四川省泸州市江阳区2021-2022学年高三上学期理数期末考试试卷

四川省泸州市江阳区2021-2022学年高三上学期理数期末考试试卷

阅卷人

-------------------、单选题（共12题；共24分）

得分

1.（2分）已知集合力={久|/一%一2W0},集合B为整数集，则4CB=（）

A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1）

c.{0,1}D.{-1,0]

【答案】A

【解析】【解答】>1={x|-1<%<2},XClB={-1,0,1,2）,

故答案为：A.

【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.

2.（2分）已知i是虚数单位，设2=军，则复数2+2对应的点位于复平面（）

l+l

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】【解答】由已知z=9二盘一2=-i,

2+2==1+2=2+3对应点为（2,1）,在第一象限。

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则求出复数z,再利用复数与共辄复数的关系，进

而得出复数z的共聊复数，再结合复数的加法的运算法则和复数的几何意义，进而得出复数2+2对

应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限。

3.（2分）（x+l）i。的展开式中第6项的系数是（）

A.CiQB.—CioC.C'IOD.—C'IO

【答案】C

10r

【解析】【解答】。+1）1°展开式的通项为T『+i=c50x--r=下炉。-3

.•.令r+l=6,即r=5,可得（x+1）”的展开式中第6项系的系数为：%）。

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中第

六项的系数。

4.(2分)2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参

观体验，征求意见''活动.市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋

友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被

选中的概率为()

A-IB-Ic-iD-I

【答案】D

【解析】【解答】设小王和小李都被选中为事件M,则P(M)=1,则小王和小李至多一人被选中

的概率为1—,

66

故答案为：D.

【分析】根据对立事件特点，代入概率公式，即可得出答案。

5.(2分)函数/(%)=爰詈在［一方身上的图象大致为()

【答案】C

【解析】【解答】由f(-x)==-/(%)可知函数/(%)为奇函数.

所以函数图象关于原点对称，排除A,B；

TT

当0V%V2时，cosx>0,

a/、XCOSX、八...HA.

,，*/(%)=2X_1_2_X＞。'排除D,

故答案为：C.

【分析】根据函数的奇偶性及函数在0<x<5时的符号，即可求解.

6.（2分）离散型随机变量X服从二项分布X〜B（n,p）且E(X)=4,D(X)=3,贝I」p的

值为（）

1

A，1B.1c1D.

A2,48

【答案】C

【解析】【解答】因为二项分布X〜B（n,p）,

E(X)=np=4

所以解得p=*•

D(X)=np(l—P)=3

故答案为：C

【分析】由二项分布的随机变量数学期望和方差计算公式，即可求得p的值。

7.（2分）己知cos（a-看）=空，则sin（等+a）=（）

A/3Ry/3「/6p

333

【答案】B

【解析】【解答】设0=a―2则a=夕+5

故sin（粤+a）=sin（粤+S+看）=sin（6+与）=—cosR=—字。

故答案为：B

【分析】设6=a-卷，则a=0+*再利用诱导公式得出sin（粤+a）的值。

8.（2分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（)

r2019D2020

20202021

【解析】【解答】第一次循环，n=1>2020不成立，S="=1+1=2；

1.XZ

第二次循环，"=2>2020不成立，s=±+/，几=2+1=3；

n=

以此类推，执行最后一次循环，n=2020>2020不成立，S="+与+…+神八二"

