2020届湖南省常德市第二中学高三下学期临考冲刺数学（文）试题

/20/20/2020届湖南省常德市第二中学高三下学期临考冲刺数学（文）试题一、单选题1．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】首先化简所给的复数，然后确定其所在的象限即可.【详解】－i，对应点的坐标为(，－)位于第四象限.故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数所在象限的特征，属于基础题.2．已知集合，若，则实数的取值集合为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分别令和，求得后，验证是否满足集合元素的互异性即可得到结果.【详解】当时，，此时，满足题意；当时，或；若，，满足题意；若，，不满足互异性，不合题意；实数的取值集合为.故选：.【点睛】本题考查根据元素与集合关系求解参数值的问题，易错点是忽略求得参数值后，需验证集合中元素是否满足互异性.3．为庆祝建国70周年，某校举办“唱红歌，庆十一”活动，现有A班3名学生，B班2名学生，从这5名学生中选2人参加该活动，则选取的2人来自不同班级的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】采用列举法列举出所有选法，并从中找出符合条件的选法种数，根据古典概型概率公式计算求得结果.【详解】将班学生编号为，班学生编号为.则选取两人有，，，，，，，，，，共种选法，其中人来自不同班级的有，，，，，，共种，所求概率.故选：.【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，解决此类问题常采用列举法，属于基础题.4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若到双曲线的渐近线的距离为，离心率，则焦距的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据焦点到渐近线的距离为，知，由离心率可得的不等关系，由不等式性质可求的范围.【详解】因为到双曲线的渐近线的距离为，∴，又，∴，又∵，∴，∴，所以.【点睛】本题主要考查了离心率，的关系，焦点到渐近线的距离，属于中档题.5．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A．25 B．56 C．119 D．246【答案】C【解析】根据框图，模拟运行程序即可得出结果.【详解】运行程序：不成立；不成立；不成立；不成立；成立，，输出，结束程序.【点睛】本题主要考查了程序框图，属于中档题.6．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马中，为阳马中最长的棱，，若在阳马的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知的长等于其外接球的直径，可知，计算棱锥的体积，球的体积，根据古典概型即可求解.【详解】根据题意，的长等于其外接球的直径，因为，∴，∴，又平面，所以，∴.【点睛】本题主要考查了棱锥的外接球，棱锥的体积，球的体积，古典概型，属于中档题.7．设，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据三角函数的诱导公式化简，再由正切的二倍角公式求出的值，根据对数的运算估算的范围，即可比较三者的大小.【详解】∵，，∴，，因为，∴，因为，所以.【点睛】本题主要考查了诱导公式，正切的二倍角公式，对数的运算性质，属于中档题.8．已知一个几何体的三视图如图所示，则被挖去的几何体的侧面积的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由三视图可知几何体为圆锥内部挖去一个圆柱，设圆柱的高为，底面半径为，根据比例关系得出的关系，代入圆柱的侧面积公式，利用二次函数求最值即可.【详解】根据三视图，圆锥内部挖去的部分为一个圆柱，设圆柱的高为，底面半径为，则，∴.故，当时，的最大值为.【点睛】本题主要考查了三视图，圆柱的侧面积公式，二次函数求最值，属于中档题.9．函数的部分图象大致为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先由函数解析式可得函数为奇函数，再结合奇函数图像的性质逐一检验即可得解.【详解】解：由已知可得函数的定义域为，且，则函数为奇函数，则函数的图象应该关于原点对称，排除C和D，当时，，排除B，故A正确.故选：A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了奇函数的性质，属基础题.10．定义：表示，两数中较小的数．例如.已知，，若对任意，存在，都有成立，则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意求出函数的解析式,作出函数的图象,结合图像求出函数在区间上的最大值,利用函数单调性求出函数在区间上的最大值,根据题意,解关于的不等式即可.【详解】由题意可得,函数,即函数，作出函数的图象如图所示：由图象可得,当时，；因为函数为定义在上的增函数,所以当时，.由题意知，即，解得,所以实数的取值范围为，故选:C【点睛】本题考查数形结合的思想和利用函数图象和函数单调性求函数最值解决任意与存在性问题,正确求出函数解析式，作出函数的图象和抽象出不等式是求解本题的关键;属于抽象型、难度大型试题.11．已知函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数的最小正周期为为函数的一条对称轴，则函数的一个增区间为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由辅助角公式化简函数解析式,利用三角函数的平移变换公式得到函数的解析式,利用最小正周期公式求出,再利用正弦函数的对称轴求出,由正弦函数的单调递增区间求解即可.【详解】由题意知,，所以，因为的最小正周期为，所以，解得，所以,由为的一条对称轴，则，即,因为,可得所以函数，因为函数的单调递增区间为,所以令，解得,当时,,故选:C【点睛】本题考查利用正弦函数的有关性质求正弦型函数解析式及单调区间;熟练掌握正弦函数的有关性质是求解本题的关键;属于中档题.12．已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求．数列前项和，则，两式错位相减并整理即得.二、填空题13．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.【答案】【解析】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或），所以.【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.14．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份1234用水量4.5432.5由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则等于___【答案】【解析】首先求出x，y的平均数，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．【详解】：（1+2+3+4）＝2.5，（4.5+4+3+2.5）＝3.5，将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是0.7x+a，可得3.5＝﹣1.75+a，故a＝．故答案为【点睛】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是基础题15．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若＝2，则椭圆的离心率为________.