2023年冀教版初三数学知识点

初三上册

23章数据分析

23.1平均数和加权平均数

1、一般地，我们把n个数斗，％2,…，％”的和与n的比，叫做这n个数的算术平均

数，简称平均数，记作读作“x拔”，即

~=1.、

X_(X|+・・・+).

n

2、已知n个数不，％2,…，%，若”，卬2,…，吗为一组正数，则把

XVV.+%,叫+...+x„w„

——------叫做n个数石，％2,…，%的加权平均数，

阴，叫,...，卬〃分别叫做这n个数的权重，简称权。

23.2中位数和众数

1、一般地，将n个数据按大小顺序排列，假如n为奇数，那么把处在中间位置的

数据叫做这组数据的中位数;假如n为偶数，那么把处在中间位置的两个数据的

平均数叫做这组数据的中位数。

2、一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。一组数据的众数

也许不止一个，也也许没有众数。

23.3方差

设n个数据玉，％2,…，％”的平均数为x，各个数据与平均数偏差的平方分别是

222

(X,-；),(X2-X),...,(X„-X)O偏差平方的平均数叫做这组数据的方差，用S2表

达，即

S~=-（X]_X）~+（%2—%）?+…+（X„—X）~

n

当数据分布比较分散时，方差较大;当数据分布比较集中时，方差较小。因此，方

差的大小反映了数据波动（或离散限度）的大小。

23.4用样本估计总体

由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不同;当样

本容量较小时，差异也许还较大。但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动

变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。因此，在实际中经常用样本

的平均数估计总体的平均数。同样的道理,我们也用样本的方差估计总体的方

差。

24章一元二次方程

24.1一元二次方程

1、只具有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二

2

次方程。一元二次方程的一般形式为9+Z?x+c=O（awO）.其中，ax

是二次项，。是二次项系数，人工是一次项，人是一次项系数，c是常数项。一

元二次方程的解也叫做这个方程的根。

24.2解一元二次方程

1、配方法:通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平

方，另一边为常数，当常数为非负数时，运用开平方，将一元二次方程转化为两个

一元一次方程，从而求出原方程的根。配方时，先将常数项移至等号右边，然后将

二次项系数化为1,再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

2、对于一元二次方程ox?+bx+c=O:

当从一44〉0时，方程有两个不相等的实数根；

当。2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根；

当。2一4«<0时，方程没有实数根。

我们把〃一4ac叫做一元二次方程o?+以+。=0的根的判别式。

3、当4acN0时，一元二次方程ax2+bx+c^0的两实数根可以用

》=士企二亚求出。这个式子叫做一元二次方程的求根公式。运用求根公

2a

式解一元二次方程的方法叫做公式法。

4、因式分解法：把一元二次方程的一边化为0,另一边分解成两个一次因式的

乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。

24.3一元二次方程根与系数关系

假如一元二次方程ax2+bx+c^0的两根分别为,那么

bc

X

\+犬2=，工1•%2=_O

aa

24.4一元二次方程的应用

25章图形的相似

25.1比例线段

1、假如选用同一度量单位，量得线段”和。的长度分别为“和〃，我们就把机和

〃的比叫做线段a和b的比,记作a:8=m〃，或四=生。

bn

2、在四条线段a,4c,d中，假如。与b的比等于c与d的比，即@=:，我们就

bd

把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。

3、比例的基本性质

假如=£,那么ad=beo

bd

假如ad=〃c,那么—=—(Z?,JwO)

bd

特别地，假如@=2,即。2=ac,就把b叫做a,c的比例中项。

bc

»acm/Q+C+….

假/D3如一=-=...=—=%t,那么----------=k

bdnb+d+…+几

4、黄金分割

在线段AB上有一点C,假如点C把AB提成的两条线段AC和BC满足

生=生,那么称线段AB被点C黄金分割，点C称为线段AB的黄金分割

ABAC

点称为黄金比。黄金比丝=造二1。0.618

ABAB2

每条线段上的黄金分割点都有两个。

25.2平行线分线段成比例

(1)基本领实..

两条直线被一组平行线所截，截得的相应线段成比例。B飞I;