J.XZZXJZU/UXZUZJL

2020+1=2021；

11111

?1=2021>2020成乂，输出S=++…+=<1-2)+(2-3)+，**+(2020

J.X，，XJ2020x2021

11_2020

2021J=1-2021=2021

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构、循环结构，进而求出输出S的值。

9.（2分）受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一

层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同

安排方案共有（）

A.240种B.120种C.188种D.156种

【答案】B

【解析】【解答】根据题意，按甲班位置分3种情况讨论：3度=6,“=6,6x6=36

48+36+36=120

（1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有4度=8种，将剩余的三个班全排列，安排到

剩下的3个位置，有房=6种情况，此时有8x6=48种安排方案；

（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有3掰=6种，将剩下的三个班全排列，安排到剩

下的三个位置，有房=6种情况，此时有6x6=36种安排方案；

(3)甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有3度=6种，将剩下的三个班全排列，安排到

剩下的三个位置，有房=6种情况，此时有6x6=36种安排方案；

由加法计数原理可知共有48+36+36=120种方案。

故答案为：B

【分析】利用已知条件结合排列数公式和分类加法计数原理，进而得出这六个班排队吃饭的不同安

排方案。

10.(2分)设a_log2019V2020,b=log2o20^2019,c=20192000，则a，的大小关系是

()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】C

2

【解析】【解答】|=1log20192019<a=log2019V2020=1log20ig2020<|log20]92019=1;

,____1111

lo2019

0<b=log2020v2019=2g2020<21og202o2020=—,c=20192020>1.

故答案为：c.

【分析】根据对数运算、指数函数的性质，利用I和1进行分段，由此比较出三者的大小关系.

11.(2分)若函数/(X)=In，且/(2a)+/(a-1)>0,则a的取值范围是()

11111

A.(-8,可)B.(-2-3)C.(0，w)D.(0,2)

【答案】C

【解析】【解答】由题知/(x)的定义域为(—1,1)，且/(x)=In—%=—1)—x,

所以/(%)为奇函数且在(-1,1)上单调递减，

由/(2a)+/(a-1)>0,

—1<1-Q<11

可知/(2a)>f(a-1),于是有一1V2aV1,解得0VaV司.

.2a<1-a

故答案为：C

【分析】首先求出函数的定义域，判断函数出/(x)为奇函数且在(-1,1)上单调递减，利用单调

-1V1—a<1

性以及奇偶性可得-IV2aVI,解不等式组即可.

2a<1—a

12.（2分）设％,F2是双曲线端一*1缶>0/>°）的左、右焦点，。是坐标原点，

过尸2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若\PFX\=V13|PF2|，则C的离心率为（）

A.V5B.2C.V3D.孥

【答案】D

【解析】【解答】由题可得双曲线的渐近线方程为bx-ay=0,F2（C,O）

be

=b，|0^|=6,\0P\=a,

因为\PFr\=VT3|PF2|，所以IP%/=13仍尸2『=13属,

在KOPF?中，COSZPOF2=,

/0Pa中，cos”.%=产安竺小，

因为Z-POF14-Z-POF2=nf所以cosz.POF1+cosz.POF2=0，

所以a2+c2|P/|2a_0

cc

可得\PFi\2=3a2+c2，

所以13c2—13a2=3Q2+,

所以工=g,所以e=¥，

a\33

故答案为：D

【分析】双曲线的渐近线方程为bx-ay=0,则IPFzl=6,|0&|=c,\0P\=

yjb

222

a,在40PF2中，COSAP0F2=,AOPF1中，cosZpOF1=a+c-\PFi\,利用

C0S4P0F1+COSNPOF2=o，可得|PF1/=3a2+c2,再利用IPF1I=A/H|PF2|即可求得结果.

阅卷人

----------------二、填空题（共4题；共4分）

得分

%+3>0

13.（1分）已知变量％,y满足%一丁+4之0,则z=%+3y的最大值为.

