双变量问题-2023年新高考数学一轮复习

双变量问题

【方法技巧与总结】

破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等

式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

【题型归纳目录】

题型一:双变■单调问题

题型二:双变■不等式:转化为单变工问题

题型三:双变•不等式:极值和差商积问题

题型四:双变•不等式:中点型

题型五:双变量不等式:剪刀模型

题型六:双变量不等式:主元法

【典例例题】

题型一:双变・单调问题

例1.(2022・苏州三模)已知函数/㈤=(c—1内一会2,其中aCR.

(I)函数/Q)的图象能否与c轴相切？若能，求出实数a,若不能，请说明理由；

(II)求最大的整数a,使得对任意X1eR,x2e(0,+8),不等式/(d+处)-/(x1-x2)>—2亚恒成立.

例2.(2020秋・龙詈期中)已知函数g(or)=x—alnx.

(1)讨论gQ)的单调性；

(2)若a>2,且/(c)=十一g(z)存在两个极值点g,a；2(g<啊)，证明：/(皿)―/(叫)>(a—2)(的一

g).

例3.(2022・辽宁)已知函数/(c)=(a+l)ln.r+ax2+l.

(1)讨论函数/3)的单调性；

(2)设aV—1.如果对任意啊―(0,+8),|/(电)一/(0：2)|)4山一曲|,求a的取值范围.

例4.(2020**千项山期末)已知函数/Q)=21nc+詈，m>0.

(1)当m=e(e为自然对数的底数)时，求『3)的极小值；

(2)讨论函数gQ)=/3)—£的单调性；

(3)若m>1,证明：对于任意b>a>0,/⑻<1.

b-a

题型二:双变量不等式:转化为单变量问题

例5.(2021春・海曙区校级期中)已知函数/㈤=[-c+alnx.

(1)讨论/(c)的单调性；

(2)已知aV等，若/㈤存在两个极值点g,如且求』皿+」如。的取值范围.

/X\X'2

例6.(2021春・江宁区校级期中)已知函数/Q)=ax\nx,aWR.

(1)当a=l时，

①求人⑼的极值；

②若对任意的都有求的最大值；

x>e/(x)>—Xm>0,m

2

(2)若函数g®=/(£)+"有且只有两个不同的零点①],如求证：XiX2>e.

例7.(2022・德用模板)设函数/(⑼=-fe2^+(x-l)e"(aeR).

⑴当a=5时，求g(x)=f'(⑼•e~的单调区间(r(⑼是/3)的导数)；

(2)若/(力)有两个极值点力1、x2(xiV均，证明：21+2力2>3.

例8.(2022・潮州二#)已知函数/(c)=Inx,gQ)=x2-ax(a＞0).

(1)讨论函数“幻=/(x)+gQ)的极值点；

(2)若电，g31V,2)是方程/(⑼一吗■+!=()的两个不同的正实根，证明：犹+就＞4a.

3/力

例9.(2022・浙江模拟)已知Q£R,函数/(力)=e，一QC+Q.

(I)若/(c)＞0,求a的取值范围；

(II)记卬曲(其中电Vg)为了㈤在(0，+8)上的两个零点，证明：了鼠■＜叫＜襦+L

题型三:双变量不等式:极值和差商积问题

例10.(2021春・温州期中)已知函数/Q)=\nx-^(ax-十).

(1)若a=1,证明：当0V/V1时，f(x)>0；当/>1时，/(x)<0.

(2)若/3)存在两个极值点为，g,证明：/⑹-"6)<1ZJL.

X\—g/

例11.(2021春・浙江期中)已知函数/(x)=十一7+alnx.

(1)当a=0时,求函数/3)在点(1,0)处的切线方程；

(2)讨论/(冷的单调性；

(3)若/3)存在两个极值点g,g,证明：,⑶Lv0-2.

C1一力2

例12.(2021秋・武汉月考)已知函数/㈤=Inx+^-(a+l^,aeR.

(1)讨论函数/Q)的单调区间；

(2)设Xi，x2(0<a：i<x2)是函数g(z)=/(a?)+x的两个极值点，证明：g(g)—g(g)<与一Ina恒成立.

题型四:双变量不等式:中点型

例13.(2022・呼和浩朴二M)已知函数/(⑼=lnx-ax2+(2—a)x.

①讨论/(，)的单调性；

②设a>0,证明:当0V±V,时,/(0+/)>/(1—-；

③函数y=/3)的图象与立轴相交于A、B两点，线段中点的横坐标为刈，证明/'3o)VO.

例14.(2021秋・山西期末)已知函数/㈤=2c+(1-2a)lnx+崇

(1)讨论/3)的单调性：

(2)如果方程/(⑼=m有两个不相等的解刈，电，且为Vg,证明：生)>0.

例15.(2022・沙坪塌区校级开学)已知函数/(x)=x2-2ax+21nx(a>0).