【答案】【解析】过点作轴，垂直为，由三角形相似得到点的坐标，代入椭圆方程，变形求椭圆的离心率.【详解】，设，过点作轴，垂直为，如图由且＝2，，，代入椭圆方程得，解得：.故答案为：【点睛】本题考查椭圆的性质，重点考查数形结合分析问题的能力，本题的关键是利用三角形相似求得点的坐标，属于中档题型.16．已知正四面体P－ABC的棱长均为a，O为正四面体P－ABC的外接球的球心，过点O作平行于底面ABC的平面截正四面体P－ABC，得到三棱锥P－A1B1C1和三棱台ABC－A1B1C1，那么三棱锥P－A1B1C1的外接球的表面积为________.【答案】【解析】先求正四面体P－ABC的高和外接球半径，再根据正四面体P－ABC与三棱锥P－A1B1C1相似，用高求出相似比，求得三棱锥P－A1B1C1的外接球的半径，从而求得外接球的表面积.【详解】作示意图如图所示,为的中心，为三角形的中心，则，，则正四面体P－ABC的高＝a，则R2＝2＋2，解得R＝a.三棱锥P－A1B1C1的高为，，∴∶＝3∶4，所以三棱锥P－A1B1C1的外接球的表面积为4π×2×2＝a2.故答案为：【点睛】本题考查了正四面体的外接球相关知识，根据正四面体的性质，求出外接球的半径是解决问题的关键.三、解答题17．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】（1）an＝2n－1；（2）Tn＝【解析】（1）根据等差数列的求和公式表示出S1，S2，S4，然后利用S1，S2，S4成等比数列可得首项，从而可得数列{an}的通项公式；（2）先求出，然后利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn.【详解】（1）因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，由题意得＝S1S4，即(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.（2）由题意可知＝.当n为偶数时，当n为奇数时，所以Tn＝.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解和裂项相消法求和，特殊数列通项公式的求解一般化归基本量运算，裂项相消法求和时注意剩余项的多少，侧重考查数学运算的核心素养.18．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量(单位：克)分别在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400]中，经统计得频率分布直方图如图所示.（1）现按分层抽样的方法从质量为[250，300)，[300，350)内的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在[300，350)内的概率；（2）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A方案：所有芒果以10元/千克收购；B方案：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购.通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？【答案】（1）；（2）B方案【解析】（1）利用枚举法求出所有可能的情况，再利用古典概型概率公式求解即可.（2）分别计算两种方案的获利再比较大小即可.【详解】（1）设质量在[250，300)内的4个芒果分别为A，B，C，D，质量在[300，350)内的2个芒果分别为a，b.从这6个芒果中选出3个的情况共有(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，D)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，D，a)，(A，D，b)，(A，a，b)，(B，C，D)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，D，a)，(B，D，b)，(B，a，b)，(C，D，a)，(C，D，b)，(C，a，b)，(D，a，b)，共计20种.其中恰有1个在[300，350)内的情况有(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，D，a)，(A，D，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，D，a)，(B，D，b)，(C，D，a)，(C，D，b)，共计12种，因此概率P＝＝.（2）方案A：(125×0.002＋175×0.002＋225×0.003＋275×0.008＋325×0.004＋375×0.001)×50×10000×10×0.001＝25750(元).方案B：由题意得低于250克：(0.002＋0.002＋0.003)×50×10000×2＝7000(元)；高于或等于250克：(0.008＋0.004＋0.001)×50×10000×3＝19500(元)，所以共获利7000＋19500＝26500(元).由于25750<26500，故B方案获利更多，应选B方案.【点睛】该题考查的是有关概率与统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的用法以及古典概型的方法，同时也考查了根据样本估计总体的方法等，属于中档题目.19．如图所示，正三角形的边长为2，分别在三边和上，为的中点，．（Ⅰ）当时，求的大小；（Ⅱ）求的面积的最小值及使得取最小值时的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，取最小值【解析】试题分析：本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示，在中，利用正弦定理，用表示，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的和代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定的最小值．试题解析：在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得．由，得，整理得，所以．（2）＝．当时，取最小值．【考点】1．正弦定理；2．两角和的正弦公式；3．倍角公式．【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、两角和的正弦公式、同角的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式和三角形的面积公式，解题时一定要注意对公式的正确使用，否则很容易失分．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点O，以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的方程；(2)设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|．求直线AB的斜率．【答案】(1)(2)-1【解析】试题分析：（1）先设抛物线标准方程，代入点坐标可得抛物线方程（2）由|PM|=|PN|得直线PA与PB的倾斜角互补,设直线PA斜率，与抛物线方程联立解得A，同理可得B，最后利用斜率公式求AB斜率试题解析：解:(Ⅰ)根据题意,设抛物线C的方程为由抛物线C经过点,得,所以抛物线C的方程为(Ⅱ)因为,所以,所以,所以直线PA与PB的倾斜角互补,所以根据题意,直线AP的斜率存在,设直线AP的方程为:,将其代入抛物线C的方程,整理得设,则,,所以以-k替换点A坐标中的k,得所以,所以直线AB的斜率为-1.21．如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.（1）若弧BC的中点为D，求证：平面；（2）如果的面积是9，求此圆锥的