.2%+y—4<0

【答案】12

(%+320

【解析】【解答】作出％—y+44o表示的可行域，如图,

(2%+y—4<0

由可得火°，4)，

由z=x+3y,可得、=一冷+(,

平移直线'=7+|,由图知，当直线经过点4(0,4),直线在y轴上截距最大,

此时z最大值为z=0+3x4=12o

故答案为：12。

【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画出可行域，再结合可行域找出最优解，再利用最优

解求出线性目标函数的最大值。

14.(1分)已知△ABC中，a,b,c的内角分别是A,B,C,若(si/A+siMc-

sin2B)tanB=sin4•sinC,则角B=

【答案】强或患

【解析】【解答】在44BC中，因为(sin2A+sin2c-sin2B)tanB=sin/l•sinC,

所以(小+c2—b2)tanfl=ac,

所以1=a2+c2-产

tanBac2cos

解得sinB=

因为B6(0,7T)，

所以B屋或醇

故答案为：触等

【分析】利用已知条件结合正弦定理和同角三角函数基本关系式，得出角B的正弦值，再结合三角

形中角B的取值范围，进而得出角B的值。

15.(1■分)若函数y=/(X)与y=5方互为反函数，则y=-2x)的单调递减区间

是.

【答案】(-00,0)

【解析】【解答】因为y=/(%)与y=5X互为反函数，

所以y=f(x)=logs为在定义域(-8,0)上为增函数，

又y=--2%=(X-1)2-1,在(-8,1)上递减，Q,+8)上递增，

综上，y=f(久2-2%)在(-8,0)上为减函数。

故答案为：(-8,0)。

【分析】利用已知条件结合互为反函数的单调性的关系，进而结合代入法得出y=/(/-2x)的单

调递减区间。

16.(1分)已知/(%)是定义在R上的函数，且/(—K)—f(x)=0；其导函数为/'(%).若x>0时，

/(%)<2%)则不等式/(2x)-f(x-1)>3/+2x-1的解集是.

【答案】(一1,1)

【解析】【解答】由/(2%)-/(%-1)>3/+2x-1可得：/(2x)-(2x)2>f(x-1)-(x-l)2,

令y=/(%)-/,又f'(x)<2x，即f'(x)-2x<0，

所以y在(0,+8)上为减函数，

因为/Xx)=，(一x)，易知/'(久)为偶函数，

所以/(T)—(一乃2=/5)-产,故y也为偶函数，

所以y在(一8,0)上为增函数，

综上所述，解得-1<.<]故不等式解集为(-1,1)o

故答案为：(-1,1)o

【分析】利用已知条件结合偶函数的定义判断出函数f(x)为偶函数，再利用减函数的性质，进而结合

绝对值不等式求解方法，进而得出不等式/(2x)-/(x-1)>3x2+2x-1的解集。

阅卷人

三'解答题(共7题；共70分)

得分

17.(10分)已知数列｛an｝是等差数列,前n项和为S",且S5=3。3，a4+a6=8.

(1)(5分)求斯；

(2)(5分)设b=2-须，求数列｛%｝的前”项和〃・

【答案】(1)解：由题意，数列｛的J是等差数列，所以S5=5(.勺拦5.)=5a3,

又S5=3。3，所以=°，

由。4+&6=8=2a5，解得。5=4,

所以&5—«3=2d=4,解得d=2,

n—

所以数列的通项公式为册=a3+(3)d=2(n—3)neN*.

(2)解：由(1)得bn=2"-an=(n—3)-2n+i,

234n+1

Tn=(-2)-2+(-l)-2+0-2+--+(n-3)-2,

34n+1n+2

2Tn=(-2)-2+(-1)-2+-+(n-4)-2+(n-3)-2,

两式相减得2〃-7^=2-22-(23+24+-+2n+1)+(n-3)-2n+2,

n+2

=8-8。7；1)+(n-3)-2n+2=(n-4)-2+16，

所以7\=5-4)-2计2+16.

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合等差数列的前n项和公式，再结合等差数列的性质，进而得

出公差的值，再结合等差数列的性质求出等差数列的通项公式。

(2)利用｛即｝的通项公式结合砥=2"-须，进而得出数列｛%｝的通项公式，再结合错位相减的方

法得出数列｛d｝的前几项和。

18.(10分)近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至2018年底，中国铁路运营里程

达13.2万千米，这个数字比1949年增长了5倍；高铁运营里程突破2.9万千米，占世界高铁运营里

程的60%以上，居世界第一位.如表截取了2012-2016年中国高铁密度的发展情况(单位：千米/

万平方千米).