(1)讨论函数/3)的单调性；

⑵设g(a;)=Inc-brr—ex?,若函数/3)的两个极值点x},a；2(g<g)恰为函数的两个零点，且沙

=①一电灯(%圾)的取值范围是［ln3-1,+8),求实数a的取值范围.

题型五:双变量不等式:剪刀模型

例16.(2022・日原一模)已知函数/㈤=(x+6)(e^-a)(6>0)在点(一方,/(一勃处的切线方程为(e-

l)x+ey+'2L=0.

⑴求a,b；

(2)函数/(⑼图象与二轴负半轴的交点为P,且在点P处的切线方程为9=九3),函数尸(0=/Q)—九

(x),x672,求F(%)的最小值；

1+2mme

(3)关于①的方程有两个实数根刈，◎，且①2,证明：x2—Xi<0—,.

z1—e

例17.(2021春・道里区校级期中)已知函数/㈤=g—e，+1,ln3是/Q)的极值点.

(I)求a的值；

(II)设曲线夕=/(⑼与2轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线为直线I.求证：曲线沙=/(⑼上

的点都不在直线/的上方；

(III)若关于X的方程/(C)=7?2(771>0)有两个不等实根：Ei，gQiV6),求证：X2~XI<2--

例18.(2022・江西校级=ft)已知函数/(x)=6x-xG,xeR.

(I)求函数/3)的极值；

(II)设曲线夕=/3)与*轴正半轴的交点为P,求曲线在点P处的切线方程；

(III)若方程/(①)=a(a为实数)有两个实数根X\,g且为〈如求证：s2—^<6^-

题型六:双变量不等式:主元法

例19.(2021春・哈密市校级月考)已知函数/㈤=xlnx.

(1)求函数/Q)的单调区间和最小值；

⑵当b>0时,求证：(《日(其中e为自然对数的底数)；

(3)若a>0,b>0求证：/(力)+(a+6)ln2>/(a+b)-/(&).

例20.(2021双•广东月才)已知函数/(⑼=a^+(Inx一⑼(其中ae7?且a为常数，e为自然对数的底

数，e=2.71828…).

(I)若函数/(，)的极值点只有一个,求实数a的取值范围；

(II)当a=0时，若/(立)+m(其中m>0)恒成立，求(fc+l)m的最小值h(m)的最大值.

例21.(2022•横山县校级二模)设函数/(力=

(I)求/3)的极值；

(II)设g(c)=/(2+1),若对任意的都有g(c)成立,求实数m的取值范围;

【过关测试】

1.(2022•辽宁•抚・市第二中学三模)已知函数/㈤=①一!(2—a)x2--yax2lnrE(e=2.71828•••)

(1)当a=—9时，证明函数/位)有两个极值点；

(2)当OVa&l时，函数。㈤=/(«)—《b/—取在(。,+8)上单调递减，证明b>1+3

2.(2022•北京•北押大二附中三模)已知函数/(c)=1(1+znln力，其中/n>O，r(c)为了(立)的导函数.

(1)当m=1,求/(c)在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)设函数从力=2g，且拉㈤>4恒成立.

ex2

①求m的取值范围；

②设函数/(力)的零点为g，/'(c)的极小值点为g,求证：力0>为.

3.(2022•湖北•商二阶段练习)已知函数/(x)=\nx+-yx2-(a+l)x(a€R),g[x)=/(x)--yx2+(Q+1)

X.

(1)讨论/3)的单调性；

(2)任取两个正数Ci,.,当与Vg时，求证：g(rrj-g(g)

4.(2022•陕西•汉台中学模板H测(<))已知函数/位)=lnx+-^+b(a,beR).

(1)求函数/(c)的极值；

(2)若函数/⑷的最小值为0,g,x2(xi<x-2)为函数g(2)=f(c)—y的两个零点，证明：e“一elng>

2.

5.(2022•江苏•海门中学南二阶段练习)已知函数/3)=叱+会2一皿

(1)讨论函数/Q)的单调性；

(2)若/(⑼有两个极值点如电，证明用匕但V2-卷.

X\—X2/

6.(2022•湖北•模拟很测)已知对于不相等的正实数a,b,有而F<屁：二?nb<号'成立，我们称其为

对数平均不等式.现有函数/(0=In^+L

(1)求函数/(立)的极值；

(2)若方程f(c)=m有两个不相等的实数根的，g.

①证明：1<2]22〈一1；

m

2

②证明：山—x2\<—V(lnm)—21nm.

7.(2022•山东济宁•高二期中)己知函数/(c)=—X+GH),且/(劣)有两个极值点如电.

(1)求实数Q的取值范围；

(2)是否存在实数a,使一坐)=a-2成立，若存在求出a的值，若不存在，请说明理由.

—

8.(2022♦广东•广州市第七中学南二期中)已知函数/3)=ln;r-a/+(2—a)c.

(1)讨论/(6的单调性；

(2)若函数，=/(⑼