相应线段是指两条直线被一组平行线所截得的线段(AB4T〃与

DE、BC与EF、AC与DF),相应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比,

等于另一条直线上与它们相应的线段的比。

ABDEABDEBCEF

~BC~~EF'~AC~~DF，~AC~~DF

(2)推论1

平行于三角形一边的直线截其他两边(或

两边的延长线)，所得的相应线段成比

例。

ADAEADAEBDCE

~AB~~AC，~DB~~EC，~AB~~AC

(3)推论2

平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所

截得的三角形与原三角形的相应边成比例。

“…八百clA。

在△ABC中，DE//BC,——=——AE=——DE

ABACBC

25.3相似三角形

(1)相应角相等、相应边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形相

应边的比叫做它们的相似比。假如两个三角形相似，那么它们的相应角相等，相

应边成比例。

（2）运用平行线分线段成比例鉴定两个三角形相似

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形

与原三角形相似。

25.4相似三角形的鉴定

相似三角形的鉴定定理

（1）两角相应相等的两个三角形相似。

（2）两边相应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

⑶三条边相应成比例的两个三角形相似。

（4）直角边和斜边相应成比例的两个直角三角形相似。

25.5相似三角形的性质

相似三角形的性质定理

（1）相似三角形相应高的比、相应中线的比、相应角平分线的比，都等于相似

比。

（2）相似三角形周长的比等于相似比。

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

25.6相似三角形的应用

25.7相似多边形和图形的位似

（1）形状相同的图形称为相似图形。一般地，假如两个多边形的相应角相等、

相应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形。相似多边形相应边的比叫

做它们的相似比。

（2）两个图形不仅相似，并且通过每对相应顶点的直线相交于一点，相应边互

相平行（或重合），我们把这样的两个图形称为位似图形，相应顶点所在直线的交

点称为位似中心,这时的相似比又称位似比。

（3）位似图形的画法

①拟定位似中心（位似中心可以在图形外部、图形内部或图形的边上）；

②选取图形的关键点（一般是顶点）并分别连接各关键点与位似中心，并延长成

射线；

③根据位似比在射线上取点，得到各关键点的相应点；

④顺次连接各相应点，得到相应的位似图形。

26章解直角三角形

26.1锐角三角函数

1>如图，在RSABC中,ZC=90°

ZA的对边与邻边的比叫做/A的正切，记作tanA,即

4NA的对边a

tanA=-------------=——NA的对边

NA的邻边bNB的邻边

NA的对边与斜边的比叫做NA的正弦，记作sinA,即

NA的邻边

NB的对边

NA的对边a

sinA=

斜边c

NA的邻边_b

ZA的邻边与斜边的比叫做/A的余弦，记作cosA,BPcosA斜边建

2、一些特殊角的三角函数值

30°45°60°

sina1V2

2V

cosax/3V21

万

tana1

3

3、在直角三角形中，锐角a的对边与斜边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻

边的比，都是唯一拟定的;当锐角a变化时，相应的比值也会发生相应的变化。

我们把锐角a的正弦、余弦和正切统称为a的三角函数。

为方便起见，此后将($：!侦分别记作。

1110)2,(＜：0$&),110)2S1112«,(;；0520/211%

26.2锐角三角函数的计算

26.3解直角三角形

1、在直角三角形中，除直角外，尚有三条边和两个锐角共五个元素。由这五个

元素中的已知元素求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形。

2、在RSABC中,ZC=90°

三边之间的关系是/+/=/.

两锐角之间的关系是NA+NB=90°.