年份20122013201420152016

年份代码12345

高铁密度9.7511.4917.1420.6622.92

已知高铁密度y与年份代码x之间满足关系式y=axb（a,b为大于0的常数）.

参考公式：设具有线性相关系的两个变量》,y的一组数据为（%，%）（i=l,2,n）,则回归

方程『=+我的系数：—y-<n三—>a=y—bx

〉（勺一无）

—i=]

22

参考数据：5Inx；•lny(.—51nx-Iny«0.92,>(Inx,)—5(lnx)«1.6,产5,

5

ZIny.工14,e2,1x8.2,ln32a3.46.

(1)(5分)根据所给数据，求y关于％的回归方程(精确到0.1位)；

（2）（5分）利用（1）的结论，预测到哪一年，高铁密度会超过32千米/万平方千米.

【答案】（1）解：）对>=61/（（1>0,b>0）两边取自然对数得：Iny=blnx+Ina.

令%=ln%i，=Iny.,t=1,2,3,…，n,贝以与"具有线性相关关系;

v-171『5_

2L1(%一切(〃「汾“1呼「5即

，，I-_____________092

TI年=。.575。。.6,

(—)22：=--5f

Zi=l

4I41.

Ina=口一5方=飞—0.575X1=2.225«2.2>

二Iny=0.61nx+2.2,二y关于x的回归方程为:,y=e0-61nx+2-2,g|]y=e22-x06.

(2)解：由(1)知：y=e22-X06,

•••高铁密度超过32千米/万平方千米,即e°anx+2.2>32,BP0.61nx+2.2>ln32«3.46,

.•.lnx>2.1,解得：x>e21«8.2,即当x=9时，高铁密度超过32千米/万平方千米.

预测2020年，高铁密度超过32千米/万平方千米.

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合最小二乘法求出y关于x的回归方程。

（2）利用已知条件结合代入法和指数与对数互化公式以及对数函数的单调性，进而预测2020年，

高铁密度超过32千米/万平方千米。

19.（10分）如图，已知直四棱柱ABCD-4遇1G5的底面是边长为2的正方形，E,F分别为

441,AB的中点.

(1)(5分)求证：直线DAE,CF,DA交于一点;

(2)(5分)若直线D.E与平面ABCD所成的角为J，求二面角E-C%—B的余弦值.

【答案】(1)解：证明：连接EF，,因为E,F分别为,AB的中点,

所以EF//AXB,且EF=^ArB,

因为力BCD—ABiCiDi是直四棱柱，且底面是正方形，

所以BC"AD"AiD\,且BC=AD=,即四边形A1BCD1是平行四边形，

所以AiB"D[C,且48=。住，

所以EF/IDCr,且EFHDCi,即四边形EFC%为梯形，

所以DiE与CF交于一点，记为P,

因为PG平面ABCD,PG平面ADD^,

所以P在平面ABCD与平面ADD^的交线上，

又因为平面ABCDCl平面ADD^=AD,所以P£直线AD,

故直线。正，CF,DA交于一点；

(2)由题意可知=今，所以AXE=力必=2,所以44=4,

以D为原点，分别以,DC,DDi所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

所以0(0,0,0),01(0,0,4),C(0,2,0),B(2,2,0),F(2,1,0),

所以CF=(2,-1,0),CB=(2,0,0),CDi=(0,-2,4),

设平面PCD1的法向量为n=(x,y,z),贝！J[-^y+\z=o,故元=(1，2,1),

2~~0

故

{_2y〔+4zi=0m=(0,2,1),

n-m4+1_V30

所以cos<n,m>—Wl=76^75=-6-

故二面角B-CD—的余弦值为簿.

6

【解析】【分析】（1）连结EF,AiB,利用中位线定理以及平行四边形的性质，证明EF//DG,且

EFKDCi,从而得到DiE与CF交于一点P,然后再证明PC直线AD,即可证明;

（2）建立合适的空间直角坐标系，然后求出所需各点的坐标，利用待定系数法求出平面PCDi和平

面BCDIAI的法向量，利用二面角的计算公式求解即可.

