据周期求得，再结合正弦函数的性质求解即可；（2）利用正弦函数的图象，解不等式即可.【详解】解：（1），，．∴，解得，∴的递增区间为，（2）∵，∴，∴，∴，，解得：，．∴的的取值范围为，【点睛】本题考查三角函数恒等变换，三角函数的单调区间求解，三角不等式的解法，考查数学运算能力，是中档题.18．如图，，，均为正三角形，，中点为，将沿翻折，使得点折到点的位置．（1）证明：平面；（2）当时，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证，，证用线面垂直的判定可得；（2）证，得，，两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，使用空间向量求二面角的平面角即可.【详解】（1）证明：∵，，为正三角形，中点为，∴，，，∴平面，∵，∴，∴平面．（2）解：，，∴．∵，，∴，，两两垂直．以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，．设平面的法向量为，，，，，令，得，．设平面的法向量为，，，，，令，得，，∵二面角为钝角，∴二面角的余弦值为，【点睛】本题考查线面垂直判定及计算二面角大小.计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小19．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）过的直线交曲线于，两点，的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，求的最小值．【答案】（1）；（2）1【解析】（1）设，由，可建立等式关系，进而可得到轨迹方程；（2）设直线方程为，与曲线方程联立，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理，可得到点的坐标，及的表达式，然后再求得的表达式，进而可得到的关系式，求出最小值即可.【详解】（1）设，根据题意有，化简得：．（2）设直线方程为，联立，得，设，，得，，，，∴，则，，，所以，则，令，，则在上单调递增，∴时，，取得最小值1．【点睛】本题考查轨迹方程，注意点的范围，考查弦长的计算，考查学生的计算求解能力，属于中档题.20．某县自启动精准扶贫工作以来，将伦晩脐橙种植作为帮助农民脱贫致富的主导产业.今年5月，伦晩脐橙喜获丰收.现从已采摘的伦晩中随机抽取1000个，测量这些果实的横径，得到如图所示的频率分布直方图．（1）已知这1000个伦晩脐橙横径的平均数，求这些伦晩脐橙横径方差．（2）根据频率分布直方图，可以认为全县丰收的伦晚横径值近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．（ⅰ）若规定横径为的为一级果，则从全县丰收的果实中任取一个，求恰好为一级果的概率；（ⅱ）若规定横径为84.7mm以上的为特级果，现从全县丰收果实中任取一个进行进一步分析，如果取到的不是特级果，则继续抽取下一个，直到取到特级果为止，但抽取的总次数不超过，如果抽取次数的期望值不超过8，求的最大值．（附：，，，，，若，则，）【答案】（1）37.5；（2）（ⅰ）0.025；（ⅱ）8.【解析】（1）根据方差的计算公式，即可求得伦晩脐橙横径方差；（2）（ⅰ）由全县丰收的横径值近似服从正态分布，即可求得相应的概率；（ⅱ）由（2）求得每次取一个，取到特级果的概率，求得期望的表达式，结合单调性，即可求解.【详解】（1）由这1000个伦晩脐橙横径的平均数，根据方差的计算公式，可得．（2）（ⅰ）由频率分布直方图，全县丰收的横径值近似服从正态分布，可得．（ⅱ）由（2）可得，即每次取一个，取到特级果的概率，123……则，可得，两式相减得：，，所以在上递增，当，，当，，当，，∴的最大值为8．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图中方差的计算及应用，以及正态分布的概率的计算，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及计算能力.21．已知函数．（1）求在上的单调区间；（2）证明：对任意的，不等式恒成立．【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2）证明见解析【解析】（1）求导得，由，；，；，，可得到的单调区间；（2），要证成立，即证，易知，即证，即，通过构造函数可证明恒成立，从而证明即可.【详解】（1），，，单调递增；，，单调递减；，，单调递增．∴的单调递增区间为，；单调递减区间为.（2）证明：，，要证成立，即证，因为，所以，所以．即证，即．令，，显