边角之间的关系是

NA的对边_a

bin/I-

斜边c

NA的邻边_b

cosA二

斜边c

NA的对边_a

tanA=

'NA的邻边-b

在边角之间的关系中，将NA换成NB,同时将a,b互换，即可得到NB与边之

间的关系式。

根据以上关系，假如知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求

出其他三个元素。

26.4解直角三角形的应用

我们通常把坡面的垂直高度h和水平宽度1的比g叫做坡面的坡度（或坡比），坡

面与水平面的夹角a叫做坡角。显然，tan。=[

27章反比例函数

27.1反比例函数

一般地，假如变量y和变量x之间的函数关系可以表达成

y=&(左为常数，跳。0)的形式，那么称y为X的反比例函数,k称为比例系数，自

X

变量X的取值范围是不等于0的实数。

27.2反比例函数的图像和性质

反比例函数y=幺伏为常数，跳工0)的图像由分别位于两个象限内的两条曲线

X

组成，这样的曲线叫做双曲线。

对于反比例函数旷=^,当k〉0时，它的图像位于第一、三象限，在每个象限内,

X

y的值随x的值增大而减小；当k<0时，它的图像位于第二、四象限，在每个

象限内,y的值随x的值增大而增大。

27.3反比例函数的应用

28章圆

28.1圆的概念及性质

(1)平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫做圆，这个定点叫

做圆心，这条定长叫做圆的半径。

(2)圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆也是中心对称

图形，圆心是它的对称中心。

(3)圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦。过圆心的弦叫做这个圆的直

径。

(4)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的直径将这个圆提成可以完全

重合的两条弧，这样的一条弧叫做半圆。

(5)大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

(6)可以完全重合的两个圆叫做等圆。可以完全重合的两条弧叫做等弧。

28.2过三点的圆

(1)不在同一条直线上的三点拟定一个圆。

(2)我们把通过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做

三角形的外心。

28.3圆心角和圆周角

(1)顶点在圆心的的角叫做圆心角。圆的每一个圆心角都相应一条弦和一条

弧。

(2)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等。

(3)在同圆或等圆中，两个圆心角及其所相应的两条弦和所相应的两条弧这三组量

中,只要有一组量相等，其他两组量就分别相等。

(4)顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。

(5)圆周角定理

圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

(6)直径所对的圆周角是直角。

90°的圆周角所对的弦是直径。

(7)同弧所对的圆周角相等。

(8)四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形

的外接圆。

(9)圆内接四边形的对角互补。

28.4垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

28.5弧长和扇形面积的计算

(1)计算公式

2

设〃。圆心角所对弧的长为/，所对扇形的面积为S,则/="，S=或

180360

(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线。圆锥的顶点与

底面圆心之间的线段叫做圆锥的高。

(3)将圆锥的侧面沿母线展开成平面图形，该图形为一个扇形，扇形的半径长

等于圆锥的母线长。

反过来,扇形也可以围成一个圆锥。

29章直线与圆的位置关系

1、在同一个平面内，点与圆有三种位置关系:点在圆外，点在圆上，点在圆内。

设圆0的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有：

(1)点P在圆外，d>r2(A)点P在圆上,d=r

(3)点P在圆内,dVr

2、直线与圆的位置关系

一条直线与一个圆的位置关系，根据它们公共点的个数可分为三种情况：两个

公共点、一个公共点、没有公共点。

当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交;当直线与圆有唯一公共点时,

称直线与圆相切，此时这个公共点叫做切点，这条直线叫做圆的切线；当直线

与圆没有公共点时，称直线与圆相离。

3、切线的性质和鉴定

(1)圆的切线垂直于过切点的半径。

(2)通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

4、切线长定理

(1)过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等。

⑵与三角形的三边都相切的圆有且只有一个，我们称这个圆为三角形的内切

圆，称这个圆的圆心为三角形的内心。

5、正多边形与圆

(1)各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

(2)把一个圆n(n>3)等分，顺次连接各等分点，就得到一个正n边形。我

们把这个正n边形叫做圆的内接正n边形，这个圆叫做正n边形的外接圆，外接

圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，每一边所对

的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到边的距离叫做正多边形的边心距。

(3)通过等分圆心角，可以画正多边形。对于一些特殊情形，可以用尺规作圆

的内接正多边形(正方形和正六边形)。

30章二次函数

30.1二次函数的概念

一般地，假如两个变量x和y之间的函数关系可以表达成y=a/+bx+c(a/,c是常数，且

4力0),那么称丫为x的二次函数.其中,a叫做二次项系数，b叫做一次项系数,c叫做常数

项。

30.2二次函数的图像和性质

二次函数y=ax2的图像和性质

(1)通过列表、描点、连线可以得到二次函数y=o?图像

(2)二次函数y=a/的图像是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线，曲线

的对称轴叫做抛物线的对称轴,抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。

(3)二次函数y=ax2的图像和性质

y随x的变最大(或最

表达式开口方向对称轴顶点坐标

化情况小)值

y=ax2当*<0时》

(。〉0)随X的增大有最低点

原点

而减小；当(0，0).当

向上y轴

x=0时，

(0,0)》〉0时.，y

随X的增大y最小二0

而增大

当x<0时，

2y随x的增有最高点

y=ax

原点大而增大；(0,0).当

(a<0)向下y轴

x=0时，

(0,0)当x〉0时,y

随X的增大y最大

而减小

(4)为方便起见,我们把y轴记为直线x=0,把过点(a,0)且垂直于x轴的直线记为直线

x=«；把X轴记为直线y=0,把过点(0,。)且垂直于y轴的直线记为直线y=b.二次

函数y=ax1也称为抛物线y-ax2

二次函数y=a(x-/z)2与y=a(x-/z)2+A的图像和性质

(1)二次函数y=a(x-hy的图像可以由y=的图像作如下平移得至於当〃>。时，向右

平移h个单位长度;当人<0时，向左平移网个单位长度。

(2)二次函数3="。一%)2+左的图像和性质

y随x的变最大(或最

表达式开口方向对称轴顶点坐标

化情况小)值

当x<h时,y

随X的增大有最低点

而减小;当(h,k).当

y=a(x—h)2+k向上直线x=/z(〃,女)

x>/z时,y

(a>0)x=h

随X的增大时,y最小=k

而增大

当x<k

有最高点

y=a(x-h)2+k时，y随x

(a<0)

的增大而增依行.当

向下直线x=/z(h,k)

大；当x=h

时，>最大=%

x>/z时，y

随X的增大

而减小

二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

(1)每个二次函数y=+法+。都可以通过配方化成y=a(x—/?)2+上的形式

(2)二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条抛物线，它的对称轴是x=~—

2a

若a>0,则抛物线开口向上，顶点坐标是(―2,4"上"二)。当》<一2时，y随x的增

2a4a2a

bb

大而减小；当x>——时,丁随工的增大而增大;当工=——时，y取得最小值，且

2a2a

4ac-b2

y最小

若a<0,则抛物线开口向下，顶点坐标是(―2