20.（10分）设抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F,准线为1.已知以F为圆心，半径为4的圆与1

交于A,B两点，E是该圆与抛物线C的一个交点，ZEAB=90°.

（1）（5分）求p的值；

（2）（5分）已知点P的纵坐标为一1且在抛物线C上，Q,R是抛物线C上异于点P的另两

点，且满足直线PQ和直线PR的斜率之和为一1,试问直线QR是否经过一定点，若是，求出定点

的坐标；否则，请说明理由.

【答案】（1）解：如图：

由题意及抛物线定义，得|AF|=|EF|=|AE|=4,

△AEF为边长为4的正三角形，设准线1与x轴交于点D,

因为NE4B=90°,Z.EAF=60°,所以/FAD=30°,

则|FD|=p=1|AF|=1x4=2.

(2)解：设直线QR的方程为*=1町+3

点Q(xi,yi),R(X2,ya),

x=my+t

由y2_4%，得y?—4my-4t=0,则△=16m2+16t>°,yi+y2=4m,yiy2=-4t,

yyyy

P-l_P_i_444

又点P在抛物线C上，则kPQ=Xp-%]一为2y12一力+%一y「l，同理可得kPRyF1)

因为kPQ+kPR=-l,

44(n+、2)-816m—8

所以_±_+-=--=____=

>1-1y2T丫1丫2一01+丫2)+1-4t-47n+l

解得t=3m—番

△=16m2+16t>0

t=3m-J

由，

17

4Hntx(—1)+377i—4

71

解得m£(-8,—])U(2，1)U(1,+co),

所以直线QR的方程为x=m(y+3)—

4

则直线QR过定点(一：，-3).

【解析】【分析】(1)由题意及抛物线定义，得|AF|=|EF|=|AE|=4,进而判断出三角形△AEF为边

长为4的正三角形，设准线1与x轴交于点D,再利用NEA8=90。，/EAF=60。结合三角形内角和

为180度的性质，所以求出/凡4。的值，再结合中点的性质得出p的值。

(2)设直线QR的方程为x=my+t,点Q(x”yi),R(x2,y2),由广[?+’结合判别式法和韦达

定理，得出A=16m2+16t>0,yi+y2=4m,yiy2=—4t,再利用点P在抛物线C上结合两点求斜率

△=16m24-16t>0

t=3m-,

{4rTHx(—1)+3m—4

从而得出m的取值范围，进而得出直线QR的方程为x=m(y+3)—番从而判断出直线QR过定点

(一(,-3)。

21.(10分)已知函数/(%)=e*-xlnx+QX,f(%)为/(%)的导数，函数f'(%)在％=&处取得最小

值.

(1)(5分)求证：In%。+&=0；

(2)(5分)若%)工。时，》1恒成立，求Q的取值范围.

【答案】(1)证明：由题意/(%)=e*—In%+a—1，

令9(%)=-In%+a-1，则g'(x)=e*—知g'(%)为(0,+8)的增函数，

因为g(1)=e—1>0>g8)=Ve-2<0,

所以，存在卜to<1使得g'(to)=0,即十。一,=0.

所以，当久e(0,to)时g'(x)<g'(to)=0,g(x)为减函数，

当xe(t(),+8)时g'(x)>g'(to)=0,g(x)为增函数，

故当x=to时，g(x)取得最小值，也就是/(工)取得最小值.

11

故/)=%，于是有梦。一白=0,即呼=白，

x0x0

所以有In%。+%o=0,证毕.

(2)解：由(1)知，/'(X)=e"-lnx+a-1的最小值为访+%0+。一1，

①当/+%o+a—1>。，即a>1一(9+%o)时,/(x)为岛，+8)的增函数，

]

所以f(%)min=/(&)=e”°-x\nx+xa=—+x2+xa,

0Qox00o

>；+&2+xo[l-d+Xo)]=；+%o_1,

xoxoxo

由⑴中④<与<1,得苗+即/⑺>1.

故a>1—+%。)满足题意.

②当a++a-1V。，即QV1-(/+Xo)时，/'(%)有两个不同的零点勺，=2,

且<Xo<x2»即/(%2)=e*2—ln%2+a—l=0=>a=ln%2—eZ2+1>

若xe(x0,&)时f'(x)</(x2)=0-f(x)为减函数，(*)

若xe(x2,+8)时/(x)>f'(X2)=o./(%)为增函数，

所以/(x)的最小值为/(%2)・

注意到/(I)=e+a=1时，a=1-e,且此时f(1)=e+a-l=0，

(i)当a21-e时，/(l)=e+a-1>0=/(x2)-

所以0<%2<1，即1一%220，

X2X2X2

又/(%2)=e%2—x2lnx2+ax?=e—x2\nx2+(lnx2—e+l)x2=(1—x^)e+x2

=(1—%2)(e*2—1)+1,

而e%2—1>0,所以(1一%2)(e*2—1)+1>1,即/(%2)>1.

由于在gv%。v1下，恒有(/+x0)<e,所以1—e<l—(/+%0).

(ii)当aVl—e时'f(1)=e+a—1<0=f(x2)»

所以％2>1>%o»

所以由(*)知％w(l,g)时，/(%)为减函数，

所以/(x)V/(I)=e+aV1,不满足X)％o时，f(%)》1恒成立，故舍去.

故1-e(aV1-(/+%。)满足条件.

综上所述：Q的取值范围是［l-e,+co).

【解析】【分析】(1)由题意/'(%)=1-Inx+a-1，令g(x)=e*-Inx+a-1,再利用求导的方

法判断函数的单调性，再结合g'(l)=e—l>0,g'&)=^—2<0,所以，存在:<<1使得

g'(to)=O,即"弋=0,再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出当x=t。时，g(x)取得

最小值，也就是/'(%)取得最小值，故%o=to,贝卜配=；,从而证出ln与+Xo=O成立。

(2)由⑴知，/(%)=e*—Inx+a—1的最小值为4+Xo+a-1，①当a》1一。+%()州寸，

/(%)为％，+8)的增函数，再结合函数的单调性得出/(X)min》上+%0—1，由⑴中：<出<

1,得/'(%)>1,故a>1—(/+%o)满足题意；

②当a<1—身+配)时-，/'(%)有两个不同的零点%1，%2>且％1<%0<%2，即/■'(%2)=e*2-ln%2+

a-l=0na=ln%2-灰2+1,再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数/(%)的最小值

为/(%2)，注意到/(1)=e+Q=l时，a=1-ef且此时/(l)=e+a—1=0,(1)当。之1—?

时,f(1)=e+Q—l>0=f(%2)，所以1—%2之。，再利用

X2

/(x2)=(1-x2)(e-1)+1.而6九一1>0,所以/(X2)>1,由于<1,恒有(专+见)<

1

e,所以1—eVl—(―+&)；

xo

(ii)当a<l-e时，f'(l)=e+a—1V0=/'(到)，所以肛>1>%0，所以当％6(1,次)时，

/(%)为减函数，所以/(x)Vf(l)=e+aVI,不满足工》&时，恒成立，故舍去，故1一

e《a<l—(：+x0)满足条件，进而得出实数a的取值范围。

22.(10分)在平面直角坐标系“Oy中，曲线C的参数方程为"为参数)，在以坐标原点

为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线/的极坐标方程为psin(O+$=2VL

(1)(5分)求曲线C的极坐标方程和直线1的直角坐标方程；

(2)(5分)若射线0=a(0<a<刍与曲线C交于点A(不同于极点0),与直线2交于点8,求

卜膏的最大值.

【答案】⑴解：曲线c的参数方程为『；：：：二"为参数)，

消去参数w得曲线C的普通方程为0-l)2+y2=1,即+y2-2x=0,

由p2=%2+y2,pC0SQ=Xfpsin。=y得曲线C的极坐标方程为p2=2pcos。，

即p=2cos8.

因为直线[的极坐标方程为psin(。+勺=2V2,所以p(sinJcos左+cosJsi埠=2近，所以苧。$苗8+

号pcosB=2鱼，所以％+y=4

(2)解：设4(pi，a)9B(p2,a),

21y

则PL2cosa,p2=砌第,

所以

\0A\2cosasin(a+*)2cosasin(a+*)sinacosa+cos2a1.„,1„,1A/2.

]0B]=-------2/2=--------2V2=----------2----------=4sin2a+4802。+4=-4sm(2a+

*)+/'

由。<a<2，得/<2a+*<竽,所以一孝<sin(2a+/)《1，

所以黑I的最大值为里.

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合参数方程与普通方程转化方法以及极坐标与直角坐标互化公

式，进而得出曲线C的极坐标方程和直线1的直角坐标方程。

(2)利用已知条件结合射线与曲线相交，联立二者方程求出交点A的坐标，再结合射线与直线相

交，联立二者方程求出交点B的坐标，再利用两点距离公式结合正弦型函数的图象和角a的取值范

围，进而求出正弦型函数的值域，从而得出陶的最大值。

23.(10分)已知函数/(%)=|%—a|(aWR)

⑴(5分)若关于％的不等式/(x)N|2x+l|的解集为[一3,|],求a的值；

(2)(5分)若不等式/(%)-\x+a\<a2-2a恒成立,求a的取值范围.

【答案】(1)解：/(%)>|2x+l|,B|J|x-a|>|2x+l|,两边平方并整理得3炉+2(2+a)%+1-

a2<0,由已知一3,/是关于x的方程3/+2(2+a)x+1-a2=0的两根，

由韦达定理得]又因为d=4(2+a)2-12(1-。2)〉0,

(年=(-3)Xq

解得a=2.

(2)解：因为/(x)—\x+a\=|x-a|—|x+a\<|(x—a)—(x+a)|=2|a|,

所以不等式f(x)—|x4-a|<a2—2a恒成立，只需21al《a?—2a,

当a之0时，2aWa2-2a,解得a24或a=0；

当a<0时，-2a<a2—2a,解得a<0.

综上可知实数a的取值范围是(-8,0]U[4,+oo)

【解析】【分析】(1)利用/(x)》|2x+l|,即反一。|2|2%+1|,两边平方并整理得3/+2(2+

a)x+1-a2<0,由己知一3,*是关于x的方程3/+2(2+a)x+1-a?=0的两根，由韦达定理

结合判别式法，进而得出a的值。

(2)利用已知条件结合绝对值三角不等式得出/(吗-|%+。||42|0,所以不等式f(x)-|%+a|《

a2-2a恒成立，只需21al《a?-2a,再利用分类讨论的方法结合绝对值定义，进而求出实数a的取

值范围。

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：98分

客观题（占比）25.0(25.5%)

分值分布

主观题（占比）73.0(74.5%)

客观题（占比）13(56.5%)

题量分布

主观题（占比）10(43.5%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题4(17.4%)4.0(4.1%)

解答题7(30.4%)70.0(71.4%)

单选题12(52.2%)24.0(24.5%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(52.2%)

2容易(30.4%)

3困难(17.4%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1二项式定理的应用2.0(2.0%)3

2复数代数形式的混合运算2.0(2.0%)2

3利用导数求闭区间上函数的最值10.0(10.2%)21

4等差数列的通项公式10.0(10.2%)17

5直线与圆锥曲线的综合问题10.0(10.2%)20

一元二次方程的解集及其根与系数

610.0(10.2%)23

的关系

7排列、组合及简单计数问题2.0(2.0%)9

8双曲线的简单性质2.0(2.0%)12

9同角三角函数间的基本关系1.0(1.0%)14

10数列的求和10.0(10.2%)17

11复数的基本概念2.0(2.0%)